函數對稱性、周期性圖象變換的探究*

福建省莆田第六中學 (351111) 陳瑞清

函數的對稱性、周期性是函數的重要性質,也是高考的高頻考點,并且對稱性、周期性的圖象變形更是學生學習的難點,本文從函數解析特征為出發點進行探究總結,以期把握本質規律、促進知識融會貫通.

一、中心對稱

典例1 若函數f(x)對任意x∈R,都有f(1+x)+f(3-x)=2,函數g(x)=2x+f(x)在R上有最大值M與最小值m,則M+m=( ).

A．-10 B．10 C．-5 D．5

解：∵f(1+x)+f(3-x)=2,∴f(x)關于(2,1)中心對稱,∴y=f(x+2)-1是奇函數,∵g(x)=2x+f(x),∴y=g(x+2)=2(x+2)+f(x+2)=2x+f(x+2)+4=[2x+f(x+2)-1]+5,∵y=2x+f(x+2)-1是奇函數,∴y=g(x+2)關于(0,5)中心對稱,∴g(x+2)max+g(x+2)min=10,又g(x+2)max=g(x)max=M,g(x+2)min=g(x)min=m,∴M+m=10m,故選B.

二、軸對稱

典例2 已知函數f(x)的定義域為(-∞,3)∪(3,+∞),對?x>-1,都有f(4+x)-f(2-x)=2,當x>3時,f(x)=|log2(x-3)|,若f(x)-k≥0恒成立,求k的取值范圍.

解：∵函數f(x)的定義域為(-∞,3)∪(3,+∞),又?x>-1,都有f(4+x)-f(2-x)=2,∴當<3時,則6-x>3,f(x)=f(6-x)-2=|log2(3-x)|-2,∴x<3的函數圖象是由x>3的圖象先作軸對稱后,再向下平移2個單位得到的(如圖1).∴當x=2時,f(x)min=-2,f(x)-k≥0恒成立?k≤f(x)min=-2,∴k≤-2.

圖1

圖2

三、周期性

函數f(x)在定義域內對任意的x,都有f(m+x)-f(x+n)=0(m、n為常數),其自變量m+x與n+x差為定值m-n,函數值差為定值0,則f(x)是周期函數,周期T=|m-n|.

引申3 若f(x)在定義域內對任意的x,滿足f(m+x)-f(x+n)=k,(m、n、k是常數,k≠0),則函數f(x)的圖象顯周期性上下平移變換,周期T=|m-n|.

引申4 若f(x)在定義域內對任意的x,滿足f(m+x)-tf(x+n)=0,(m、n、t是常數,且t≠0),則函數f(x)的圖象顯周期性縱向伸縮變換,周期T=|m-n|.

圖3

引申5 若f(x)在定義域內對任意的x,滿足f(m+x)+f(x+n)=0(m、n是常數),則f(x)是周期函數,周期T=2|m-n|.

典例6 已知f(x)在R上是奇函數,且f(x+2)+f(x)=0,當x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f(7)=( ).

A．-2 B．2 C．-98 D．98

解：∵f(x+2)+f(x)=0,∴f(x)是以4為周期的周期函數,又f(x)為奇函數,∴f(7)=f(7-4×2)=f(-1)=-f(1),而f(1)=2,即f(7)=-2.故選A．