一個含指數項超混沌系統的動力學分析及仿真

張付臣,周雯靜

(重慶工商大學 數學與統計學院 經濟社會應用統計重慶市重點實驗室,重慶 400067)

0 引言

超混沌系統是非線性系統中的一個重要分支,它與普通的混沌系統相比具有更大的復雜性,因而引起了廣大學者的廣泛關注[1-10]。超混沌系統具有易于實現、對初始條件的敏感性強、設計電路簡單等特點,使得它在現代電子信息領域有著廣泛的應用。目前,已經提出了很多具有超混沌特性的新型非線性混沌系統,這些系統已經被成功應用于許多實際工程領域。但是由于超混沌系統復雜的動力學特性和高增益性能,它也為研究非線性系統提供了一個新的思路。在過去的幾年里,已有很多關于四維超混沌系統動力學行為的研究,且由于數字信息系統的復雜性,超混沌系統越來越受到關注,因此對超混沌系統進行研究也有著重要意義[10-18]。

研究了一類含有指數項新的四維超混沌系統動力學行為,首先通過對其Lyapunov指數和Poincaré截面仿真測試,確定了該新四維系統為超混沌系統,具有高度復雜的動力學行為,然后對該系統進行基本的平衡點穩定性分析及耗散性分析,通過Matlab數值仿真,研究該系統隨著參數d的變化而發生的分岔現象。

1 新混沌系統及其分析

1.1 混沌模型

2019年,蘇敏等[5]在Lu混沌系統基礎上,研究了一類含有指數項的新三維混沌系統,其數學模型為：

(1)

為了發現更多的新混沌系統,并且不斷發現新的混沌現象。在該三維混沌系統(1)的基礎上增加一個微分項,并耦合到第二個方程中,得到了一個新的四維混沌系統,其狀態方程如下：

(2)

在系統(2)中,w為引入的新狀態變量,a、b、c、d為系統的參數,當a=28,b=9,c=15,d=10時,系統呈現超混沌狀態。從系統的初始值(1,1,1)開始,圖1展示了系統(2)中各變量隨時間的變化趨勢;圖2展示了三維混沌吸引子的特征。

圖1 系統的每個變量隨時間演化圖

圖2 三維混沌吸引子特征

1.2 耗散性

根據專著[19],系統(2)的耗散度為：

-a+c-b

當a=28,b=9,c=15,d=10時,▽V=-a+c-b=-28+15-9=-22<0,所以系統(2)是耗散的,且當時間趨近于無窮大時,系統(2)以指數速度

將運動軌跡收斂到稱為吸引子的不變集中,新系統(2)存在混沌吸引子。

2 Lyapunov指數和維數

取參數a=28,b=9,c=15,d=10,利用Matlab數值計算,得到系統(2)的Lyapunov指數為：

λLE1=2.893 1,λLE2=0.103 4

λLE3=-0.114 0,λLE4=-24.872 4

其曲線如圖3所示。Lyapunov維數為：

此時Lyapunov指數大于零的有2個,且該系統的Lyapunov維數呈現出正分數,這說明該系統處于一種復雜的超混沌狀態,具有豐富的動力學特性。

圖3 Lyapunov指數曲線

3 Poincaré截面圖

選取參數a=28,b=9,c=15,d=10,繪制系統(2)的Poincaré截面圖,如圖4所示。

圖4 xOw,yOw,zOw的Poincaré截面圖

由圖4所示,無論是xOw、yOw相平面還是zOw相平面的Poincaré截面圖,上面都分布著一片密密麻麻、雜亂無章的點,且由上面分析可知,該新系統有2個正的Lyapunov指數,故該新系統為超混沌狀態。

4 平衡點及其穩定性

令系統(1)右邊向量場等于0,則

(3)

當a=28,b=9,c=15,d=10時,系統(2)只有一個平衡點：

S0=(0,0,1/9,0)

在平衡點S0處的雅可比矩陣為：

令|J-λE|=0,得到特征根為：

λ1=-28,λ2=15,λ3=-9,λ4=0

可以知道特征根中包括了2個負實根、一個正實根和一個零根,由勞斯-胡爾維茨穩定性理論的判別法可知,平衡點S0是不穩定的平衡點。

5 敏感性分析

取參數a=28,b=9,c=15,d=10,選初值x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1,w(0)=1,當初值每個變量都加上0.1、0.11時,利用Matlab對變量x、y、z、w進行仿真,得到圖5。

由圖5可以看出,該混沌系統在初值變量x、y、z、w發生0.1、0.11微小變化后都有較為明顯的變化,則說明該混沌系統具有初值敏感的特性。

6 參數對混沌系統運動狀態的影響

固定a=28,b=9,c=15,初值取(1,1,1,1)時,令d∈[-20,20],在保持初始狀態的情況下,使用Matlab進行仿真模擬,得到了新混沌系統隨系統參數d變化的分岔圖和Lyapunov指數譜的模擬結果,如圖6、圖7所示。

圖6 系統變量x隨參數d變化的分岔圖

圖7 參數d變化時系統的Lyapunov指數譜

由圖6和圖7可得,當d∈[-20,-6]時,λLE1>0,λLE2=0,λLE3<0,λLE4<0,此時,系統處于混沌狀態。當d=-10時,混沌吸引子不同平面的相位圖,如圖8所示。

當d∈[-6,-1]時,由于λLE1>0,λLE2>0,λLE3<0,λLE4<0,此時,系統吸引子處于超混沌狀態。當d=-2時,混沌吸引子不同平面的相位圖,如圖9所示。

當d∈[-1,0]時,由于λLE1>0,λLE2=0,λLE3=0,λLE4<0,此時,系統吸引子處于混沌狀態。當d=-0.5時,混沌吸引子不同平面的相位圖,如圖10所示。

當d∈[0,20]時,由于λLE1>0,λLE2>0,λLE3=0,λLE4<0,此時,系統吸引子處于超混沌狀態。當d=8時,混沌吸引子不同平面的相位圖,如圖11所示。

圖8 參數d=-10時,混沌吸引子相位圖

圖9 參數d=-2時,超混沌吸引子相位圖

圖10 參數d=-0.5時,混沌吸引子相位圖

圖11 參數d=8時,超混沌吸引子相位圖

綜上所述：當d∈[-20,-6]時,系統處于混沌狀態;當d∈[-6,-1]時,系統為超混沌狀態狀態;當d∈[-1,0]時,系統為混沌狀態;當d∈[0,20]時,系統為超混沌狀態。調節系統參數d的值,可以控制系統在混沌狀態和超混沌狀態之間變換。

7 結論

根據Lu混沌動力系統理論構建了一個新的四維超混沌系統,對系統耗散性分析,印證了新系統混沌吸引子的存在。通過Matlab仿真模擬,發現新四維超混沌系統存在2個正的Lyapunov指數,即為超混沌系統,通過Poincaré截面圖證明了新四維混沌系統處于超混沌狀態,令系統(2)中的右端向量場等于零,可得到該系統只存在一個平衡點,且該平衡點為不穩定的平衡點。通過Matlab模擬Lyapunov指數譜、分岔圖等,表明該四維系統具有豐富的超混沌特性,隨著參數變量d的變化,可以控制該系統在混沌狀態和超混沌狀態之間變換。