空間電氣間隙與爬電距離包含通過圓弧面的路徑時的數學建模與求解

易壯成 易俊融

（1.萊茵技術（上海）有限公司 上海 200072；2.上海交通大學附屬中學 上海 200439）

1 原型問題及結構分析

在一塊平板絕緣材料（簡稱板材）上，紫色矩形導體緊貼其正面（上表面），棕色矩形導體緊貼其反面（下表面）。其投影成直角且相交，在板材上有一個離兩導體較近的開孔H，位置關系如圖1 所示。需要測量兩個導體之間通過圓孔H 的電氣間隙與爬電距離。電氣間隙和爬電距離可統稱為絕緣距離。

圖1 原型結構投影

在本案中，電氣間隙是兩導體之間通過圓孔的空間最短路徑；爬電距離是兩導體之間通過圓孔的內表面的最短路徑。依此定義，電氣間隙和爬電距離的路徑都是唯一的。該結構的典型特征是：板材上下表面是平行的，圓孔H的內表面是一個曲面（圓弧面）。我們能夠直接測量的參數是H 到兩個導體的最短距離。以及H 的直徑（d=2r）以及板材的厚度。

顯然這個電氣間隙與爬電距離是不能直接測量的。但如果我們構造起適當的數學表達式，那么依據定義，電氣間隙和爬電距離就成了求對應函數表達式在給定取值范圍內的最小值問題。

2 電氣間隙的單變量數學模型與結構條件

2.1 數學模型變量的選定

從投影面來分析，假設可能絕緣距離路徑的投影交H 左上四分之一圓弧于A, B 兩點（顯然其他方位不可能距離更短）。設H 的圓心為O，OA 與橫軸成α 角（順時針），OB 與縱軸成β 角（逆時針），如圖2。由于A，B 無論處于何位置，都可以分別對正反兩面導體邊緣（或其投影）作垂線AJ，BK。因此可以確定上表面和下表面的路徑必然分別與AJ，BK 平行。

圖2 投影面的常量和變量

2.2 角度變量α 與β 之間的關系

假定，路徑對應某一個具體的A，B 點，則玄（或弧）AB 長為定值，意味著α+β 也為定值。

設B′，K′是位于板材反面，其投影對應B, K。只需要求得兩直線段長度AJ 和B′K′之和的最小值，即可確定絕緣距離的完整路徑。定義A，B′為路徑在圓弧面上的拐點。

在板材正反兩面的絕緣距離路徑表達式分別為：

式中：

r —圓孔H 的半徑；

a—正面導體與圓孔的最短距離；

α—OA 與最短距離a 所在直線所成的夾角（順時針）；

b—反面導體與圓孔的最短距離；

β—OB與最短距離b所在直線的投影所成的夾角（逆時針）。

由s1+s2=r（2-（cosα+cosβ））+a+b

再依據和差化積公式，

可知，當α+β 為定值（AB 長度為定值時），則α=β 時，cosα+cosβ 最大，s1+s2最小。

2.3 電氣間隙的數學模型和EXCEL 計算

由以上可以得出結論，路徑取得最小值時，角度α，β 成對稱關系。因此可設α=β=x ，這樣就可以用單個角度變量 x 來構建數學模型，如圖3。

圖3 原型結構電氣間隙路徑的投影

利用余弦定理和勾股定理不難得出通過H 的電氣間隙路徑s3（AB′）的函數表達式：

式中：

h—圓孔H 的高（板材的厚度）；

x—OA，OB 分別與a，b 所在直線所成的夾角。

除非特別注明，相同字符的含義在后續的表述中沿用。

綜合以上分析，可得出求解電氣間隙路徑的完整的函數表達式為：

由于f1(x)是一元函數，在取值范圍內（注意原型中x ∈[0，π /4]），可采用EXCEL 表格直接計算篩選而不必求導。極小值f1(x0)就是電氣間隙的大小。依據對應的角度x0，即可確定電氣間隙路徑上所有點的具體位置。

2.4 單變量數學模型成立的結構條件

顯然，以上單變量模型成立的數學條件是f1′(x0)=0。結構上表現為極小值點x0所對應的A，B 兩點能在導體邊緣（或其投影）上找到對應的垂足J，K，不然函數表達式f1(x)不再成立。令集合{α} {β} 分別表示角度α，β 的取值范圍，本案中單變量數學模型成立的結構條件是：

x0∈{α}，且x0∈{β}，

或者表示為：x0∈{α}∩{β}；

注意{α}={β}以及兩導體垂直都不是單變量數學模型成立的必要條件；只要路徑通過圓弧面，該模型也可適用于其他形狀的孔。如圖4，兩個導體成一個已知夾角，只需要調整S3的表達式和x 的取值范圍，即可構建單變量數學模型，a 是正面導體延長線與圓弧的最短距離。

圖4 單變量模型的異形結構投影

3 爬電距離的計算方法及其路徑的幾何意義

3.1 爬電距離的數學模型及其計算

類似地，對于原型結構爬電距離的計算，可以列出對應的數學表達式：

對f2(x)求導數，得：

令f2′(x)=0，則等效于：

由于x＜ π/4＜1.利用正切函數的泰勒展開公式的近似表達式

tan(x)=x+x3/3，

（8）式就變成一個沒有二次項的一元三次方程：

利用一元三次方程求根根式可以得出方程的實數解，即爬電距離對應的角度x=θ。f2(θ) 即為本案所求的爬電距離。筆者曾以實例計算過，該近似方程的解足以滿足檢測實驗室對爬電距離的測量精度要求（一般精確到0.1 mm 即可）。

注意計算結果需滿足如下數量關系：f2(θ)＞f1(x0)，且θ＞x0。這個結論可以用來檢查可能發生的錯誤。

3.2 原型結構爬電距離路徑的幾何意義

如果兩個異面導體的爬電距離的所有路徑都是通過平面表面，則將相關平面翻折到同一平面后畫直線即是最短路徑 。在本案中，由于有一段路徑通過的是一個曲面，不可能直接翻折上下表面。但如果運用微分的思想，可以得出一個有趣的結論。

設爬電距離的路徑的投影與圓孔H 的交點為C，D ，D′是該路徑與圓孔下表面的實際交點。在C 點做圓弧的切線，切線與線段CM 的夾角也是圓弧CD 與CM 的夾角，記為φ，見圖5。可知：

圖5 原型結構爬電距離路徑的投影

φ+θ=π/2 （10）

將四分之一圓柱側面沿C 點圓弧切線的方向展開，同時以該切線為軸將CM（可視為無限小平面）翻轉到與這個圓柱面展開面到同一個平面上。在這個過程中，線段CM 與弧CD 的夾角φ 一直保持不變。同情的情形也適用于下表面的路徑D′N′。

由于θ 滿足（8）式，展開后，圓孔H 內表面的爬電距離路徑CD′與圓柱體高所在直線正好成θ 角，結合（10）式，可以得出結論，經過上述翻轉及展開后，爬電距離上下表面的路徑CM 和D′N′與圓孔H 內表面上的路徑CD′在同一條直線上，見圖6。這與前述平面翻折后的路徑取直線有異曲同工之妙。

圖6 旋轉展開后的爬電距離路徑

4 電氣間隙的二元變量數學（結構）模型及求解

4.1 電氣間隙的路徑起點為導體端點的數學模型

如圖7 所示的結構，不符合2.4 的條件，正面導體上靠近圓弧的端點J 為路徑的起點。對于這種結構，需要設兩個變量來重新構建數學模型。

圖7 一個導體端點為路徑起點的結構投影

不妨設端點J 點正好在橫軸上，可列出求解電氣間隙路徑的二元函數f1(x，y)的表達式為：

式中：

y—OB 與最短距離b 所在直線的投影所成的夾角。

4.2 兩元變量函數f1(x，y)極小值的EXCEL 算法推導與確認

把（11）式拆分成三段，分別表達上下表面和圓孔內的路徑：

對其求導數h(x)

2）s2(y)= r（1-cos(y)）+b

對其求導數：

分別求s3(x，y)對x，y 的偏導數，由于x，y 對其的影響因子相等，其表達式相同：

二元函數的f(x，y)極小值點（x0，y0）一定要滿足：

f′x(x0，y0)=0, 且f′y(x0，y0)=0

對應聯立（12）和（14）式，以及（13）與（14）式，可知(x0，y0) 必然滿足：

因x，y ∈[0，π /2]，由（12），（13）知，t 是不小于0 的參數，且（12）和（13）式是單變量函數，給定t 值，即可求取對應（12），（13）兩個表達式的反函數的值x(t)與y(t)。再將x，y 帶入（15）式，若前后等式成立，即求得最小值對應的點 (x0，y0) 。

4）式兩邊平方，做簡單變形，得：

r2(r+a)2（1-（cos(x)）2）=t2（r2+(r+a)2-2r(r+a)cos(x)）（16）

看起來復雜的表達式其實是一個關于cos(x)的一元二次方程，利用求根根式，可以求得對應的以t 為變量的表達式cos(x)=g(t)。注意t=0 時，x=0 或者π；x= π明顯不合題意，因此對應表達式要省去。從而可以得到（11）式的反函數。

而依據（13）式，可得：

利用EXCEL 表格，第一列為t 值，以0 為起始值，0.01為步進數遞增。利用兩個反函數計算公式（17）、（18）計算得到第二，第三兩列結果；再把第二，第三列結果作為x，y 輸入，第四，五列編入（15）式和（11）式，選擇第四列結果與第一列輸入最接近的一行數據，則求得極小值點f1(x0，y0) 及對應的角度(x0，y0)。從而得出電氣間隙的路徑和數值。

筆者曾用具體數據進行方法確認，用原始測量數據a=1.50 mm，b=0.70 mm，r=0.90 mm，h=1.44 mm 得出以上（15）、（17）、（18）式及（11）式的具體表達式后，輸入EXCEL，得到的解為：

x0=0.277，y0=0.436；f1(x0，y0)=3.96 mm。

在計算過程中，發現第四列數值最接近第一列輸入時，對應f1(x，y)最小。且在(x0，y0)附近f1(x，y)的數值變化趨近于0，因此以上方法的正確性和可行性得以確認。

4.3 算法的適用條件

一般地，如果一個絕緣距離的路徑可以拆分表達為：

且x，y 對s3(x，y)的影響因子成線性關系，則可以參考4.2 的思路求解。

5 包含橋接的爬電距離路徑的二元變量數學（結構）模型示例

當正面紫色導體并未與絕緣板材表面接觸，而是與板材表面平行但距離較小，若存在爬電距離橋接，則橋接方向要保證整體路徑最小[3]。這里討論一個典型結構。

設O1是紫色導體端點J 在上表面的投影，連接O1O，以O1O 和圓孔中軸線所在平面作縱向剖面，如圖8。以橋接距離X 為直徑的球面與上表面交集為圓O1，代表可能橋接路徑與上表面交點的軌跡；棕色導體平行于O1O。圓O1的半徑R（O1F）是可以直接計算的常數：

圖8 爬電距離包含橋接的結構（剖面）

式中：

X—GB/T 16935.1[1]中 6.2 章節規定的尺寸，即圖9所示的JF；

圖9 橋接距離方位的確定（投影）

a—紫色導體與上表面距離（直接測量），c＜X。

另外，圓心O1到圓弧O 的最短距離也是可以直接計算的常數：

式中：

u —圓心O1到圓弧O 的最短距離O1E；

a—導體端點J 與圓弧O 的最短距離JE（直接測量），a＞X。

設路徑與上表面圓弧的交點為C。連接O1C, 與圓O1相交于M，對于圓O1上任何異于M 的點M′，必有O1M′+CM′＞O1C。因此橋接距離X 必過M 點，如圖9。

則紫色導體上表面路徑及橋接距離（CM+JM）的表達式為：

式中：

x—OO1與OC 所成的的夾角。

參考3.1，有關爬電距離在圓孔內表面的路徑和板材下表面上的路徑很方便表達，總路徑表達式f2(x，y)符合4.3 的條件。因此該結構模型的爬電距離可求解，具體過程略。

6 結論

綜上所述，測量通過空間曲面結構（如圓弧面）的電氣間隙和爬電距離時，需要先利用曲面上路徑拐點的幾何特征定義變量以建立簡明的數學模型，并判斷結構是否符合模型成立的條件。對于必須建立二元變量數學模型的結構，還需要運用數學工具推導出算法，再輔以EXCEL 求解出正確的路徑。對于爬電距離存在橋接的情況，應先確定橋接距離的方位。以上探討可做為檢測實驗室的能力驗證和日常測量參考；對從事有關產品結構設計的研發人員也有借鑒意義。