基于類比思想的解題研究

劉玲玲

摘要：類比思想方法是一種數(shù)學(xué)思想方法，可以幫助學(xué)生形成良好的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維習(xí)慣，并鍛煉學(xué)生舉一反三的思維，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升有著事半功倍的作用. 本文根據(jù)類比思想的特點(diǎn)探討圖形旋轉(zhuǎn)中的類比這種類型，主要目的在于通過(guò)研究類比探究題的相關(guān)內(nèi)容，闡述類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：類比思想;中學(xué)數(shù)學(xué);解題教學(xué)

一、類比思想的內(nèi)涵

類比最早的起源地在希臘，大意是通過(guò)觀察猜想事物之間一些特征的相似度然后極大限度地推演為事物的相似. 心理學(xué)是最早開(kāi)始探索有關(guān)類比思想奧秘的學(xué)科，且大量研究表明類比思想已經(jīng)有較多而且比較成熟的研究成果.美國(guó)著名心理學(xué)家桑代克（Edward Lee Thorndike）提出：任何事物都有其獨(dú)有的特點(diǎn)，學(xué)生在不清楚某一事物的特性時(shí)，應(yīng)從基礎(chǔ)抓起，了解事物的基本特質(zhì)，順藤摸瓜找到其本質(zhì)，從而觸類旁通、舉一反三地解決其他有著類似特質(zhì)的問(wèn)題. 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，其中受類比思想的影響最大的是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（Geoeg Polya），在他的三本著作《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》中，大量地提到了類比推理[1]. 之后，波利亞又提出了合情推理的概念，所謂合情推理，是由已經(jīng)存在且正確的基本事實(shí)或根據(jù)個(gè)人數(shù)學(xué)直覺(jué)而進(jìn)行的一種大膽推測(cè)猜想.類比是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）不同的對(duì)象之間在某些方面或相似之處猜測(cè)他們?cè)谄渌矫嬉灿锌赡苡邢嗤蛳嗨疲⒆龀瞿撤N判斷的推理方法[2].

二、類比思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

（一）培養(yǎng)學(xué)生解題意識(shí)和探究精神

誠(chéng)如數(shù)學(xué)家歐拉所言：“類比是偉大的引路人. ”在剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，充分地利用“類比”思想去探究分析問(wèn)題本質(zhì)，排除思維障礙，會(huì)大大提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和效率. 教學(xué)實(shí)踐證明，從類比思想的角度審視數(shù)學(xué)問(wèn)題并以此滲透到解題實(shí)踐，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的解題意識(shí)和探究精神，使學(xué)生從中真正感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性都是十分必要的.

（二）加強(qiáng)各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系

事實(shí)上，學(xué)生是否能夠扎實(shí)地掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并且能夠?qū)⑵浯?lián)到起，對(duì)于學(xué)生是否能夠盡快形成數(shù)學(xué)思維，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)效率有很大的影響. 類比思想，賦予了教師更豐富的教學(xué)手段，也給予了學(xué)生更廠闊的聯(lián)想空間，可以推動(dòng)學(xué)生自主地學(xué)習(xí)很多新的知識(shí)、方法，尋求出與眾不同的解題思路，探索數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律[3].

三、圖形旋轉(zhuǎn)中的類比解題研究

在初中的數(shù)學(xué)中，圖形的變換被廣泛使用，主要有：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似，在初中幾何題型中常出現(xiàn)的是圖形旋轉(zhuǎn). 旋轉(zhuǎn)作為一種基本的圖形變換方法，讓學(xué)生通過(guò)它的動(dòng)態(tài)過(guò)程，感悟、猜想、驗(yàn)證幾何圖形所具有性質(zhì)的“變”與“不變”[4]. 在教學(xué)過(guò)程中，這類題目的關(guān)鍵之處在于掌握特殊到一般的研究方法，由特殊圖形的性質(zhì)和特點(diǎn)逐步探究出一般題型的性質(zhì). 類比探究題是考試中的十分重要的新題型，其樣式多變、考察范圍廣、覆蓋知識(shí)面廣，這類題型應(yīng)引起教師足夠的重視.

例3. 1如圖2，△ABC與△EDC為等腰直角三角形，AC=BC=12，DE=DC=4，，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

（1）初步嘗試，如圖3，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)A，C，E三點(diǎn)共線（E在AC延長(zhǎng)線上）時(shí)，連接BE，過(guò)D點(diǎn)作AE的垂線交于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為 .

（2）探究證明，如圖4，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接AE，BE，過(guò)D點(diǎn)作AE的垂線交AE于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)F，猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系并證明.

（3）探究拓展，如圖5，在（2）的條件下，連接CF，AF，當(dāng)AF最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ACF的面積.

【考點(diǎn)】圖形的旋轉(zhuǎn)、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算

【專題】類比探究題

【分析】（1）利用勾股定理，結(jié)合題中條件易計(jì)算出的值，繼續(xù)運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出的值;利用平行線的判定可以得出再利用三角形的中位線性質(zhì)為的中位線，即，再利用為的中點(diǎn)，從而求得的長(zhǎng).

（2）. 將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，如圖6，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)出發(fā)，易先證出全等于，得出，由可得出，由平行線的判定可得出，應(yīng)用問(wèn)題（1）的方法即可得出結(jié)論，與其不同之處在于第（2）問(wèn)僅僅是將進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)變化，證明了三角形全等后得到其對(duì)應(yīng)角相等，這是第一問(wèn)的升華以及深層次的挖掘. 第（2）問(wèn)的證明過(guò)程充分運(yùn)用了類比思想方法，清晰展現(xiàn)了類比思想在解題中的優(yōu)勢(shì).

取的中點(diǎn)，連接，，如圖7，要使最小，只有當(dāng)點(diǎn)在線段上，根據(jù)三角形中位線定理可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而利用三角形面積的比例關(guān)系求得，從而得出.

【點(diǎn)評(píng)】這道以三角形旋轉(zhuǎn)為背景的類比探究題涉及知識(shí)點(diǎn)有三角形中位線性質(zhì)，平行線的判定，三角形全等判定，三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等等.這道題的解決過(guò)程極大地考查了類比在解題的應(yīng)用以及學(xué)生的邏輯推理能力. 學(xué)生首先需要作出定性分析、判斷、甚至猜想，明確解題方向，再進(jìn)行更加具體的分析、論證. 運(yùn)用類比，可以讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律與方法，并能運(yùn)用這種方法來(lái)解決新的問(wèn)題，有利于強(qiáng)化學(xué)生的解題能力. 類比法是學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路的重要手段，甚至是發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、新規(guī)律的重要手段.

由上述探索可見(jiàn)，充分運(yùn)用類比思想猜想、分析、判斷、論證數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要且關(guān)鍵的思想方法，具有十分現(xiàn)實(shí)和長(zhǎng)遠(yuǎn)的意義. 事實(shí)上，要在解題研究中進(jìn)行創(chuàng)新必然要把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)置于一個(gè)重要的地位.

參考文獻(xiàn)：

[1]羅欽. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想的應(yīng)用[D].西華師范大學(xué)，2019.

[2]孫春陽(yáng). 類比思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（02）：20-22

[3]徐美娟. 類比思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].南京師范大學(xué)，2015.

[4]杜洪格. 初中數(shù)學(xué)類比探究題的實(shí)踐研究[D].洛陽(yáng)師范學(xué)院，2019.