多孔空氣靜壓軸承動力學性能影響參數的優化設計*

李一飛 尹益輝

（1. 青海民族大學土木與交通工程學院 青海西寧 810007；2. 中國工程物理研究院總體工程研究所 四川綿陽 621900）

空氣靜壓支承軸承作為超精密加工、 測量設備的主流功能部件， 具有摩擦小、 運動精度高、 使用壽命長的優點。 在設計中， 應著重關注軸承的力學性能。具有良好的力學性能的軸承， 可以有效抵抗靜、 動載荷并穩定地運轉， 這對于超精密設備性能的提升具有重要意義。 然而， 由于機制理解、 求解的復雜性， 目前在軸承工程設計中仍以靜力學分析為主， 未能有效考慮動力學性能的優化， 不利于軸承性能的進一步提升。

空氣靜壓支承軸承的靜力學性能包括靜承載力、靜剛度等， 是目前主要考慮的設計指標［1-3］。 但是單純的靜力學性能設計， 不足以有效提升軸承對動載荷的抵抗能力， 需要考慮動力學性能的優化。 在分析中， 可將軸承氣膜等效為彈簧-阻尼系統， 而動力學性能分析的重點之一即為研究軸承參數對氣膜剛度、阻尼的影響機制。 在解析分析中常在給定邊界條件下求解擾動雷諾方程， 獲得時變壓力分布并進一步計算氣膜的剛度與阻尼。 BOFFEY［4］通過求解擾動雷諾方程獲取了氣膜的剛度、 阻尼參數， 并給出了軸承穩定運轉的動力學判別條件。 BHAT 等［5］討論了軸承參數對氣膜剛度、 阻尼的影響。 ARGHIR 和MATTA［6］將氣膜等效為黏彈性模型， 討論了剛度、 阻尼的參數影響機制。 目前， 基于 CFD （ Computational Fluid Dynamics） 技術的數值仿真在動力學性能分析中也獲得了應用。 CHEN 等［7］利用動網格法， 對軸承壁面施加簡諧位移激勵， 仿真獲取了氣膜的剛度、 阻尼， 并通過實驗對比驗證了仿真求解的準確性［8］。相比解析分析， 數值仿真采用了更少的假設， 因此精度更高。

氣膜剛度、 阻尼的計算是軸承動力學性能分析的基礎， 其優化提升有助于改善軸承的運轉穩定性。 在動力學性能分析中， 軸承的自激振動特性也獲得了廣泛關注。 自激振動包括微振動與氣錘振動， 前者由于軸承間隙流場中產生漩渦流動并引起壓力波動而產生［9-11］； 后者由于軸承間隙流量、 被支承件運動與壓力變化間存在相位差而引起［12］。 自激振動為流場內激勵， 其產生不利于軸承的正常使用， 尤其氣錘振動的出現可引起強烈的振動與嘯叫， 嚴重時甚至會導致軸承失效［13］。 因此， 在設計階段即應當考慮自激振動， 尤其是氣錘振動的消除。 研究表明， 軸承供氣壓、 腔形、 腔容積等設計因素均可影響氣錘振動［14-15］。 在氣錘振動的頻率范圍內提升軸承氣膜抵抗動載荷的能力， 可為抑制氣錘振動提供有效的設計手段。 由于位移阻抗性能直接反映了氣膜-被支承件系統對外動載荷的抵抗能力［16］， 因此， 可通過提升位移阻抗實現針對自激振動的削弱。

本文作者針對工程中常見的多孔空氣靜壓支承止推軸承， 采用數值仿真方法進行流場分析。 首先考慮氣膜-被支承件系統， 引入PARETO 分析， 對比研究各軸承參數對位移阻抗性能的影響， 討論影響機制。其次， 建立優化設計數學模型， 以削弱氣錘振動與提升動力學性能為目標， 對空氣靜壓軸承進行參數優化設計， 并基于優化結果進一步分析動力學性能的參數影響機制。

1 多孔空氣靜壓支承軸承的幾何、 仿真模型

小孔節流方式由于制造工藝簡單、 易于維護， 在空氣靜壓軸承中獲得了最廣泛的應用。 多孔空氣靜壓支承止推軸承是工程中廣泛應用的軸承構型， 一般與軸頸軸承配合使用， 限制軸沿軸向的位移。 多孔空氣靜壓支承止推軸承的構型如圖1 所示， 沿止推面環向共布置12 個小孔， 氣流自供氣通道經過小孔并進入圓柱形氣腔， 再進入軸承間隙形成承載氣膜， 最終氣流由內、 外環出口流出軸承間隙。 軸承外徑Dout為80 mm， 內徑Din為48 mm， 小孔長l為0.5 mm， 其余軸承參數取為變量， 范圍分別如下： 腔直徑D（1.5 mm， 2.2 mm）、 腔深H（0.05 mm， 0.12 mm）、 小孔直徑d（0.1 mm， 0.17 mm）、 小孔徑向位置R（27 mm， 34 mm）、 氣膜厚度h（5 μm， 12 μm）、 供氣壓力ps（0.3 MPa， 0.65 MPa）。

圖1 多孔空氣靜壓支承軸承幾何構型Fig.1 Geometry of the aerostatic bearing with multi-orifice type restrictor

由于流場幾何關于軸承軸線具有旋轉軸對稱特性， 故為簡化仿真模型， 取1／12 的流場進行建模，邊界條件設置如圖2 所示。 在小孔入口施加壓力入口條件， 壓力為供氣壓力； 出口處為壓力出口， 壓力為大氣壓。 在該等分氣膜與其余等分相鄰的位置設置為旋轉周期性邊界。 其余軸承面與小孔、 氣腔面均設置為無滑移、 不可穿透壁面。 對于圓柱腔小孔節流空氣靜壓軸承， 由于內部射流流動復雜， 存在大量不同尺度漩渦， 因此， 采用湍流k-ε模型進行分析。

圖2 等分氣膜流場與邊界條件Fig.2 The flow field of the divided air film part and the boundary conditions

2 多孔空氣靜壓軸承的位移阻抗性能與參數影響分析

由于擠壓膜效應［16］， 空氣靜壓支承軸承在外部簡諧動載荷的激勵下， 其剛度、 阻尼均隨激勵頻率而變化。 其中， 剛度隨激勵頻率的增加而增加， 在頻率較小時的增速較緩， 增至某頻率時， 開始急劇增加，而在頻率繼續增加到較高值時， 增速再次放緩。 這是由于在高頻外激勵的作用下， 氣流來不及以相應速度流出氣膜， 導致氣膜剛性變大而致。 阻尼常隨激勵頻率的增加而減小， 變化規律與剛度相似。 如圖3 所示為在簡諧位移激勵頻率為1 000 Hz 時， 利用動網格技術仿真得到的軸承間隙壓力分布云圖。 可見在一個激勵周期（0.001 s） 內， 軸承間隙的壓力隨時間變化， 在小孔位置壓力最大， 由小孔中心向內外兩邊界逐漸減小， 直至在邊界位置降為大氣壓。 由此， 承載力也隨時間產生周期性變化， 如圖4 所示， 其中動承載力的時均值等于靜承載力， 輸入位移激勵與輸出動載荷間存在相位差， 根據幅值、 相位關系， 即可等效計算氣膜剛度、 阻尼并進一步計算系統位移阻抗。

圖3 軸承間隙壓力云圖Fig.3 Pressure contour of the bearing clearance： （a） t＝0.000 25 s； （b） t＝0.000 5 s； （c） t＝0.000 75 s； （d） t＝0.001 s

圖4 動承載力隨時間的變化Fig.4 Variation of dynamic load carrying capacity with time

氣膜剛度、 阻尼的計算是軸承動力學性能分析的基礎， 然而， 僅考慮剛度、 阻尼， 尚不能全面反映軸承對動載荷的抵抗能力， 還需進一步考慮氣膜-被支承件系統的位移阻抗性能。

若將氣膜等效為彈簧-阻尼系統， 其中剛度為K，阻尼為C， 則氣膜-被支承件系統在頻率為ω的外簡諧激勵下， 其動力學方程可以表示為

位移x具有相同頻率， 即：

其中X0為振幅， 將式 （2） 代入式 （1）， 則可得：

其中Z為位移阻抗， 其幅值直接反映了動載荷幅值與振幅之比，越大， 則在相同外載荷下振幅越小， 意味著軸承的運轉也越穩定。

文中采用數值仿真方法計算軸承的位移阻抗與承載力。 為驗證仿真的準確性， 選取與文獻［7］相同構型的多孔空氣靜壓支承軸承， 獲取其在外激勵頻率為1 000 Hz 時， 時均承載力隨氣膜厚度的變化規律， 與文獻中的實測承載力數據進行對比， 結果如圖5 （a）所示。 其中， 為驗證網格無關性， 采用了粗、 細2 種網格密度， 細網格在膜厚方向布置的網格數為粗網格的2 倍。 此外， 為直接驗證動力學性能計算的準確性， 基于文獻［8］中有關氣膜剛度隨激勵頻率變化規律的實驗數據進行仿真計算， 并對比實驗、 仿真結果， 如圖5 （b） 所示。

圖5 仿真與實驗結果對比Fig.5 Comparison between the numerical and experimental results：（a） comparison between the experimental and numerical results of the load carrying capacity； （b） comparison between the experimental and numerical results of variation of the stiffness with respect to excitation frequency

由圖5 可見， 數值仿真與實驗結果較為吻合， 具有足夠的計算精度。 且由圖5 （a） 可見， 在兩組網格密度下結果誤差較小， 可認為仿真具有網格無關性。

為討論各軸承參數對位移阻抗的影響， 考慮腔直徑D、 腔深H、 小孔直徑d、 氣膜厚度h、 供氣壓力ps、 小孔位置R以及激勵頻率ω， 在設計變量范圍內建立L64（87） 正交表， 共進行64 組數值仿真采樣。 在仿真中使用動網格方法， 向軸承止推面施加正弦位移激勵， 并基于輸入激勵與輸出氣膜動承載力間的幅值、 相位關系， 等效計算軸承氣膜的剛度、 阻尼，其后采用式（3） 計算位移阻抗。 在動網格設置中，采用鋪層方法， 每振動周期內設置100 個時間步。完成采樣后， 采用徑向基神經網絡 （Radial Basis Functions， RBF） 模型［16］分別針對位移阻抗和靜承載力進行擬合。 響應面法在軸承設計中具有廣泛的應用［17］， 可用以獲取軸承性能的近似分析模型。 擬合中考慮ω的范圍為（10 Hz， 10 000 Hz）， 根據位移阻抗隨頻率的變化規律， 考慮lgω進行擬合。 由于靜承載力為靜力學性能， 故在其擬合中不再考慮激勵頻率。

建立近似模型即得到了以軸承參數表示的位移阻抗數學模型。 為對比各軸承參數對位移阻抗的影響，采用PARETO 分析， 討論參數影響百分比， 結果如表1 所示。

表1 軸承參數對位移阻抗的影響占比Table 1 The effect proportion of bearing parameters on displacement impedance

由表1 可見， 對位移阻抗具有最大影響的是激勵頻率ω， 由式（3） 也可見， 位移阻抗隨激勵頻率增加而增加， 這是由擠壓膜效應所致。 提高外激勵頻率， 在擠壓作用下軸承間隙內的氣體無法以相應速度排出， 導致氣膜剛性增加， 對外激勵的抵抗作用也相應變大。 由于擠壓膜效應的主導作用， 激勵頻率對位移阻抗具有最大的影響， 其影響遠超其余參數。 由于位移阻抗隨激勵頻率的增加而持續增大， 意味著氣膜對高頻， 例如萬赫茲以上頻率的外載荷， 具有較強的抵抗能力， 因此在設計中， 應當著重提升低頻外激勵下氣膜對動載荷的抵抗能力。 空氣靜壓軸承的自激振動包含微振動與氣錘振動， 其激勵頻率常為千赫茲量級［18-19］， 因此， 為削弱自激振動， 仍需提升位移阻抗性能。

氣腔尺寸對位移阻抗的影響較其余因素更小， 這是由于沿環向一圈密排節流孔， 使沿孔環向的壓力較大且均勻， 在傳統解析計算中甚至假設沿孔環向的壓力分布均勻［3］。 為進一步討論氣腔尺寸D、H， 與節流孔徑向位置R對位移阻抗的影響， 在小孔直徑為0.15 mm、 氣膜厚為10 μm 時， 分別選取最小腔尺寸（D＝1.5 mm，H＝0.05 mm） 與最大腔尺寸（D＝2.2 mm，H＝0.12 mm）， 并考慮激勵頻率分別為100、1 000 Hz 時， 得到單個等分氣膜位移阻抗隨供氣壓力與節流孔位置的變化關系， 如圖6 所示。

圖6 位移阻抗隨供氣壓力、 小孔位置的變化規律Fig.6 Variation of displacement impedance with air supply pressure and orifice position：（a） ω＝100 Hz； （b） ω＝1 000 Hz

由圖6 可見， 隨著氣腔容積的增大， 位移阻抗略有增加， 這是由于增大氣腔容積可提升軸承間隙的壓力， 從而提升了軸承對動載荷的抵抗能力。 在不同的氣腔容積、 激勵頻率與供氣壓下， 位移阻抗隨小孔的徑向位置變化平緩， 且不具有單調性， 意味著最優小孔位置需通過優化設計獲取。 由圖6 還可見， 當供氣壓增加時， 軸承間隙壓力提高， 氣膜對外載荷的抵抗能力同時增強， 位移阻抗隨供氣壓的增加而相應增加。

小孔直徑、 氣膜厚度與供氣壓力對位移阻抗的影響較氣腔尺寸、 小孔位置更大， 為了進一步對其進行討論， 針對D＝2 mm、H＝0.1 mm、R＝30 mm 的情況， 分別討論氣膜厚度為5、 10 μm， 激勵頻率為100、 1 000 Hz 時小孔直徑與供氣壓力對單個氣膜等分位移阻抗的影響， 如圖7 所示。

圖7 位移阻抗隨供氣壓力、 小孔直徑的變化規律Fig. 7 Variation of displacement impedance with air supply pressure and orifice diameter：（a） ω＝100 Hz； （b） ω＝1 000 Hz

由圖7 可見， 位移阻抗隨供氣壓力的增加而增加， 與圖6 所示的規律一致。 在不同的氣膜厚度與供氣壓力下， 位移阻抗關于小孔直徑的變化規律不同， 不具有單調性， 單純增加小孔直徑可提升軸承間隙的質量流量， 使擠壓膜效應更加顯著， 但是小孔直徑增加過大也會產生壅塞， 不利于動力學性能的進一步提升。 當氣膜厚度更小時， 位移阻抗更大， 這是由于在小氣膜厚度下， 氣容更小而壓力更大， 動力學參數對頻率的變化更敏感， 由擠壓膜效應導致的氣膜剛性隨激勵頻率的增加更大， 導致位移阻抗更大。

在工程設計中， 需要提升軸承對動載荷的抵抗能力， 由于軸承參數對位移阻抗的影響具有非單調性，因此， 需引入參數優化設計， 獲取使軸承動力學性能最優的參數組合。

3 以消除氣錘振動為目標的軸承動力學性能優化

為削弱氣錘振動， 進行動力學性能優化以提升軸承抵抗動載荷的能力。 氣錘振動的產生與軸承氣腔的容積密切相關， 氣腔容積較大時更易于引起氣錘振動， 因此， 在設計中一般要求氣腔容積占軸承間隙總容積的比例應為2%～10%［12］。 但氣腔太小，又會削弱承載力等靜力學性能， 故權衡考慮， 文中取5%作為優化約束。 由實驗已知， 相同參數范圍下多孔節流空氣靜壓軸承氣錘振動的頻率處于500 ～1 000 Hz［18］， 因此， 在優化設計中著重提升該頻率范圍內被支承件-氣膜系統的位移阻抗以削弱氣錘振動。

優化設計的數學模型如式（4） 所示。

式中：Z為位移阻抗；Vc為氣腔容積；V為軸承間隙總容積；Wload為給定負載；x為設計變量向量；E為設計域。

其中各變量范圍如前文所述。 優化設計的目的為在給定負載下， 尋求在某特征頻率ω*下滿足氣容比例要求且使位移阻抗最大的軸承參數組合。 文中在特征頻率分別為500、 750 與1 000 Hz 下， 針對負載為32 N 的工況進行優化設計。 優化結果見表2， 其中氣膜厚隨負載變化， 在優化設計中采用多島遺傳算法。優化設計流程如圖8 所示。

表2 不同特征頻率下參數優化設計結果Table 2 Parameter optimization design results under different characteristic frequencies

圖8 優化設計流程Fig.8 Flow of the design optimization

由表2 中優化結果可見， 在參數設計范圍內， 小孔直徑未達到上下限， 而小孔的徑向位置達到上限，意味著小孔布置在離軸承中心較遠時位移阻抗更大。三組優化中腔直徑與腔深均趨于變量下限， 故氣腔容積均小于軸承間隙總容積的5%， 滿足以消除氣錘振動為目的的氣腔容積設計要求。 優化設計使位移阻抗達到了最大值， 提升了軸承對相應頻率動載荷的抵抗能力。

4 結論

（1） 軸承參數對位移阻抗具有直接影響。 相比而言， 外激勵頻率、 供氣壓力、 氣膜厚度、 小孔直徑對位移阻抗的影響大于孔的徑向位置以及腔尺寸。

（2） 在外激勵頻率較大時， 位移阻抗相應較大，意味著氣膜可以有效抵抗高頻動載荷。 但為了削弱具有千赫茲頻率量級的自激振動， 仍需在優化設計中提升位移阻抗。

（3） 為削弱軸承的氣錘振動， 需要在振動頻率范圍內提升軸承被支承件-氣膜系統的位移阻抗性能， 使系統能夠更加有效的抵抗相應頻率范圍內的動載荷激勵。