第一型曲線瑕積分及收斂判別法

邱惠銘 何桂添 唐國吉

摘?要：本文引入第一型曲線瑕積分的概念，并獲得了它的計算公式，得到了第一型曲線瑕積分依曲線方程類型的不同可相應地轉化為無窮積分或瑕積分的結論。討論了第一型曲線瑕積分的一些性質和收斂判別法，它們可看作是一元瑕積分相關性質和收斂判別法的推廣。由于瑕積分的Dirichlet判別法和Abel判別法比無窮積分和（數項或函數項）級數的都要復雜，大多的數學分析教材并未研究。本文研究了第一型曲線瑕積分的Dirichlet判別法和Abel判別法，一元瑕積分的Dirichlet判別法和Abel判別法是本文結果的特殊情況。

關鍵詞：第一型曲線瑕積分；收斂；單調；Dirichlet判別法；Abel判別法

中圖分類號：O172.2

1?概述

郇中丹教授在文獻［1］中談“數學分析”課程改革的幾點意見中指出，目前國內《數學分析》教材或教學實踐中存在的主要問題之一是：一元微積分的討論不厭其煩，而多元微積分則顯得相當薄弱，這一方面是由于以往人們認為多元微積分是一元的平行推廣（這大概與菲赫金格爾茲的數學分析教材的影響有關）。另一方面，由于一元部分相對簡單并且結果頗多。華東師范大學數學系編《數學分析》（第三版）［2］在附錄一介紹微積分簡史中也指出，積分論仍在發展，Riemann積分的推廣仍不能說已經完成這些認識是客觀的。

幾乎所有的《數學分析》教材［24］都研究曲線上的正常積分（包括第一型和第二型的）。1999年，趙清理等［5］給出了無窮曲線積分的定義，討論了其某些性質和收斂的判別法和計算方法。最近，唐國吉［6］引入了定義在曲線上的函數的單調性概念，并證明了第一型曲線積分的第二中值定理。受上述文獻的啟發，本文討論了第一型曲線瑕積分的一些性質和收斂判別法，它們可看作是一元瑕積分相關性質和收斂判別法的推廣。

2?第一型曲線瑕積分的概念

定義2.1：在平面光滑曲線C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β）上，A（φ（α），ψ（α））為曲線C的一個端點，若limt→β-φ（t）=p，limt→β-ψ（t）=q，記點B（p，q），D（φ（t），ψ（t））是曲線C上的任一點，s（A，D）表示曲線C上以A，D為端點的弧段（記為C（A，B））的弧長，若limt→β-s（A，D）=limt→β-∫tαφ′2（u）+ψ′2（u）du=s。則稱曲線C是以A、B為端點（B∈-C）的有窮曲線，s為曲線C的弧長。

類似地，我們可以定義參數方程為x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+

）（或t∈（-SymboleB@

，α］，或t∈（β，α］）的缺端點的有窮曲線，這時相應考察的極限為：

limt→+SymboleB@

s（A，D）=limt→+SymboleB@

∫tαφ′2（u）+ψ′2（u）du=s

（或limt→-SymboleB@

s（A，D）=limt→-SymboleB@

∫αtφ′2（u）+ψ′2（u）du=s，或limt→β+s（A，D）=limt→β+∫αtφ′2（u）+ψ′2（u）du=s）。

下面我們給出第一型曲線瑕積分的定義。

定義2.2：設C是以A、B為端點（B∈-C）的平面有窮曲線，s-表示其弧長，f是定義在曲線C上的二元函數，U（B，r）表示平面上以B為心，r為半徑的鄰域，對于任意的r>0，f在U（B，r）∩C上無界，但對曲線C上的任一點D，s表示曲線C上以A，D為端點的弧段（記作C（A，D））的弧長，f在C（A，D）上有界且第一型可積，若

lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds=J，（2.1）

則稱此極限J為無界函數f在曲線C上的第一型反常積分，記作J=∫Cf（x，y）ds，并稱反常積分∫Cf（x，y）ds收斂。若極限（2.1）不存在，則稱∫Cf（x，y）ds發散。

在定義2.2中，對任意的r>0，f在U（B，r）∩C上無界，這時稱點B為f的瑕點，而曲線C上的無界函數反常積分∫Cf（x，y）ds又稱為第一型曲線瑕積分。

當∫Cf（x，y）ds收斂時，我們容易得到其計算公式。

情形1：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β），則

J=∫Cf（x，y）ds=lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds

=limt→β-∫tαf（φ（u），ψ（u））φ′2（u）+ψ′2（u）du

=∫βαf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

類似地，

情形2：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+SymboleB@

），則

J=∫+SymboleB@

αf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形3：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈（-SymboleB@

，α］，則

J=∫α-SymboleB@

f（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形4：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈（β，α］，則

J=∫αβf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt.

由以上討論可以知道，第一型曲線瑕積分依曲線的不同類型可相應轉化為無窮積分（見情形2和情形3）或瑕積分（見情形1和情形4）。

文獻［6］引入了平面曲線上的二元函數的單調性概念，并且證明了第一型曲線積分的第二中值定理。

定義2.3［6］：設C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］為平面上的可求長曲線，曲線兩端點為A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）），f（x，y）為定義在曲線C上的函數，若對任何的t1，t2∈［α，β］，當t1

（1）f（φ（t1），ψ（t1））

f（φ（t2），ψ（t2）），則稱f為曲線C上的增函數，特別地，當成立嚴格不等式f（φ（t1），ψ（t1））

（2）f（φ（t1），ψ（t1））f（φ（t2），ψ（t2）），則稱f為曲線C上的減函數，特別地，當成立嚴格不等式f（φ（t1），ψ（t1））>f（φ（t2），ψ（t2））時，稱f為曲線C上的嚴格減函數。

我們指出：曲線上函數的單調性概念是一元函數單調性的推廣。

引理2.1?（第一型曲線積分的第二中值定理）［6］：設函數f在光滑曲線C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］（曲線兩端點為A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）））上第一型可積。若g為曲線C上的單調函數，則存在P（ξ，η）∈C，使∫Cf（x，y）g（x，y）ds=g（φ（α），ψ（α））∫C（A，P）f（x，y）ds+g（φ（β），ψ（β））∫C（P，B）f（x，y）ds。

3?第一型曲線瑕積分的性質和收斂判別

這一節我們主要給出第一型曲線瑕積分的一些簡單性質和收斂判別，對于一些顯而易見的結果我們不加證明地直接羅列。

定理3.1（第一型曲線瑕積分的Cauchy收斂準則）：設A，B為曲線C的兩端點，B∈-C，f（x，y）是定義在曲線C上的二元函數，B是f的瑕點，則第一型曲線瑕積分∫Cf（x，y）ds收斂的充要條件是：對任意給定的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。

證明：根據定義，∫Cf（x，y）ds收斂（B為瑕點）等價于lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds存在，這又等價于對任意給定的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（A，P2）f（x，y）ds-∫C（A，P1）f（x，y）ds|=|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。

性質3.1（線性性質）：設A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f1、f2定義在曲線C上，B同為它們的瑕點，k1、k2為常數，則當第一型曲線瑕積分∫Cf1（x，y）ds與∫Cf2（x，y）ds都收斂時，第一型曲線瑕積分∫C［k1f1（x，y）+k2f2（x，y）］ds必定收斂，并有：

∫C［k1f1（x，y）+k2f2（x，y）］ds=k1∫Cf1（x，y）ds+k2f2（x，y）ds

性質3.2（按弧段可加性）：設A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f定義在曲線C上，B是f的瑕點，D為C上任一點，則第一型曲線瑕積分∫Cf（x，y）ds與∫C（D，B）f（x，y）ds同斂態，在收斂時有如下關系∫Cf（x，y）ds=∫C（A，D）f（x，y）ds+∫C（D，B）f（x，y）ds。其中∫C（A，D）f（x，y）ds為第一型曲線正常積分。

性質3.3（絕對值性質）：設A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f定義在曲線C上，B是f的瑕點，則當∫C|f（x，y）|ds收斂時，∫Cf（x，y）ds也必定收斂，并有

|∫Cf（x，y）ds|

∫C|f（x，y）|ds.（3.1）

證明：由∫C|f（x，y）|ds收斂，根據第一型曲線瑕積分的Cauchy收斂準則（必要性）知，對任給的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds|=?∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds<ε。利用第一型正常曲線積分的絕對值不等式，又有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|

∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds<ε。再利用Cauchy收斂準則（充分性），證得∫Cf（x，y）ds收斂。

又因|∫C（A，D）f（x，y）ds|

∫C（A，D）|f（x，y）|ds，兩邊取極限s→s-，立刻證得不等式（＼＼ref{3.1}）式。

當∫C|f（x，y）|ds收斂時，稱∫Cf（x，y）ds絕對收斂。又稱收斂而不絕對收斂的第一型曲線瑕積分是條件收斂的。

設A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f定義在曲線C上，B是f的瑕點，對C上的任一點D，|f|在C（A，D）上的第一型曲線積分∫C（A，D）|f（x，y）|ds關于弧長s單調遞增，因此∫C|f（x，y）|ds收斂的充要條件是∫C（A，D）|f（x，y）|ds存在上界。根據這一分析，容易推出第一型曲線瑕積分的比較原則。

定理3.2（比較原則）：設A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f，g定義在曲線C上，B是f，g的瑕點，對C上的任一點D，f，g在C（A，D）上第一型可積，若對任一個P∈C，|f（P）|

g（P），則當∫Cg（x，y）ds收斂時，∫C|f（x，y）|ds收斂；當∫C|f（x，y）|ds發散時，∫Cg（x，y）ds發散。

4?Dirichlet判別法和Abel判別法

定理4.1（Dirichlet判別法）：設A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，曲線C的弧長為s-，f，g定義在曲線C上，B是f的瑕點，P（u，v）是曲線C上的任一點，若F（u，v）=∫C（A，P）f（x，y）ds在曲線C上有界，g（x，y）在曲線C上當s→s-時單調趨于零，則∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。

證明?對所討論的積分∫Cf（x，y）g（x，y）ds的被積函數f（x，y）g（x，y）而言，B可能是其瑕點，也可能不是。

我們先考察B不是被積函數f（x，y）g（x，y）瑕點的情形。這時我們只需對函數f（x，y）g（x，y）在B點定義一個函數值，相應地，原來的曲線C就變成包含兩端點的曲線（仍然記為曲線C），這樣∫Cf（x，y）g（x，y）ds則為正常的第一型曲線積分。

現在討論B是被積函數f（x，y）g（x，y）瑕點的情形。已知F（u，v）在曲線C上有界，即存在M>0，使|F（u，v）|=|∫C（A，P）f（x，y）ds|

M，P（u，v）∈C。

對于任意給定的ε>0，由g（x，y）在曲線C上當s→s-時趨于零知，存在δ>0，使得對每一個P（x，y）∈U（B，δ）∩C，就有|g（x，y）|<ε4M。

對于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈U（B，δ）∩C，又因g為單調函數，在曲線段C（P1，P2）上利用第一型曲線積分的第二中值定理（引理2.1）得知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。

于是有：

|∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds|

|g（x1，y1）||∫C（P1，P）f（x，y）ds|

+|g（x2，y2）||∫C（P，P2）f（x，y）ds|

=|g（x1，y1）||∫C（A，P）f（x，y）ds-∫C（A，P1）f（x，y）ds|

+|g（x2，y2）||∫C（A，P2）f（x，y）ds-∫C（A，P）f（x，y）ds|

ε4M·2M+ε4M·2M=ε。

由Cauchy收斂準則知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。證完。

定理4.2?（Abel判別法）：設A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，曲線C的弧長為s-，f，g定義在曲線C上，B是f的瑕點，若∫Cf（x，y）ds收斂，g（x，y）在曲線C上單調有界，則∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。

證明：與上個定理的證明類似，本文略去。

注4.1?定理4.1與定理4.2的結論對于三維或一般的n維空間中的第一型曲線瑕積分仍成立。

注4.2對于一元瑕積分有相應的Dirichlet判別法和Abel判別法（盡管大多的數學分析教材都沒有給出），它們是本文定理4.1與定理4.2的特殊情況。在應用時只需注意到在定理的條件下∫baf（x）g（x）dx可能是定積分或者瑕積分就可以了。

參考文獻：

［1］郇中丹.對師范大學本科數學專業《數學分析》課程改革的幾點意見［J］.數學教育學報，2000，9（2）：1719.

［2］華東師范大學數學系.數學分析（上、下冊）（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［3］劉玉璉，等.數學分析講義（上、下冊）（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］徐森林，薛春華.數學分析［M］.北京：清華大學出版社，2006.

［5］趙清理，于興江，冷學斌.無窮曲線上的積分及其性質［J］.聊城師院學報（自然科學版），1999，12（3）：6871.

［6］唐國吉.第二型曲線積分的第二中值定理［J］.數學的實踐與認識，2009，39（17）：200205.

基金項目：本研究受廣西高等教育本科教學改革工程項目（2020JGA155）和廣西民族大學數學與應用數學專業相思湖本科教育教學創新團隊資助

作者簡介：邱惠銘（1983—?），女，漢族，廣西桂林人，本科，初級，研究方向：應用統計。

*通訊作者：唐國吉（1979—?），男，漢族，廣西防城港人，博士，教授，博士生導師，研究方向：運籌學與控制論、數學教育。