考慮熱膨脹與帶隙的點陣超材料多目標優化設計①

王 偉,呂樹辰,許衛鍇,*,李 潔

(1. 宿遷學院 產業技術研究院,宿遷 223800;2. 沈陽航空航天大學,遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室,沈陽 110136)

0 引言

聲子晶體(Phononic crystal, PnCs)[1-3]是一種通過類比光子晶體而產生的人工超材料,其帶隙產生的原理主要分為布拉格散射和局域共振理論。聲子晶體因其顯著的色散特性(如帶隙性能)在過去的幾十年間引起了廣泛關注,并因此逐漸成為控制機械波傳輸的選擇。近年來,很多學者在考慮材料帶隙的同時也開始關注其他特性,如輕量化[4]、熱膨脹性能[5-6]、帶隙調控性能[7]等。然而,由于聲子晶體的帶隙計算較為復雜,很難通過基礎的參數調試獲得最佳的帶隙需求,因此,對具有帶隙性能的材料與結構進行優化設計,成為當前研究的一個熱點。例如,SIGMUND等[8]基于有限元方法,首次利用拓撲優化方法研究了二維聲子晶體的最大帶隙設計。隨后,聲子晶體的拓撲優化設計迅速得到了廣泛研究。借助于遺傳算法,GAZONAS等[9]設計了二維聲子晶體結構。鐘會林等[10]將PWE和有限元法相結合,對二維固-固聲子晶體進行了優化設計。此外,基于遺傳算法的聲子晶體多目標優化也相繼發展,例如,HUSSIEN等[11-12]基于非支配排序遺傳算法(NSGA-II)對目標頻率的一維聲子晶體進行了優化。XU等[13-14]則利用NSGA-II對由三種組分材料構成的聲子晶體進行了多目標優化設計,并得到了一些有意義的結果。

材料與結構的熱膨脹性能研究也已取得了很多有效的進展,尤其對于處在惡劣溫度環境下的材料,往往需要特定的熱膨脹性能。近年來,不斷有新穎的熱膨脹結構和材料被提出以實現特定需求的熱膨脹系數,如零膨脹或極大的正/負膨脹。例如,LEHMAN等提出了一種三角形超材料單胞(Lehman-Lakes單胞),這種單胞由雙材料彎曲肋條鉸接而成,在實現特殊熱膨脹系數的同時能夠保持較高的剛度[15-16]。為克服其不易制備的缺點,ZHANG等[17]將鉸接改進為固定連接(JTCLM單胞),結構的剛度特性可通過合理的材料/尺寸設計得到。

盡管特定熱膨脹材料的研究已經取得了大量的成果,但多數研究仍局限于對其熱膨脹系數的設計,對于材料其他的性質即多功能化的分析仍存在不足。隨著科技的發展,結構與材料在服役過程中往往需要應對多種物理場的作用,特別是在航空航天領域,較大的溫差和高超聲速下的振動和噪聲對結構和材料提出了新的挑戰。因此,在考慮特定熱膨脹材料的同時研究其帶隙隔振特性成為當前重要的科學問題[18]。劉成龍、許衛鍇等[19-20]分別對拉伸主導型和彎曲主導型的熱膨脹點陣超材料進行了帶隙特性的初步研究,結果表明這些構型能夠在一定頻率范圍內產生帶隙,且結構的幾何參數對帶隙具有顯著影響。BAI等[21]提出一種新型四韌帶反手性點陣超材料,可實現熱膨脹與泊松比的調控,并討論了其帶隙特性隨幾何參數的影響。然而,上述這些超材料盡管表現出了一定的帶隙特性,但并未表現出明顯的分布規律,難以得到特定需求的熱膨脹/帶隙性能的多目標優化構型。因此,對該類點陣超材料進行多目標優化設計成為一個重要課題。

本文采用NSGA-II對JTCLM的熱膨脹系數和帶隙特征進行了多目標優化,并給出了考慮熱膨脹系數和最大相對帶隙的帕累托最優解。針對零/正/負熱膨脹系數,分別討論了結構參數與最大相對帶隙的關系,此外,還研究了更換不同材料組分對優化結果的影響。

1 模型與方法

1.1 模型介紹

本文所取模型為文獻[17]中的JTCLM單胞,如圖1所示。單胞肋條由兩種不同材料組成,肋條二(紅色線條)局部覆蓋在肋條一(藍色線條)上。其中,L、L0分別為肋條一和肋條二的軸向長度;t1、t2分別為肋條一和肋條二的厚度;θ、R分別為彎曲角度和彎曲半徑,代表了雙層部分的彎曲程度。假設α1和α2分別為材料1和材料2的CTE,并令q彎曲肋部分與總長度的比,q=L/L0;n材料1和材料2的彈性模量之比,n=E1/E2;m材料1和材料2的厚度之比,m=t1/t2,則單胞的材料和幾何參數一旦選定,其等效熱膨脹系數可由q、m、n、α1、α2、θ六參數確定,其熱膨脹系數的計算公式如式(1)所示[17]

圖1 JCTLM的結構示意圖Fig.1 Schematic illustration of the JTCLM

(1)

當組分材料被選定后,其熱膨脹系數α1、α2,模量比n也將確定。此時單胞的形狀將成為帶隙特性的主要影響因素。在實際應用中,由于JTCLM單胞組成的點陣材料只在x-y平面內體現零膨脹特性,在z軸方向上不能實現零膨脹功能,因此本文只考慮二維帶隙即x-y平面內帶隙。

文中選用了三種材料進行組合搭配,分別是因瓦(Invar)、鋁(Al)以及鋼(Steel)。其中Invar是一種熱膨脹系數很低的材料;Al和Steel具有較高的熱膨脹系數,且Steel具有更高的強度。三種材料的相關熱/力參數如表1所示。

表1 材料參數Table 1 Parameters of the constituent materials

1.2 彈性波方程和帶隙計算

線彈性及各向同性的無源介質中的彈性波控制方程為[22-23]

{[λ(r)]+2μ(r)(·u)}-×

[μ(r)×u]+ρω2u=0

(2)

式中ω為角頻率;r(x,y,z)為位置矢量;u(r)為位移矢量;=(?/?x,?/?y,?/?z)為微分算子;λ(r)和μ(r)分別為材料的拉梅常數;ρ(r)為材料密度。

對于此周期性結構,材料的參數具有相同的周期性。根據Bloch定理,可以得到位移矢量為

=ei(k·r-ωt)uk(r)

(3)

式中k=(kx,ky)為第一布里淵區的波矢量;G為無量綱空間坐標逆晶格矢量。

由于結構具有平移周期性,可以選擇其維格納原胞代表整個結構,如圖2(a)所示。根據晶體能帶理論,任選一個倒格子點為原點,做原點和其他所有倒格子點連線的中垂面,這些中垂面將倒格子空間分割成許多區域,其中最靠近原點的閉合區域稱為第一布里淵區。利用平移對稱性可進一步得到不可約布里淵區。對于JTCLM,可以取第一布里淵區和不可約布里淵區如圖2(b)所示。將波矢k沿不可約布里淵區的邊界求解,可計算聲子晶體的帶隙分布。

圖2 (a)JCTLM晶格的維格納原胞;(b)晶格的第一及不可約布里淵區Fig.2 (a) Wigner-seitzprotocells of JTCLM;(b) The first and irreconcilable Brillouinzones of lattice

求解控制方程(2)涉及到復雜的本征頻率問題,由于在處理復數特征值方面所具備的優勢,選擇COMSOL Multiphysics作為有限元求解工具,可以通過方便地應用Bloch周期邊界條件實現對式(2)的求解[14]。

1.3 NAGA-II與目標確定

遺傳算法已被廣泛地應用于各領域中的拓撲優化設計問題。特別是由于遺傳算法不依賴于目標函數的梯度及敏度,能夠從多個并行點找到最優解,因此特別適合復雜波動問題的優化求解。本文利用NAGA-II算法對JTCLM進行多目標優化設計,以求得到同時具有優異帶隙性能又兼顧熱膨脹特性的點陣超材料構型。這是一個典型的多目標優化問題。可以將問題表述為

Minimize:F1=Pen1(x),F2=Pen2(x)

(4)

其中,F1和F2分別定義為優化目標的懲罰函數。在本文中,目標一選為最大相對帶寬[14]:

(5)

目標二則是特定的熱膨脹系數。NAGA-II算法的執行過程如下:

(1)隨機生成NP個染色體的初始種群P,并在染色體的末端加上目標函數值,以便于計算和數據處理;創建空集合Q和S。

(2)利用非支配排序對初始種群進行排序,這將為每個個體返回兩個指標:等級和擁擠距離。

(3)對種群中的個體進行二進制錦標賽選擇操作,選擇具有更好適應度的個體作為父代個體;通過執行二進制交叉并使用具有一定概率的多項式變異算子來形成子代種群Q。

(4)合并父代和子代種群并記為S=P∪Q,作為生成下一代的組合種群。

(5)再次基于非支配排序對組合種群S進行排序,并根據擁擠度距離選取染色體進入新一代種群P;清空Q和S。

(6)重復步驟(2)至(5),直至滿足終止標準。

有關NSGA-II的詳細介紹見文獻[24]。

2 算例與討論

2.1 算例一:零膨脹與最大相對帶隙

零膨脹效應對提高結構和材料的熱幾何穩定性有重要意義,在熱膨脹材料的研究中備受關注。令Invar作為材料一而,Al為材料二,首先選擇零膨脹系數為第二個目標:

(6)

圖3 展示了NSGA-II生成的帕累托最優解。結果顯示,隨著實際與目標熱膨脹系數差值的增大,最大相對帶隙也將隨之增大,這說明兩個目標之間存在制約的關系。為了更加明顯的體現目標之間的趨勢,選擇A、B、C三個結構進行進一步分析,其目標值和幾何參數如表2所示,可以看出其主要的區別在于q和θ的改變,而t1和t2保持一致。圖4給出了三個結構的帶隙圖和透射率。

圖3 算例一的帕累托最優解與A結構的構型圖Fig.3 Pareto optimal solutions of Case 1 and the selected structure A

表2 算例一中A、B和C結構的幾何參數及其CTE和RBGWTable 2 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 1

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C圖4 算例一中三個結構(A,B,C)的帶隙圖和透射率(帶隙用灰色表示,并給出相應的值)Fig.4 Three selected structures (A, B, C) in Case 1 and their band gap diagrams and transmittance curves(The band gap is shaded in grey and the corresponding values are given)

由圖4可以看出,從A到C的帶隙逐漸加大,且與文獻[20]相比,能夠在較低的頻率范圍保證較寬的帶隙。這表示優化結果均具有良好的帶隙性能。隨著q和θ的增大,意味著可視為散射體的雙層部分質量或密度增大,從而使得帶隙頻率下移。然而,過大的q和θ將使得熱膨脹系數從A到C逐漸背離設定的目標值,甚至在B結構之后的構型不能再看做是零膨脹材料。

為了驗證優化結果的有效性,圖4中還對選中的結構沿ΓX和ΓM方向進行了透射率的計算,透射率的頻響函數為[13]

(7)

式中 |Ut|和|Ui|分別為透射波和入射波的振幅。

結果顯示,透射率的結果與帶隙完全對應,證明了計算結果的準確性。

值得注意的是,根據式(1),負熱膨脹性能和零膨脹性能的材料搭配一致,因此負膨脹材料的設計可采用相同的方法,只需修改目標二中的目標CTE數值。

2.2 算例二:正膨脹與最大相對帶隙

根據式(1),正膨脹與零/負膨脹的結構可由互換兩種材料獲得,即令Al作為材料一,而Invar為材料二。正膨脹雖然是比較常見的性能,但是JTCLM的設計可以實現常見材料難以實現的大膨脹性能。例如,選取正的熱膨脹系數為3×10-5,則目標二變為

(8)

圖5顯示了生成的帕累托解集和所選取的結構A的構型示意圖。優化結果趨勢與零膨脹一致,依舊存在兩個目標之間的制衡問題。其中,選擇的A、B、C三個結構的目標值和幾何參數如表3所示,其帶隙圖如圖6所示。可以看到正膨脹的帶隙相對于零膨脹有一定的提升。這是由于材料在調換之后,密度較大的Invar成為散射體的構成部分,這使得結構更容易產生帶隙。同樣的,增大q和θ可進一步提高材料的最大相對帶隙,但其對熱膨脹系數的制約需要根據真實工況對兩個目標的要求進行平衡。為了節省篇幅,這里沒有給出透射率的曲線。

圖5 算例二的帕累托最優解及A結構的構型圖Fig.5 Pareto optimal solutions of Case 2 and the selected structure A

表3 算例二中結構的幾何參數以及CTE和RBGWTable 3 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 2

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C圖6 算例二中三個結構(A,B,C)的帶隙圖(帶隙用灰色表示,并給出相應的值)Fig.6 Three selected structures (A, B, C) in Case 2 and their band gap diagrams(The band gap is shaded in grey, and the corresponding values are given)

2.3 算例三:考慮不同材料的負膨脹與最大相對帶隙

當構成JTCLM的組分材料不同時,材料整體的熱膨脹和帶隙性能都會發生變化,因此選取不同的材料進行優化分析也具有重要的意義。例如,為提高材料的強度,可將材料一和材料二分別選取為Invar和Steel。目標一仍然是最大相對帶隙,目標二則選擇為-2×10-5,有

(9)

圖7顯示了生成的帕累托解集和所選取的結構A的構型示意圖。A、B、C三個結構的目標值和幾何參數見表4,其帶隙結果見圖8。可以看出,優化結果的趨勢與前兩個算例類似。此外,材料2由Al替換為Steel后,材料的剛度得到了增強,但同時Steel的密度也遠大于Al,即作為散射體的雙材料部分質量也得到了增加,最終優化得到的結構帶隙頻率范圍較鋁有了一定的下降,位于0.4～0.8kHz附近。

圖7 算例三的帕累托最優解與A結構的構型圖Fig.7 Pareto optimal solutions of Case 3 and the selected structure A

表4 算例三中結構的幾何參數以及CTE和RBGWTable 4 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 3

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C圖8 算例三中三個結構(A,B,C)的帶隙圖(帶隙用灰色表示,并給出相應的值)Fig.8 Three selected structures (A, B, C) in Case 3 and their band gap diagrams(The band gap is shaded in grey, and the corresponding values are given)

3 結論

JTCLM在滿足特定熱膨脹系數的同時,也具有聲子晶體的帶隙性能。本文以特定正/負/零熱膨脹系數和最大相對帶寬為目標對其進行了多目標優化設計,并分別給出了設計的帕累托最優解集。本研究結論總結如下:

(1) 基于NSGA-II,對JTCLM進行了多目標的遺傳算法優化設計,所生成的帕累托解集可在不同的期望目標之間實現平衡。結果表明,正膨脹構型有可能產生更優的帶隙特性,例如,其最大相對帶隙可達0.623,遠大于其他情況。

(2) 鑒于零膨脹效應在提高結構和材料熱幾何穩定性方面的特殊性,其帶隙特性的研究極具意義。優化結果顯示零膨脹構型能夠在保持較小膨脹系數的同時,也具有較好的帶隙性能。

(3)不同材料的替換也會對JTCLM的熱/力性能產生影響,而且更多的材料選擇有望增加新的優化目標,以實現更加符合實際的應用。