例探圓錐曲線問題中的易錯點

福建省長汀縣第一中學 (366300) 孫微微

圓錐曲線是高考中重點考查的內容,主要重點考查圓錐曲線的幾何性質,直線與圓錐曲線的位置關系.本文就針對圓錐曲線中的幾類易錯點進行舉例分析.

易錯點1:忽視圓錐曲線標準方程要焦點位置的討論

易錯警示：雙曲線方程因焦點位置不同導致對應的漸近線方程也不一樣,因此要討論焦點的位置.

易錯點2:忽視橢圓中a、b、c的大小關系

A．m≥4 B．0

C．4≤m<9 D．m≥4且m≠9

易錯點3:忽視檢驗結論

例3 已知Rt△ABC的斜邊為AB,點A(-2,0),B(4,0),則點C滿足的方程為________．

解析：設C(x,y),由于直角三角形斜邊上的中點為M(1,0),如圖1所示,則半徑為3,即得圓的方程為(x-1)2+y2=9.但是頂點C不能在直線AB上,因此y≠0.因此C點滿足的方程為(x-1)2+y2=9(y≠0)．

圖1

易錯警示：忽視檢驗結論致錯.點C是直角三角形的頂點,即C點不能在直線AB上,所以y≠0．

知識點撥：畫圖,通過數形結合找到解題方法及限制條件.

易錯點4:忽視隱含條件.

例4 已知2x2+y2=6x,則x2+y2的取值范圍為________．

解析：由已知得y2=6x-2x2,因y2=6x-2x2≥0,故0≤x≤3,故x2+y2=-x2+6x=-(x-3)2+9.當x=0時,x2+y2有最小值為0;當x=3時,x2+y2有最大值9,故x2+y2的取值范圍是[0,9].

易錯警示:題中條件包含兩個意思:一是y2=6x-2x2,即y2可以用x的代數式表示,二是y2=6x-2x2≥0,即0≤x≤3,這個條件往往被忽略,產生錯解.

知識點撥：利用函數與方程的思想是解決本題的突破口.

易錯點5:忽視Δ>0這一前提條件

易錯警示：在解決直線與圓錐曲線相交且有交點時,需考慮一元二次方程根的判別式大于0,否則容易出錯.

知識點撥：運用“一元二次方程根的判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有交點的重要方法.