采用向量式有限元的拉索參數振動模擬

段元鋒 黃嘉思 鄧南 王素梅 應祖光 何聞

摘要 拉索的參數振動主要是由連接拉索端部的結構振動引起的，當端部振動頻率與拉索的自振頻率滿足一定倍數關系時，拉索端部激勵容易激發較大拉索參數振動。由于參數振動存在復雜的非線性振動特征，傳統的解析方法難以應用于實際工程。本文發展了模擬拉索參數振動的向量式有限元方法，對斜拉索在動邊界條件下的振動進行分析，對比控制方程的數值解以驗證結果的準確性。并基于向量式有限元模型對端部支座軸向運動激勵下產生的主共振區和主參數共振區特性進行討論，分別研究了拉索傾角、阻尼比以及風荷載協同作用對參數振動的影響。研究結果表明向量式有限元可以有效模擬復雜工況下的拉索參數振動，有利于實際工程應用。

關鍵詞 斜拉索; 參數振動; 振動模擬; 向量式有限元; 數值解

引 言

隨著大跨度斜拉橋的發展，拉索的長度不斷增加。拉索作為斜拉橋的主要受力構件，由于其具有柔度大、質量輕、阻尼小等特點，在工程中極易受到風、雨等荷載或者端部支座運動等激勵而引發大幅振動，對橋梁的安全性能和日常運營構成很大威脅。在實際工程中，當橋梁結構的自振頻率與拉索的自振頻率滿足一定倍數關系時，任意微小的擾動將會激發較大振幅的拉索參數振動，其往往表現為劇烈拍振，容易引發拉索疲勞、斷裂等問題。

國內外對拉索參數振動的主要研究手段分為理論分析和試驗驗證。Tagata［1］對無垂度拉索的第一階參數振動進行研究，導出了無量綱的Mathieu方程；Takahashi［2］針對多自由度參數振動系統，提出了系統穩定性分析的解析法，并通過研究水平懸索的參數振動響應，得到了不同垂跨比和多模態耦合時拉索不穩定區的變化規律；Perkins［3］應用多尺度法求解了拉索面內、外一階模態的響應，并通過實驗驗證了面內振動能夠激發面外大幅振動的現象；Rega［4?5］采用理論和實驗方法對參數振動展開研究，對在不同激勵幅值和激勵頻率的端部激勵下水平懸索的動力特性進行探究，分析了斜拉索垂度對參數振動的影響；Ying等［6］建立了由上端水平激勵與下端豎向激勵的斜拉索模型，分析了拉索分別在簡諧激勵和隨機激勵下的穩定性，討論了不同斜拉索參數下的穩定區面積變化情況；亢戰等［7］將橋面簡化為質量彈簧系統，拉索簡化為一個集中質量，建立了索?橋耦合雙自由度模型，采用多尺度法求解主參數共振結果，闡述了參數振動具有明顯的拍振現象；Zhao等［8?9］建立了單索?梁、雙索?梁、多索?梁和索?拱的運動學控制方程，應用數值方法分析了拉索非線性振動存在的分岔和混沌現象；陳水生等［10］考慮了拉索垂度和幾何非線性的影響，對斜拉索在軸向激勵作用下的非線性振動方程進行求解，研究了面內參數振動響應特性；汪峰等［11］建立了阻尼器?斜拉索?塔梁組合結構體系的耦合參數振動模型，研究了黏滯阻尼器相關參數對參數振動的影響規律；孫測世［12］對單索?梁模型進行了實驗研究，觀測到斜拉索在端部激勵頻率變化下的“跳躍”過程、面內外振動耦合以及“氣圈”運動等現象。然而，現有方法對拉索參數振動問題的簡化條件較多，解析方法繁冗，難以進行實際工程應用。

丁承先等［13］提出的向量式有限元法（Vector Form Intrinsic Finite Element method，VFIFE）將結構形態離散為一個用無質量單元相互連接的質點群，以物理模式來描述結構的力學行為。向量式有限元無需組集整體剛度矩陣，適用于柔性結構的大變形、彈塑性、斷裂等復雜的非線性或不連續問題的分析，可實現對整體結構真實行為的仿真模擬。倪秋斌等［14］應用向量式有限元建立了斜拉索?阻尼器系統模型，準確地模擬阻尼器對斜拉索的振動控制作用；Duan等［15?16］和Wang等［17］對三維車?軌?橋系統的耦合振動問題進行研究，搭建基于向量式有限元的風?車?軌?橋耦合系統計算平臺，分析了斜拉橋在移動列車和風載作用下的動力特性以及列車的脫軌風險；Duan等［18?21］基于向量式有限元開展了裂紋擴展的模擬研究；采用纖維單元建立了斜拉橋全橋模型，模擬了斜拉橋倒塌全過程；提出了基于向量式有限元和FPGA硬件的實時混合試驗框架，針對斜拉索阻尼器系統進行了虛擬實時混合試驗；利用二維拱橋VFIFE模型進行數據訓練，并采用卷積神經網絡完成了吊桿損傷識別。向量式有限元的求解步驟可以集成為簡單且系統化的程序，還被廣泛應用于高層建筑［22］、復雜空間結構［23?26］以及船舶工程［27］等各個領域。然而，采用向量式有限元方法對拉索參數振動的模擬研究尚未開展。因此本文通過對比向量式有限元和運動控制方程對拉索參數振動的求解結果，驗證向量式有限元模擬的準確性，并基于向量式有限元模型，對拉索傾角、阻尼系數及風荷載對參數振動的影響進行討論，表明了向量式有限元方法對參數振動模擬的高效性和便捷性。

1 拉索參數振動控制方程

根據斜拉索的材料特性和受力情況，忽略斜拉索的抗彎剛度、扭轉和剪切效應，假定變形的本構關系服從胡克定律，建立兩端為動邊界條件下的斜拉索數值模型，如圖1所示。圖1中，L表示斜拉索長度，f表示斜拉索垂度，θ表示斜拉索傾角。整體坐標系用XYZ表示，局部坐標系用xyz表示；X（t），Y（t），Z（t）分別表示端部水平、豎向和面外位移；U（t），W（t），V（t）分別表示端部軸向、橫向和面外位移；u（x，t），w（x，t），v（x，t）分別表示斜拉索軸向、橫向和面外的動位移。

根據拉索微元受力平衡，推導拉索的運動控制方程，將斜拉索的振動分為兩個部分：由端部激勵引起的準靜態運動和各階模態參與的模態運動。因此，拉索的橫向動位移w（x，t）和面外動位移v（x，t）可以表示為：

式中 Φ為拉索振動的模態矩陣；qw和qv分別為面內和面外振動的廣義時間坐標矩陣；Ψy和Ψz分別為面內和面外端部激勵的振動模態矩陣；Ay和Az分別為面內和面外端部激勵的廣義時間坐標矩陣。

采用Galerkin法得到拉索的無量綱離散控制方程［12］：

其中：

其中：

式中 cy和cz分別為拉索面內和面外的阻尼系數。

2 向量式有限元拉索參數振動模型

2.1 模型建立

根據向量式有限元的定義，斜拉索離散為無質量單元連接的質點群M=[m1，m2，...，mn]，拉索作為柔性構件，主要受軸向力作用，可以忽略抗彎剛度的影響，故采用桿單元作為質點間的連接，如圖2所示。由牛頓第二定律，每個質點的平衡方程為：

式中 mi，u¨i，Pi和fi分別為第i個質點的質量、加速度、外荷載和內力。

將斜拉索振動軌跡用一組時間點t0， t1，…， tf上的點值描述，并假設分析過程是一組連接的時段，如時段tn≤t≤tn+1稱為一個途徑單元。在途徑單元內，假設桿單元從tn+1時刻的位置經歷一個虛擬的逆向剛體運動，從ab平移至a'b′′形態，再以a'為軸心逆向旋轉，此時桿單元形態與tn時刻a'b'形態僅存在長度Δl的差異，由于途徑單元中的桿單元幾何變化小，小變形和小剛體運動的純變形和內力可以用微應變和工程應力計算，桿單元內力的增量Δfe為：

式中 EA為拉索的軸向剛度；ln和ln+1分別表示相應時刻下桿單元的長度。

拉索一般不承受壓力，對連接單元內力迭代公式進行修正，在積分步長內，一旦計算的單元內力fe出現負值，定義此刻的單元內力為0。通常單元劃分足夠小時，就不會出現負值，即便出現，數值也很小。

得到桿單元內力增量后，通過虛擬的正向運動使桿單元回到tn+1時刻的位置，此時僅桿單元內力方向作轉動，再通過力的平衡關系得到tn+1時刻各桿單元作用于某質點i的內力fi，n+1：

式中 j=1表示該質點為單元定義的起點；j=2表示該質點為單元定義的終點。

本文采用中央差分法作為向量式有限元的積分方法，在每個積分步長內求解都可以分為兩個過程。

① 根據每個質點前一時刻的位置，通過中央差分法分別計算當前時刻各個質點的位置ui，n+1：

式中 h表示相鄰兩個時刻間的時長，即積分步長。

② 根據當前時刻每個質點的位置，通過虛擬的逆向運動，平移和旋轉單元求得純變形，計算各個單元的內力，并組集每個質點所連接的單元內力，求解當前時刻各個質點所受的合內力。

2.2 對比驗證

斜拉索的參數為：長度L=129.2 m，截面積A=71.97 cm2，單位質量ρ=58.9 kg/m，彈性模量E=200 GPa，初始索力T0=3300 kN；前3階自振頻率分別為：ω1=5.84 rad/s，ω2=11.50 rad/s，ω3=17.28 rad/s。通過對比控制方程數值解和向量式有限元求解得到的拉索位移時程圖，驗證向量式有限元在求解拉索在端部支座激勵下振動的正確性。由于拉索的離散控制方程（方程（3））的數值迭代求解速率隨模態矩陣維度的擴增呈指數增長，本文采用考慮前10階模態進行計算。假設各個方向的初始速度均為0，激勵幅值A0=0.05 m，僅在水平拉索一端施加支座的軸向簡諧運動激勵U=A0sinΩt，得到拉索橫向相對位移?w（x，t）的時程曲線，如圖3所示。

控制方程數值迭代得到的拉索橫向相對位移時程曲線均與向量式有限元求解得到的曲線擬合良好。控制方程數值求解對每一階模態分開考慮，需要定義每階模態對應的廣義時間坐標的初始量；而向量式有限元的求解是對整個拉索系統綜合考慮，僅需要定義拉索上各個質點的初始狀態，即初始位移、速度和加速度。相比于應用控制方程解決高階問題中需要考慮多階模態而造成的求解效率降低及產生的初值敏感度等問題，向量式有限元對于模擬拉索在支座激勵下的振動有著更佳的適用性，建模和初始條件的定義更符合實驗和實際工程情況。

2.3 支座軸向激勵下的共振區研究

采用有垂度的水平拉索模型作為分析對象，拉索第一階模態阻尼比取ξ1=0.05%，僅考慮面內振動，對拉索的一端支座施加軸向簡諧運動U=A0sin（Ωt），通過改變激勵頻率Ω和激勵幅值A0，得到拉索各個位置橫向相對位移最大值?wmax的頻響曲線，如圖4所示。

當激勵頻率Ω等于拉索一階頻率ω1時，拉索出現大幅度振動，即使激勵幅值僅為0.01 m，也可以激發出約為1.3 m的幅值，一般將Ω/ω1=1附近頻響曲線圍成的面域定義為主共振區。當激勵幅值較小時，主共振區最為顯著，隨著激勵幅值的增大，其他的共振區域逐漸明顯。與參數振動相關文獻［10］和［28］中觀察到的現象相同，增大激勵幅值后，Ω/ω1=0.5出現了峰值，對應的共振區域稱為2倍超諧波共振區，其對應的?wmax小于主共振區，頻率范圍較窄，說明該共振區的激發條件較為苛刻。當激勵幅值增大至一定值后，Ω/ω1=2時激發的共振區域出現，稱為1/2亞諧波共振區，也稱作主參數共振區，其頻率范圍更寬，且隨激勵幅值增大，?wmax超過主共振區，逐漸占據主導，成為最主要的共振區域。

取激勵幅值A0=0.05 m，研究主共振區和主參數共振區的拉索1/4跨的位移時程曲線，如圖5所示。兩種激勵頻率比下的拉索都出現拍振現象，采用包絡線擬合波包輪廓，在主共振區中，波包形狀較圓潤，包絡線與正弦曲線接近，包絡線斜率隨著振幅增大而減小，振幅緩慢增大至最大值后又緩慢減小；而在主參數共振區中，波包包絡線與指數曲線接近，包絡線斜率隨著振幅增大而增大。起振前經歷一段小幅振動的累積過程后，振幅開始迅速增大，類似于不穩定發散，但其達到最大值后又迅速減小。對位移時程曲線進行快速傅里葉變換分析，結果顯示：在兩種不同激勵頻率下振動成分均為第一階模態，說明了參數振動有別于強迫振動，2倍于拉索1階自振頻率的激勵頻率比同樣能夠激發拉索以1階模態主導的大幅振動，當激勵幅值不斷增大，對應幅值甚至會超越主共振區的幅值。因此，在實際工程中，可以通過分析監測數據的波包形狀和頻譜成分判別參數振動的發生。

3 參數振動影響因素分析

3.1 拉索傾角對參數振動的影響

斜拉索的傾角影響著斜拉索的垂度值，而垂度會加強拉索的幾何非線性，進一步影響橫向振動。隨著斜拉索傾角提高，拉索垂度不斷減小，當傾角為90°時，垂直索相當于一根張緊弦。選取不同的傾角θ進行研究，在拉索中點施加5 mm的初始橫向位移擾動，假定拉索底部支座始終沿拉索的軸向進行簡諧運動U=A0sin（Ωt），取激勵幅值A0=0.05 m，ξ1=0.05%，選取激勵頻率比Ω/ω1=0.5， 1和2，分別應用向量式有限元和控制方程數值解求解響應，提取每個激勵頻率下斜拉索各個位置橫向相對位移的最大值?wmax繪制響應曲線，如圖6所示。

當激勵頻率比Ω/ω1=0.5和1時，拉索振動幅值與垂度值相關，Ω/ω1=1時，?wmax在θ<50°時，基本保持在一個水平，隨著傾角繼續增大，拉索垂度繼續減小，拉索逐漸接近于張緊弦，初始擾動在該激勵條件下無法被大幅激發，?wmax迅速減小并逐漸趨于0；當激勵頻率比Ω/ω1=2時，即斜拉索處于參數共振區，?wmax維持在一個常數值，不隨傾角變化改變，說明了拉索一旦滿足參數振動條件，微小的擾動都會被激發為大幅振動，傾角對振動幅值的影響微弱。

3.2 阻尼比對參數振動的影響

采用有垂度的水平拉索模型進行阻尼比對參數振動的影響研究，選取拉索第1階模態阻尼比ξ1=0.5%，1%，1.5%和2.5%，計算激勵頻率比Ω/ω1=1和2時，拉索在支座軸向簡諧運動下的各個位置橫向相對位移最大值?wmax，并繪制?wmax與激勵幅值A0的關系曲線，如圖7所示。結果表明向量式有限元的模擬結果與控制方程的數值解擬合較好。

當Ω/ω1=1時，?wmax隨著激勵幅值的增大而平緩提高，增加拉索阻尼比時，?wmax隨之減小，阻尼比越大，減振效果越明顯。當Ω/ω1=2時，曲線存在一個明顯跳躍點，在激勵幅值較小時，參數振動未被激發，?wmax處于較小水平，而一旦激勵幅值大于拐點對應的臨界值，參數振動被激發，?wmax急速增大，到達一定值后趨于平穩，這說明了在參數振動存在起振條件，只有激勵幅值達到一定水平，才會激發出大幅振動；對比不同阻尼比下的響應曲線，增大系統阻尼比同樣可以減小?wmax，并且增大臨界激勵幅值，延緩參數振動的發生。

3.3 風荷載對參數振動的影響

橋梁的風致振動會引發拉索連接端的支座運動，從而進一步激發拉索參數振動，同時面外方向的風荷載常會引起拉索面內、外振動耦合。因此，需要研究斜拉索同時在風荷載和端部支座軸向運動作用下的振動情況。

對于面外風荷載作用于拉索上的力，本文僅考慮拖曳力FD。假設斜拉索底端平均風速U=20 m/s，采用考慮風速沿高度發生變化的Kaimal譜生成風速場。以θ=45°的斜拉索為例，拉索第1階模態阻尼比ξ1=0.05%，斜拉索中點面外方向施加5 mm的初始位移擾動，對風場中的斜拉索在底部支座軸向簡諧運動的主共振和主參數共振進行研究，激勵幅值A0取0.03 m。

如圖8所示，當Ω/ω1=1時，拉索在僅有底部支座軸向的激勵下只發生面內大幅拍振，面內相對最大位移?wmax約為1.25 m；當面外風荷載和底部支座軸向激勵同時作用時，面外進行小幅度振動，而面內的拍振被較好地抑制，振動較快地進入穩定狀態，?wmax約為1.1 m，相較于僅底部支座軸向激勵時略有減少。當Ω/ω1=2時，端部支座位移激勵下發生主參數振動，面外微小擾動被激發且占據主導，面外相對最大位移?vmax約為1.44 m；當與面外風荷載協同作用時，拉索面外拍振也同樣被較好地抑制，面外振動更早地達到峰值，?vmax約為1.32 m，相較于僅底部支座軸向激勵時的?vmax同樣有所減小，同時面內振動的拍振消失，在振幅增大至0.4 m左右時，作穩幅振動。表1中計算了各工況下拉索跨中位移響應的均方根（RMS），通過對比，面外風荷載和底部支座軸向激勵聯合作用時，風荷載能夠起到擾動效應，削弱支座激勵下拉索的拍振，使振動更快地進入穩幅振動。這一現象與Luongo等［29］應用多尺度法、李永樂等［30］應用數值法對風雨振和索端激勵聯合作用得到的結果相一致。當進一步增加斜拉索底端平均風速時，研究發現風荷載的增大僅能抑制拍振，對于參數振動幅值的削弱十分有限，且在高風速狀態下，拉索面外產生大變形，振動對結構安全性構成更大的威脅。

4 結 論

本文發展了一種求解參數振動響應的向量式有限元方法，可以考慮拉索傾角、阻尼比的影響，以及風、支座激勵等多種荷載的影響。發現了參數振動響應時程包絡線區別于一般共振的斜率特征，為通過分析拉索振動監測數據的波包形狀判定參數振動提供了一種判定方法及其理論依據。探明了傾角、阻尼比以及風荷載與制作激勵協同作用對參數振動的影響規律。得出如下結論：

（1）增大拉索傾角僅影響主共振區的振動幅值，對主參數共振區的振動幅值影響微弱；

（2）增大拉索阻尼比可以減小主共振區和主參數共振區的振動幅值，同時提高了激發參數振動對應的臨界激勵幅值；

（3）面外風荷載的協同作用能夠削弱支座激勵下拉索的拍振現象，但隨風荷載增大，會加劇拉索變形，對拉索的安全性能構成損害；

（4）與共振情況不同，參數振動響應時程包絡線斜率隨振幅增大而增大，可以據此通過分析拉索振動監測數據的波包形狀判定參數振動；

（5）向量式有限元計算方法簡單，與迭代運動方程進行數值求解方法相比，可根據需要靈活調整外荷載及材料特性，可以有效模擬支座運動和多種復雜荷載聯合作用下的拉索振動。

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Vector form intrinsic finite element based simulation on parametric vibration of cables

DUAN Yuan?feng 1 ?HUANG Jia?si 2DENG Nan 1WANG Su?mei 3 ?YING Zu?guang 4HE Wen 5

1. College of Civil Engineering and Architecture， Zhejiang University， Hangzhou 310058， China；

2. Huadong Engineering Corporation Limited， Power China， Hangzhou 311122， China；

3. National Rail Transit Electrification and Automation Engineering Technology Research Center （Hong Kong Branch）， Hong Kong 999077， China；

4. Department of Mechanics， School of Aeronautics and Astronautics， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China；

5. Zhejiang Province Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China

Abstract The parametric vibration is mainly caused by the vibration of the end supports connecting the cables. The cable is the main force component of the cable?stayed bridge. A small disturbance of the stayed cable will be motivated to oscillate with large amplitude once the natural frequency of cables meets a certain multiple relationship with that of support motion， which will cause security problems of bridges. As the complexity of nonlinear problems in the parametric vibration， the traditional analytical methods are unsuitable to be applied in engineering. Hence， the vibration analysis of the stayed cable under dynamic boundary conditions were conducted based on the Vector Form Intrinsic Finite Element method （VFIFE） in this paper and the accuracy of the results were validated by comparison with numerical solution of the governing equations. In addition， the characteristics of the main resonance regions and the main parameter resonance regions excited by axial support motion were discussed. The effects of the angle of inclination， damping ratio and the wind loads on parametric vibration were also analyzed， respectively. The results showed that the VFIFE method is enable to efficiently simulate the parametric vibration of cables under various conditions， which is benefit to engineering application.

Keywords stay cable; parametric vibration; vibration simulation; Vector Form Intrinsic Finite Element method; numerical solution