含軸承傾斜不對中的行星輪系?轉子系統動態特性研究

王鵬飛 徐宏陽 馬輝 楊陽

摘要 針對某履帶車輛匯流行星排傳動系統支撐軸承存在的安裝不對中問題，建立了含軸承傾斜不對中的行星輪系?轉子系統動力學方程。理論推導了可考慮球軸承分別處于內/外圈傾斜不對中故障條件下的軸承力模型。將該模型與行星輪系集中質量模型以及轉子有限元模型耦合，得到了行星排傳動系統動力學模型。分析了軸承不對中對系統動態特性的影響，并討論了滾道曲率半徑和軸承間隙等參數對系統動力學特性的演變規律。結果表明，傾斜不對中使軸承接觸力急劇增大；接觸角、接觸剛度、軸承間隙產生周期性波動；變柔度振動頻率幅值增大，系統振幅降低。提高滾道曲率半徑和軸承初始間隙會增大變柔度振動。但適當選擇較大的軸承間隙，可抵消軸承安裝不對中造成的不利影響。

關鍵詞 轉子動力學; 行星輪系?轉子系統; 軸承不對中; 滾動軸承; 動力學特性

引 言

齒輪、軸承、轉子系統作為旋轉機械的重要組成部分，被廣泛應用于人類社會的交通部門和工業生產部門當中。然而，由于加工與裝配不當、運行時載荷或溫度變化等原因，導致旋轉機械設備經常出現不對中故障。據統計，旋轉機械不對中故障可占轉子系統故障的70%，僅次于轉子不平衡故障［1］。旋轉機械不對中按照故障發生的位置可以分為聯軸器不對中與軸承不對中兩大類。其中軸承不對中故障會增大滾珠與滾道之間的接觸應力，軸承運行溫度升高，縮短其使用壽命，嚴重時甚至導致軸承燒毀、保持架斷裂故障，使軸承提前失效。

在有關于軸承不對中問題的研究中，Harris等［2］將滾動軸承不對中進一步分為支承不同軸、軸承外圈傾斜、軸承內圈傾斜和軸變形4類。Berkovich［3］在試驗研究中發現當套圈相對偏斜角從0增加到53′時，保持架的動態應力由0.54～0.81 MPa激增至20 MPa以上。在國內，徐銳等［4］針對某型航空發動機地面臺架試車故障進行分析，結果發現軸承失效的首斷件為保持架，發動機裝配后的軸承偏斜是導致軸承失效的主因。Zhang等［5］提出了一種改進角接觸球軸承準靜態模型，發現在軸向載荷作用下，套圈傾斜不對中會降低軸承疲勞壽命和軸向剛度；而在組合載荷作用下，一定的不對中量可以改善軸承載荷分布和疲勞壽命。易均等［6］推導了角接觸球軸承外圈發生繞豎直方向歪斜時的非線性軸承力簡易表達式，討論了軸承歪斜對系統全局非線性穩定特性和振動特性的影響。

軸承?轉子系統在考慮行星齒輪箱后，由于其增加了系統的慣性、質量、剛度、阻尼和陀螺力矩，對軸承?轉子系統的振動特性有很大的影響［7］。例如，文獻［8?9］研究了以齒輪傳動渦扇發動機（GTF）為代表的行星輪系?軸承?轉子系統振動特性。Wang等［8］引入滾動軸承力模型，建立了考慮時變嚙合剛度、齒面摩擦、傳動誤差、齒側間隙和軸承間隙的直齒行星輪系?轉子?滾動軸承系統的非線性動力學模型，發現增大摩擦系數使系統經歷倍周期、擬周期乃至混沌運動，頻率成分由以齒輪嚙合頻率為主轉變為軸承頻率為主。Wang等［9］又考慮行星輪系嚙合相位關系，建立了多軸承支撐的人字行星輪系?轉子系統動力學方程，討論了軸承安裝位置對行星輪系均載特性的影響。文獻［10?11］分析了軸承間隙和軸承缺陷故障對行星輪系振動特性的影響。

目前相較于對滾動軸承缺陷故障以及聯軸器不對中故障方面的研究而言，對滾動軸承不對中方面的研究還相對較少。文獻［12］也進一步指出滾動軸承不對中的動力學研究尚屬空白。而且軸承不對中對行星輪系?轉子系統振動特性的影響更是鮮有報道。本文基于現有理論研究的不足，提出了一種軸承分別處于內/外套圈安裝傾斜不對中情況下的非線性軸承力模型，并以某型履帶車輛匯流行星排傳動系統為研究對象，研究了軸承間隙、滾道曲率半徑等參數對含有軸承傾斜不對中的系統動態特性演變規律。結果可為軸承不對中問題的故障診斷與識別提供一定依據。

1 含軸承不對中的系統動力學模型

圖1為某履帶車輛匯流行星排傳動系統結構簡圖。該系統主要由轉子（輸入軸?轉子1；輸出軸?轉子2）、直齒行星輪系、滾動軸承三大部分組成。其中行星輪系含有1個齒圈（R）、1個太陽輪（S）、5個行星輪（P1～P5）、1個行星架（C）。系統結構簡圖如圖1所示。輸入軸與齒圈、行星架與輸出軸均通過花鍵連接。系統動力的傳動路徑為：輸入軸→齒圈→行星輪→太陽輪和行星架→輸出軸。已知齒圈、行星輪、行星架均順時針旋轉，太陽輪不轉。該系統由9個滾動軸承支撐，其中齒圈（輸入軸）、行星架（輸出軸）、太陽輪軸處的軸承代號分別為1～3，輸入軸與輸出軸之間為軸承4（該軸承內圈與輸入軸配合，軸承外圈與輸出軸配合）。除行星輪的軸承（軸承5～9）為滾針軸承外，其余均采用深溝球軸承。在建模前對系統作適當假設處理：（1）忽略花鍵等連接結構的影響。（2）將齒圈、太陽輪、行星輪、行星架均看成集中質量點。（3）采用非線性時變的彈簧?阻尼模型模擬各齒輪之間嚙合關系；為降低模型復雜程度，系統兩側支撐軸承（軸承1和2）采用非線性軸承力模型模擬；其余各軸承按照線性時不變的彈簧?阻尼來模擬。

行星輪系?軸承?轉子系統動力學模型示意圖如圖2所示，采用有限元方法對輸入、輸出軸進行離散，兩個轉子各含12個軸段，其中輸入軸的節點編號為1～13，輸出軸的節點編號為20～32。行星輪系中齒圈、太陽輪、行星輪1～5、行星架的節點編號分別為10，14～19，21。各軸承節點位置為：軸承1?節點10、軸承2?節點26、軸承3?節點14、軸承4?節點12和21、軸承5～9分別為節點15～19。

1.1 球軸承傾斜不對中非線性力模型

假設深溝球軸承內圈與轉子配合安裝，并隨轉子同轉；軸承外圈與軸承座內孔配合安裝，外圈固定不轉。因此軸承內圈的旋轉角速度為ω；該軸承有Nb個滾珠，外圈滾道半徑為Rb，內圈滾道半徑為rb；滾珠直徑為db；軸承節徑為Db；軸承的初始徑向間隙為c0。并假設：（1）軸承中的滾動體在內外滾道之間均勻分布，作純滾動；（2）軸承僅承受純徑向載荷作用；（3）不考慮潤滑油、溫度、保持架兜孔間隙以及滾珠離心力等因素的影響。

不失一般性，假設軸承在安裝過程中內圈沿x軸方向發生了傾斜，傾斜角度為φix，其中第j個滾珠所在的角位置為θj，滾珠中心位置點為Obj，該滾珠所在的外滾道曲率中心軌跡點為Ooutj，對應的內滾道曲率中心軌跡點為Oinj，幾何關系如圖3（a）所示。內圈傾斜后內滾道曲率中心軌跡也隨之發生變化，第j個滾珠所在相應的內滾道軌跡點變為Oinj′，滾珠中心點變為Obj′。結合圖4（a），不難推出內、外滾道的曲率中心半徑分別為OO? inj和OO? outj，其模長可以表示為：

式中 rin和rout分別為內、外滾道曲率半徑。引入內/外滾道曲率半徑系數fi/o，因此軸承的內/外滾道曲率半徑可以表示為它們的曲率半徑系數與滾珠直徑之積，即rin=fidb，rout=fodb。

考慮到模型的通用性，進一步假定軸承內圈沿y軸方向也存在傾斜不對中，傾斜角度為φiy，那么將存在如下幾何關系：

根據圖3（a）所示的幾何關系，可得軸承因傾斜不對中所致第j個滾珠所在的角位置處產生的接觸角αij，表示為：

傾斜不對中后第j個滾珠處的法向間隙表示為Δij。由于軸承滾道曲率半徑遠大于法向間隙，結合圖4（b），第j個滾珠所在角位置的軸承徑向間隙c'0ij可以表示為：

最后，將式（2）和（5）代入式（6）和（7）中，并記a0=（fi+fo?1）?dbo可以得到在軸承內圈沿任意方向發生傾斜不對中后，接觸角與軸承間隙的廣義表達式為：

同理，對于軸承外圈傾斜，假設軸承在安裝過程中外圈沿x和y軸方向的傾斜角度分別為φox和φoy，幾何關系如圖3（b）所示。外圈傾斜后外滾道曲率中心軌跡也隨之發生變化，第j個滾珠所對應的外滾道軌跡點變為O'outj。結合如圖3（b）所示的幾何關系，推導過程同前。因此最終得到軸承外圈沿任意方向發生傾斜不對中后，接觸角αoj與軸承間隙c'0oj的廣義表達式：

由所推導的公式可見，當深溝球軸承存在安裝傾斜不對中時，第j個滾珠所在位置處的軸承間隙不僅與不對中量有關，還和與之產生的接觸角、軸承的內外圈半徑、內外滾道的曲率半徑系數、滾珠直徑、初始間隙均有關。根據文獻［13］，假設第一個滾珠的初始位置角為0，結合本文假定的軸承安裝關系，則軸承的第j個滾珠的角位置θj可以表示為：

結合式（8）～（16），可得軸承不對中情況下第j個滾珠與滾道之間的接觸變形為：

式中 x和y分別為內圈中心在水平和豎直方向所產生的振動位移量；下角標n分別代表內圈傾斜不對中（ij）和外圈傾斜不對中（oj）。

根據非線性赫茲接觸理論，滾珠與滾道之間只能產生法向正應力，即只有在δj>0時才有作用力。引入Heaviside函數H（δj），結合文獻［10，14］，滾動軸承由于不對中所產生的非線性軸承力在x和y方向可分別表示為：

式中 cbj表示第j個滾珠的赫茲接觸剛度，與相互接觸的材料和形狀有關。對于鋼質軸承，有［2］：

式中 cbk （k=in， out）為球軸承對內外滾道的載荷變形系數，表達式為：

其中，參數δ*k可根據文獻［2］得到；∑ρk為內/外滾道曲率和，表示為：

1.2 行星輪系動力學模型

行星排系統動力學模型示意圖如圖5所示。系統整體坐標系OXYZ固結于行星架中心Oc點。為表達方便，建立與行星架同方向同轉速旋轉的旋轉坐標系oqxqyqzq （q=r， pi， c， s，下同）。假設齒圈?行星輪和太陽輪?行星輪在嚙合線方向上的相對位移分別為δrpi和δspi，這里按照主動輪到從動輪的方向繪制嚙合線，并假定相對位移取壓為正、拉為負，各轉動構件逆時針旋轉為正。設構件q的基圓半徑為rbq，ψi為第i個行星齒輪位置角，則有：

式中 αg為齒輪的壓力角，ωc為行星架轉速，N為行星輪個數。假設齒圈與第i個行星輪的嚙合作用線與x軸正向夾角為ψrpi，太陽輪與第i個行星輪的嚙合作用線與x軸正向夾角為ψspi，并記ψrpi=ψi?αg+π/2，ψspi=ψi+αg+π/2。

1.3 轉子有限元模型

采用Timoshenko梁單元模擬轉子，軸段單元示意圖見文獻［13］，梁單元中每個節點均含6個自由度。根據文獻［16］得到第p個軸段的質量矩陣Mp、剛度矩陣Kp和陀螺矩陣Dp。通過組裝得到各含78個自由度的輸入軸矩陣Ms1，Ks1和Ds1，輸出軸矩陣Ms2，Ks2和Ds2，繼而可根據式（29）得到轉子系統的質量矩陣Mr、剛度矩陣Kr和陀螺矩陣Dr。結合文獻［13］，本文采用比例阻尼形式得到轉子阻尼矩陣Cr。

1.4 行星輪系?滾動軸承?轉子系統動力學模型

結合式（18），（23）～（26），（29），行星輪系?軸承?轉子系統的動力學模型最終可以表示為：

式中 U為系統的位移向量；Mp和Dp分別為行星輪系質量和陀螺矩陣；Kb和Cb分別為系統支承剛度和阻尼矩陣；Kp和Cp分別為嚙合剛度和阻尼矩陣；Kc為離心剛度矩陣；T表示系統輸入、輸出扭矩向量；G為系統重力向量。Fb為非線性軸承力向量，軸承力分別置于節點10和26上。

值得注意的是，本文中4號軸承內、外圈分別與輸入、輸出軸相連，如圖7所示。因此該軸承的軸承力向量可以表示為：

式中 Fbm， n為節點m，n處的軸承力向量；Kbm， n和Cbm， n分別為軸承4的剛度和阻尼矩陣；um， n為節點m，n處的振動位移向量；kbl與cbl（l=x，y，z，θx，θy）分別為軸承4在l方向的支撐剛度和阻尼。

將此引入到系統動力學方程（30）中，系統剛度矩陣結構示意圖如圖8所示，系統阻尼矩陣與此相同。

各構件的支承剛度與阻尼參數如表2所示。系統左、右兩端支撐軸承參數參如表3所示。

2 含軸承不對中的系統動力學響應

2.1 軸承不對中對系統動態特性的影響

當系統輸入轉速1200 r/min、輸入扭矩1000 N·m時，研究了軸承傾斜不對中對系統動力學響應的影響。不失一般性，本文假設系統右側支撐軸承（SKF6018，軸承2）內圈繞x軸傾斜角度φix=0.2°。計算得到傾斜不對中對軸承任一滾珠旋轉一周的接觸角、軸承間隙、接觸剛度的變化規律如圖9所示。

由圖9可見，傾斜不對中使軸承間隙、接觸角和接觸剛度不再是一個常數，而是均呈現周期性波動變化的規律。傾斜不對中使軸承一周內出現兩個負游隙區域。這表明傾斜不對中導致軸承出現兩個承載區，軸承上的每個滾珠在旋轉一周的過程中均會循環兩次出現“壓緊”與“放松”的交替變化。除此之外，雖然滾珠旋轉一周的平均接觸角仍為0，但接觸角的變化范圍接近±10°。傾斜不對中使軸承每個滾珠處的接觸角出現波動，這與文獻［5］采用擬靜力學方法所得到的規律相似。根據公式（19）～（21）可知，隨著接觸角度的波動性變化，軸承每個滾珠的接觸剛度也出現周期性變化，而且滾珠旋轉一周，接觸剛度也會波動兩次。軸承接觸剛度也由于不對中的出現而提高。根據軸承運動學，第j個滾珠的公轉角速度ωbj可以計算為：

在軸承內圈轉速ω一定的情況下，滾珠的角速度大小取決于接觸角的大小。由于軸承傾斜不對中使每個滾珠的接觸角均不同，因此使每個滾珠的公轉角速度均不相同。由此致使一些滾珠與保持架的轉速不相等，繼而使滾珠與保持架之間發生彈性碰撞，這也可能是導致保持架疲勞斷裂的原因之一。

結合公式（17）和（19）計算得到了第j個滾珠與滾道間最大法向接觸力Fj=cbjδj1.5。進一步研究了不對中對軸承接觸力的影響規律，如圖10所示?？梢婋S著不對中程度的加?。é読x/ox∈［0°， 0.2°］），內、外圈不對中均導致軸承接觸力呈現非線性增大趨勢，不對中程度越大，軸承接觸力增幅越大。當軸承健康運行（φi/ox=0°）時，最大法向接觸力為22.015 N；而當內圈傾斜角度φix=0.2°時，最大法向接觸力急劇增大，可達約2521.6 N，比健康狀態的接觸力增大了約114.5倍，這會大幅縮短軸承的使用壽命。另外，外圈傾斜不對中所致的接觸力要略小于內圈傾斜不對中情況。

在健康狀態（無不對中）、內圈傾斜φix=0.2°、外圈傾斜φox=0.2°三種情況下的系統頻譜成分分別如圖11（a）～（c）所示。這里記齒輪嚙合頻率為fm，軸承1的變柔度振動（VC）頻率為fvc1，軸承2的VC頻率為fvc2。在健康狀態下，系統中的頻率成分由齒輪嚙合頻率及其諧波成分、兩個軸承的VC頻率組成。其中fm為主導頻率，說明健康狀態下系統的主要激振來源是齒輪單雙齒嚙合所造成的振動。另外，此時fvc1的頻率幅值也要大于fvc2。當軸承存在不對中時，系統中除了仍存在的齒輪嚙合頻率及其諧波成分外，發生不對中的軸承2頻率fvc2及其倍頻的幅值相應增大，甚至超過齒輪頻率fm成為系統振動的主導頻率；相反，軸承1頻率fvc1幅值逐漸減弱甚至消失。與此同時還出現了齒輪頻率和軸承頻率的組合頻率成分，如fm-fvc2，fm-2fvc2等。系統在不同不對中程度下的振幅曲線如圖12所示。隨著不對中量的增大，系統的振幅有所下降，這是由于軸承不對中相當于軸承對系統的約束效應得到加強。值得注意的是，雖然內、外圈在不同傾斜量下的頻譜特征規律變化一致，但在相同的傾斜角度下，軸承外圈傾斜不對中所產生的系統振幅要高于軸承內圈的傾斜情況，這說明軸承外套圈安裝傾斜對系統振動的影響要強于內圈傾斜所引起的振動。這主要是因為，雖然傾斜角度相同（φix=φox），但根據公式（8），（9）以及公式（12），（13）可以看出，傾斜導致的接觸角和軸承間隙的改變量是不相等的，因此軸承傾斜所導致施加于系統上的非線性軸承力大小也是不同的。

2.2 軸承初始徑向間隙的影響

以軸承內圈傾斜不對中角φix=0.2°的情況為例，進一步討論當軸承處于傾斜不對中情況下，通過改變軸承2的初始徑向間隙c0，分析其對接觸角、軸承徑向間隙、接觸剛度的影響，如圖13所示。

由圖13可見，增大軸承初始間隙使傾斜不對中所導致的接觸角和接觸剛度波動量略有增大，并導致傾斜不對中下的軸承間隙整體向上移動，呈線性增大趨勢，甚至可以遠離負游隙區域，從而避免滾珠擠死，說明增大軸承的初始徑向間隙可以補償軸承安裝不對中所帶來的不利影響，這與文獻［17］所得結果一致。

以軸承初始徑向間隙c0分別取0 μm和20 μm為例，進一步說明軸承傾斜不對中對系統振動特性的影響。圖14為不同軸承間隙下系統的位移波形、加速度波形、加速度FFT譜圖。當軸承間隙c0=0 μm時，位移波形呈現出明顯的高低頻混合振動特征，這說明此時系統仍以高頻（齒輪頻率fm）振動為主導，加速度譜圖中也以fm及其高次諧波成分為主；而當軸承間隙c0=20 μm時，振動位移波形近似為一正弦波，此時系統以低頻（軸承頻率fvc2）振動為主導，振動中心在重力的作用下向下移動。從加速度波形可以看出，軸承間隙增大后加速度幅值有所降低。在加速度頻譜中，除了齒輪嚙合頻率fm及其諧波成分外，還出現了軸承頻率及其高次諧波成分，即nfvc2（n為正整數），軸承的變柔度頻率幅值增大，說明軸承變柔度振動加?。灰约耙札X輪嚙合頻率為中心，以軸承頻率及其倍頻為邊帶的頻率調制現象，即mfm±nfvc2（m，n均為正整數）。

軸承間隙對含傾斜不對中系統振幅的影響結果如圖15所示。由圖可見，隨著軸承間隙c0由0 μm增大至20 μm，系統振幅同樣也隨著軸承初始間隙的增大而升高，系統的非線性增強，這不利于機械系統的穩定運行。由上述結果可知，在系統振動允許范圍內，可以適當選取較大的軸承間隙，從而減弱軸承安裝不對中的不良影響。

2.3 軸承滾道曲率半徑的影響

進一步通過改變軸承2的滾道曲率半徑系數fi/o，以研究其對含有軸承不對中的系統動態特性影響規律。不對中量取值同前。首先分析了滾道曲率半徑系數fi/o∈［0.505， 0.525］對軸承參數（接觸角、軸承徑向間隙、接觸剛度）的影響，結果如圖16所示。由圖可見，隨著曲率半徑系數的增大，軸承徑向間隙和接觸角的波動量均存在明顯的減小趨勢。軸承平均間隙也隨之減小，軸承的“壓緊”程度減弱。而軸承Hertz接觸剛度呈現出非線性減小的趨勢，即滾道曲率半徑越大，Hertz接觸剛度的減小程度越小。

不同滾道曲率半徑對含傾斜不對中系統振動響應的影響結果如圖17所示。系統的頻譜特征與如圖14所示的增大軸承間隙情況規律幾乎一致，即從圖17中可以清晰地觀察到軸承2的變柔度振動頻率fvc2的幅值隨著軸承滾道曲率半徑系數的增大而增大，與此同時，其倍頻成分如2fvc2，3fvc2，4fvc2等的幅值也隨之增大。此外仍出現了以齒輪嚙合頻率為中心，以軸承頻率及其倍頻為邊帶的頻率調制現象，即mfm±nfvc2（m，n均為正整數）。結合圖18可見，系統振幅也同樣隨著滾道曲率半徑的增大而增大，這說明增大滾道曲率半徑系數也使傾斜不對中所帶來的軸承變柔度振動加劇。

3 結 論

基于Hertz接觸理論，根據軸承不對中后的幾何關系，提出可應用于復雜旋轉機械系統的球軸承內/外圈傾斜不對中非線性軸承力模型。并結合轉子系統有限元模型，行星輪系集總參數模型，建立了行星輪系?滾動軸承?轉子系統動力學模型。采用數值仿真方法分析了當軸承處于傾斜不對中狀態下的系統動力學響應，得到的結論如下：

（1）傾斜不對中導致軸承接觸力急劇增大，并使軸承出現兩個承載區。每個滾珠在每時刻下的軸承間隙、接觸角、接觸剛度均發生周期性波動；軸承的接觸剛度也增大。由于每個滾珠接觸角均不相同，還導致滾珠的公轉角速度不一致，這會進一步導致滾珠與保持架之間發生彈性碰撞。

（2）傾斜不對中導致軸承VC頻率幅值增大，甚至超過齒輪嚙合頻率成為系統振動的主要激勵頻率。在較大的軸承間隙下，還出現了以齒輪嚙合頻率為中心，以軸承頻率及其倍頻為邊帶的頻率調制現象，即mfm±nfvc2（m，n均為正整數）。系統振幅有所降低，這主要是由于不對中使軸承對系統的約束作用增強所致。

（3）增大滾道曲率半徑可使接觸角非線性減小，徑向間隙非線性增大。增大軸承初始徑向游隙可以使不對中情況下的軸承徑向間隙線性增大，甚至遠離負游隙區域。然而，增大滾道曲率半徑和軸承間隙會加劇軸承變柔度振動。因此，在系統振幅的允許范圍內，可適當選擇較大的軸承間隙，以抵消軸承安裝不對中造成的不利影響。

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Dynamic characteristics of planetary gear-rotor system with bearing tilt misalignment

WANG Peng-fei 1 XU Hong-yang 1MA Hui 1，2 YANG Yang 3

1. School of Mechanical Engineering & Automation， Northeastern University， Shenyang 110819， China；

2. Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion Systems Ministry of Education， Northeastern University， Shenyang 110819， China；

3. China North Vehicle Research Institute， Beijing 100072， China

Abstract Aiming at the misalignment problem of the support bearing in the planetary gear transmission system of a tracked vehicle， the equation of motion of the planetary gear-rotor system with bearing tilt misalignment was established. A bearing force model was proposed based on the nonlinear Hertz contact theory， which could be considered when the ball bearing was respectively in the condition of inner/outer ring tilt misalignment. The proposed model was coupled with the lumped mass model of planetary gear and the finite element model of rotor， and the dynamic model of planetary gear transmission system was obtained. The influence of bearing misalignment on the system dynamic characteristics was analysed， and the evolution law of the parameters such as raceway curvature radius and initial bearing radial clearance on the system dynamic characteristics was further discussed. The results show that the bearing tilt misalignment lead to the sharp increase of bearing contact force， the periodic fluctuation of contact angle， contact stiffness and bearing clearance， the increase of varying compliance （VC） vibration frequency amplitude and the decrease of system amplitude. Enhancing the raceway curvature radius and bearing initial clearance can increase the VC vibration. However， the appropriate selection of large bearing clearance can offset the adverse effects caused by tilt misalignment of bearing installation.

Keywords rotor dynamics; planetary gear-rotor system; bearing misalignment; rolling bearing; dynamic characteristics