第一型無窮曲線積分及其條件收斂判別法

邱惠銘 何桂添 唐國吉

摘?要：給出無窮曲線及第一型無窮曲線積分的定義，并獲得了它的計算公式，得到了第一型無窮曲線積分依曲線方程類型的不同可相應地轉化為無窮積分或瑕積分的結論，這些結果完善了趙清理等人［5］的結果。該文還證明了第一型無窮曲線積分的兩個重要的收斂判別法，無窮積分的Dirichlet判別法和Abel判別法是該文結果的特殊情況。

關鍵詞：無窮曲線；第一型無窮曲線積分；單調性；Dirichlet判別法；Abel判別法

中圖分類號：O172.2

The?First?Type?of?Infinite?Curve?Integral?and

Its?Conditional?Convergence?Criterion

Qiu?Huiming?He?Guitian?Tang?Guoji*

School?of?Mathematics?and?Physics，Guangxi?University?for?Nationalities?GuangxiNanning?530006

Abstract：The?definition?of?infinite?curve?and?the?first?type?of?infinite?curve?integral?is?given，and?its?calculation?formula?is?obtained.The?conclusion?that?the?first?type?of?infinite?curve?integral?can?be?transformed?into?infinite?integral?or?defective?integral?according?to?the?different?type?of?curve?equation?is?obtained.These?results?improve?the?results?of?Zhao?Qingzhu?et?al.This?paper?also?proves?two?important?convergence?tests?for?the?first?type?of?infinite?curve?integral，the?Dirichlet?test?and?the?Abel?test?for?infinite?integral?are?the?special?cases?of?this?paper's?results.

Keywords：infinite?curve；?Infinite?curve?integral?of?type?I；?Monotony；?Dirichlet?discriminant；?Abel?test

1?概述

郇中丹教授在文獻［1］中談“數學分析”課程改革的幾點意見中指出，目前國內《數學分析》教材或教學實踐中存在的主要問題之一是：一元微積分的討論不厭其煩，而多元微積分則顯得相當薄弱，這一方面是由于以往人們認為多元微積分是一元的平行推廣（這大概與菲赫金格爾茲的數學分析教材的影響有關），另一方面，由于一元部分相對簡單并且結果頗多。華東師范大學數學系編《數學分析》（第三版）［2］在附錄一介紹微積分簡史中也指出，積分論仍在發展，Riemann積分的推廣仍不能說已經完成。這些認識是客觀的。文獻［1］指出，《數學分析》的改革設想應把多元部分作為重中之重，無論從數學的發展，還是從實際應用，都要求有較好的多元微積分基礎，與一元微積分相比，多元微積分的有關內容還有待深入的研究。

國內通行的《數學分析》教材（如文獻［24］）都研究曲線上的正常積分（包括第一型和第二型的）。1999年，文獻［5］給出了無窮曲線積分的定義，討論了其某些性質和收斂的判別法和計算方法。最近，文獻［6］引入了定義在曲線上的函數的單調性概念，并在文獻［7］證明了第一型曲線積分的第二中值定理。本文在文獻［57］工作的基礎上研究第一型無窮曲線積分的兩個重要的收斂判別法，無窮積分中的Dirichlet判別法和Abel判別法是本文結果的特殊情況。本文的另一個貢獻是完善了文獻［5］中關于無窮曲線的定義和第一型無窮曲線積分的計算公式。

2?定理和引理

定義2.1在平面光滑曲線C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+）上，A（φ（α），ψ（α））為曲線C的一個端點，B（φ（t），ψ（t））是曲線C上的任一點，s（A，B）表示弧段C（A，B）的弧長，稱曲線C是以點A為端點的無窮曲線，如果limt→+

）。若我們在曲線上任意取定某一點為端點，則該無窮曲線可看成是兩條有端點的無窮曲線，其中的任一條的方程表達式一定屬于前面所定義的四個類型之一。

下面我們給出第一型無窮曲線積分的定義。

定義2.2：設C是以A為端點的平面無窮曲線，f是定義在曲線C上的二元函數，對曲線C上的任一點B，s表示曲線C上以點A，B為端點的弧段（記作C（A，B））的弧長，f在C（A，B）上第一型可積，若：

lims→+

αf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；（2）

類似地，

情形2：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β），則：

J=∫βαf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形3：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈（－

f（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形4：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈（β，α］，則：

J=∫αβf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt。

情形1是文獻［5］中定理6的結果，該文沒有注意到無窮曲線的其他類型，因此只得到第一型無窮曲線積分與無窮積分之間的關系。事實上，第一型無窮曲線積分依無窮曲線的不同類型可相應轉化為無窮積分（見情形1和情形3）或瑕積分（見情形2和情形4）。

文獻［7］引入了平面曲線上的二元函數的單調性概念，并且證明了第一型曲線積分的第二中值定理。

定義2.3［7］設C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］為平面上的可求長曲線，曲線兩端點為A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）），f（x，y）為定義在曲線C上的函數，若對任何的t1，t2∈［α，β］，當t1

（1）f（φ（t1），ψ（t1））SymbolcB@

f（φ（t2），ψ（t2）），則稱f為曲線C上的增函數，特別地，當成立嚴格不等式f（φ（t1），ψ（t1））

（2）f（φ（t1），ψ（t1））f（φ（t2），ψ（t2）），則稱f為曲線C上的減函數，特別地，當成立嚴格不等式f（φ（t1），ψ（t1））>f（φ（t2），ψ（t2））時，稱f為曲線C上的嚴格減函數。

我們指出：曲線上函數的單調性概念是一元函數單調性的推廣。

引理2.1（第一型曲線積分的第二中值定理）［7］設函數f在光滑曲線C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］（曲線兩端點為A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）））上第一型可積。若g為曲線C上的單調函數，則存在P（ξ，η）∈C，使：

∫Cf（x，y）g（x，y）ds=g（φ（α），ψ（α））∫C（A，P）f（x，y）ds+

g（φ（β），ψ（β））∫C（P，B）f（x，y）ds（3）

本文主要結果的證明還需用到第一型無窮曲線積分的Cauchy收斂準則。

引理2.2（第一型無窮曲線積分的Cauchy收斂準則）［5］設A為無窮曲線C的端點，f（x，y）是定義在曲線C上的二元函數，則∫Cf（x，y）ds收斂的充要條件是：對任意給定的ε>0，存在M>0，對任意的P1，P2∈C，只要s（A，P1），s（A，P2）>M，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。

3?主要結果

定理3.1（狄利克雷判別法）設A是光滑無窮曲線C的端點，P（u，v）是曲線C上的任一點，若F（u，v）=∫C（A，P）f（x，y）ds在曲線C上有界，g（x，y）在曲線C上當s→+

M，P（u，v）∈C。

對于任意給定的ε>0，由g（x，y）在曲線C上當s→+SymboleB@

時趨于零知，存在G>0，使得對每一個P（x，y）∈C，只要滿足s（A，P）>G，就有|g（x，y）|<ε4M。

對于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈C：s（A，P2）>s（A，P1）>G，又因g為單調函數，在曲線段C（P1，P2）上利用第一型曲線積分的第二中值定理得知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得

∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+

g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。

于是

|∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds|

ε4M·2M+ε4M·2M=ε.

由Cauchy收斂準則知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。證完。

定理3.2（阿貝爾判別法）設A是光滑無窮曲線C的端點，f（x，y），g（x，y）是定義在曲線C上的二元函數，若∫Cf（x，y）ds收斂，g（x，y）在曲線C上單調有界，則∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。

證明：由g（x，y）在曲線C上有界，即存在M>0，使得對曲線C上的每一點P（x，y），有|g（x，y）|SymbolcB@

M。

對于任意給定的ε>0，由∫Cf（x，y）ds收斂知，存在G>0，使得對于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈C，只要s（A，P2）>s（A，P1）>G，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε2M。

又因為g為曲線C上的單調函數，在曲線段C（P1，P2）上利用第一型曲線積分的第二中值定理可知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得

∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。

于是

|∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds|

M·ε2M+M·ε2M=ε.

由Cauchy收斂準則知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。證完。

定理3.1與定理3.2的結論對于三維或一般的n維空間中的第一型無窮曲線積分仍成立。

推論3.1（無窮積分的Dirichlet判別法）［2］若F（u）=∫uaf（x）dx在［a，+SymboleB@

）上有界，g（x）在［a，+，這是一條無窮曲線，定義曲線C上的二元函數f～（x，y）=f（x），g～（x，y）=g（x），容易驗證f～，g～在曲線C上滿足定理3.1的條件，因此由定理3推知∫Cf～（x，y）g～（x，y）ds收斂，即∫+af（x）g（x）dx收斂。

證明仿推論3.1應用定理3.2容易推出結論。

通過推論3.1與推論3.2及其證明，我們知道無窮積分中的Dirichlet判別法和Abel判別法是本文結果的特殊情況。

參考文獻：

［1］郇中丹.對師范大學本科數學專業《數學分析》課程改革的幾點意見［J］.數學教育學報，2000，9（2）：1719.

［2］華東師范大學數學系.數學分析（上、下冊）（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［3］劉玉璉，等.數學分析講義（上、下冊）（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］徐森林，薛春華.數學分析［M］.北京：清華大學出版社，2006.

［5］趙清理，于興江，冷學斌.無窮曲線上的積分及其性質［J］.聊城師院學報（自然科學版），1999，12（3）：6871.

［6］唐國吉.第二型曲線積分的第二中值定理［J］.數學的實踐與認識，2009，39（17）：200205.

［7］唐國吉，鄭漢術，陳曉丹.第一型曲線積分的第二中值定理［J］.廣西民族大學學報（自然科學版），2013，19（1）：4548.

基金項目：本研究受廣西高等教育本科教學改革工程項目（2020JGA155）和廣西民族大學數學與應用數學專業相思湖本科教育教學創新團隊資助

作者簡介：邱惠銘（1983—?），女，漢族，廣西桂林人，本科，初級，研究方向：應用統計。

*通訊作者：唐國吉（1979—?），男，漢族，廣西防城港人，博士，教授，博士生導師，研究方向：運籌學與控制論、數學教育。