兩自由度碰撞振動系統的兩參數非光滑分岔

呂小紅 張開成 朱喜鋒 羅冠煒

摘要 考慮塑性碰撞工況的兩自由度振動系統，分析系統非光滑分岔的條件，辨識系統在兩參數平面的周期運動模式及存在域，研究相鄰周期運動的分岔特征及存在于（1， 0， 0）運動與（1， 1， 0）運動之間的遲滯域和亞諧包含域的動力學，揭示碰撞振動系統的余維一穿越、切換和多滑動分岔及余維二滑動分岔行為。塑性碰撞工況下，非黏滯型和黏滯型單沖擊周期運動經穿越滑動分岔相互轉遷。在亞諧包含域的邊界線上存在一個窄遲滯域群，相鄰遲滯域的連接點為二重擦邊分岔點和倍化?鞍結分岔點。碰撞振動系統的切換滑動分岔和多滑動分岔都表現為隆起分岔，但是隆起在黏滯相的發生位置不同。兩參數平面內，兩條不同類型滑動分岔線的橫截相交點為余維二滑動分岔點。

關鍵詞 碰撞振動; 兩參數分岔; 滑動分岔; 黏滯; 擦邊

引 言

機械動力系統中的間隙常導致零部件之間或零部件與約束之間在運行中發生碰撞振動。碰撞使含間隙機械系統成為一類典型的非光滑動力系統，并表現出豐富的動力學行為，如亞諧碰撞運動［1?2］、基本碰撞運動［3］、周期黏滯運動［4］、混沌激變［5］和共存吸引子［6?7］ 以及擦邊分岔［8?9］和Neimark?Saker分岔［10］等。碰撞振動系統的倍化分岔序列通常因擦邊周期運動的存在而中斷，并引發Poincaré映射的奇異性［11?12］。Ma等［13］研究了擦邊碰撞引起的Jacobian矩陣的行列式和跡的變化特點。擦邊分岔依據擦邊點是否出現跳躍和可逆性分為連續分岔和不連續分岔兩種形式。Luo等［14?15］基于兩參數分岔分析方法研究了碰撞振動系統基本運動的連續和不連續擦邊分岔特征。Jiang等［16］研究了剛性和彈性碰撞振動系統的兩參數倍化型和鞍結型擦邊分岔。

工程應用領域存在很多塑性沖擊機械和裝置，如沖擊振動成型機、振動沖擊打樁機和鑄造落砂機等。塑性碰撞工況下，沖擊振動系統的周期運動有黏滯和非黏滯兩種類型。黏滯運動的存在改變了原振動系統的結構，減少了振動系統的自由度數，增加了理論分析的難度。因此，對塑性碰撞振動系統的動力學研究目前開展較少，研究的方法僅限于數值仿真分析。黏滯型碰撞振動與摩擦振動系統的黏滑振動有相似之處。近年來國內外學者對摩擦振動系統黏滑周期運動的類型和四種滑動分岔作了深入研究［17?18］，但是對碰撞振動系統滑動分岔的研究尚在起步階段。Luo等［19］研究了兩自由度塑性碰撞振動系統非黏滯型周期運動的穿越滑動分岔。Wagg［20］運用數值仿真的方法揭示了多約束碰撞振動系統完整顫碰運動的多滑動分岔。呂小紅等［21］研究了一類沖擊漸進振動系統黏滯型基本碰撞運動的多滑動分岔。迄今為止關于碰撞振動系統的切換滑動和擦邊滑動分岔以及余維二滑動分岔等問題的研究還未見報道。本文基于兩參數分岔分析方法，研究塑性碰撞工況下兩自由度振動系統在兩參數平面的黏滯型和非黏滯型周期運動模式及存在域，著重分析周期運動的擦邊和滑動分岔，揭示碰撞振動系統的切換滑動、多滑動和余維二滑動分岔等非光滑分岔行為。

1 力學模型

圖1所示為兩自由度含間隙碰撞振動系統的力學模型，質塊Mi（i=1，2）通過阻尼系數為Ci的線性阻尼器和剛度為Ki的線性彈簧與支承相連，兩個質塊之間通過阻尼系數為C3的線性阻尼器和剛度為K3的線性彈簧相連。質塊Mi上作用有簡諧激振力Pisin（ΩT+τ）。兩質塊只在水平方向運動，其位移分別用X1和X2表示，當滿足關系X1?X2=B時，質塊M1和質塊M2發生碰撞。引入無量綱參數：

當x1（t）?x2（t）=δ時，兩質塊發生碰撞。文獻［22?23］研究了系統在剛性碰撞工況下的兩參數動力學，本文考慮塑性碰撞，沖擊方程為：

式中 x˙1?和x˙2?表示碰撞前兩質塊的瞬時速度。碰撞后的瞬時速度為x˙+=x˙1+=x˙2+，若兩質塊的加速度也相同，則質塊M1和M2黏滯在一起同步運動，即黏滯運動。黏滯運動時，兩質塊之間存在相互作用力fN。用f1（t）和f2（t）分別表示碰撞后瞬時作用于質塊M1和M2的合力，則：

由f1/μ?m=f2得：

若fN>0，則兩質塊黏滯運動，否則立即分離做自由運動，直至下次碰撞發生。黏滯運動時的無量綱運動微分方程為：

黏滯運動過程中，若fN減小為0，則兩質塊分離做自由運動。自由運動時的無量綱運動微分方程為：

2 非光滑分岔分析

定義邊界函數：

令 x∶ =（x1，x˙1，x2，x˙2，θ）T∈R4×S，其中θ=ωtmod（2π），S為圓環。將式（6）寫成規范形式：

關于向量場（8）的流函數?（x，t）的解析解見文獻［22］。流函數的相對速度和相對加速度可表示為：

式中 hx（x）=（1，0，?1，0，0）。碰撞面可表示為Σp={x∶h（x）=0}，且可劃分成4個子區域：Σ+1={x∶h（x）=0，v（x）>0}，Σ+2={x∶h（x）=0，v（x）=0，a（x）>0}，Σ?2={x∶h（x）=0，v（x）=0，a（x）<0}和Σ02={x∶h（x）=0，v（x）=0，a（x）=0}。

設系統周期運動的軌跡到達截面∑p的點為x=x?，存在以下四種情況：（Ⅰ）x?∈Σ?2，兩質塊擦邊接觸，此時的系統參數值為擦邊分岔點；（Ⅱ） x?∈Σ+2，兩質塊擦邊接觸后黏滯運動；（Ⅲ） x?∈Σ02，系統發生擦邊滑動分岔；（Ⅳ）x?∈Σ+1，兩質塊發生碰撞。碰撞恢復函數的表達式為R（x）=x?+ω（x）v（x?），其中ω（x）=（0，m?1，0，m，0）T。設碰撞后的點為x=x+，由于考慮塑性碰撞，有v（x+）=0。若x+∈Σ?2，則碰撞后兩質塊立即分離。若x+∈Σ+2，則碰撞后兩質塊黏滯運動一段時間。黏滯運動的向量場由式（5）決定，可寫成規范形式：

黏滯域的表達式為Σs={x∈Σp∶x˙1=x˙2，fN≥0}。黏滯域的邊界為?Σs={x∈Σp∶x˙1=x˙2，fN=0}。當黏滯運動的軌跡到達?Σs時，黏滯運動過程結束。

系統發生滑動分岔時，臨界軌跡在碰撞后存在與?Σs相交的點，設該點為x=x*。根據滑動分岔理論，定義碰撞振動系統滑動分岔的通有性條件為：

對于多滑動分岔，臨界軌跡完全位于黏滯域中，且點x*與?Σs相切，因此還包括附加條件：

為了方便分析，用符號‘（n， p， q）表示周期運動的模式，其中n，p和q分別表示一個運動周期內的激振力周期數、兩質塊的碰撞次數和黏滯運動次數。選定相位面Σn={x∶θ=0}為Poincaré截面，構造Poincaré映射P∶Σn→Σn。當系統表現為周期運動時，可通過Poincaré截面的點數及周期運動的軌線到達截面Σp和Σs的次數辨別周期運動的模式及其在兩參平面的存在域。

3 周期運動模式及存在域

取系統參數（1）：m=0.5，ζ=0.05，f=1，ki=0.5，ci=0.5（i=1， 2），在（ω，δ）?參數平面取一個感興趣的區域H1={0.1≤ω≤8.1，0≤δ≤0.8}，辨識系統在H1內的周期運動模式及其存在域如圖2所示。圖2中各模式周期運動的存在域用不同的顏色區分，并標有符號‘（n，p，q）；CSi（i=1，2），SS和G分別表示穿越滑動分岔線、切換滑動分岔線和擦邊分岔線；‘+代表余維二分岔點。

3.1 單沖擊周期運動的滑動分岔

由圖2可見，塑性碰撞工況下，圖1所示系統在兩參數（ω，δ）平面呈現的單沖擊周期運動有兩種模式，即非黏滯型（n，1，0）和黏滯型（n，1，1）（n=1，2，3，…）運動，其存在域的分布具有規律性。為了詳細討論單沖擊周期運動的分岔特點，圖3給出了δ=0時，ωtf/（2π）和沖擊速度x˙1??x˙2?隨ω變化的單參數分岔圖，其中tf表示相鄰兩次沖擊之間的自由運動時間，ωtf/（2π）表示tf與激振力周期的比值。ωtf/（2π）分支的平直線窗口（ωtf/（2π）=n（n=1，2，3，…））對應（n，1，0）運動，周期運動過程中不存在黏滯現象，運動軌跡為“碰撞?自由運動”。斜直線窗口對應（n，1，1）運動，周期運動過程中存在黏滯現象，運動軌跡為“碰撞?黏滯?自由運動”。碰撞振動系統的黏滯與摩擦振動系統的滑動有相似之處。在直線的轉折點，非黏滯型周期運動的軌跡橫截相交黏滯域邊界轉遷為黏滯型，因此，系統發生穿越滑動分岔（CSB）。繼續減小ω，（n，1，1）（n≥2）運動發生擦邊分岔產生（n，2，1）運動，然后經穿越滑動分岔嵌入（n，2，0）運動。當ω增大時，（n，1，0）運動經倍周期分岔產生（2n，2，0）運動，然后經穿越滑動分岔轉遷為（2n，2，1）運動。

如圖2所示，（1，1，0）運動的存在域在下邊界與（1，1，1）和（1，2，0）運動的存在域相鄰。減小δ，（1，1，0）運動與（1，1，1）運動的兩參數分界線為穿越滑動分岔線（CS1），與（1，2，0）運動的分界線為擦邊分岔線（G）。兩條分岔線的節點用符號‘+表示。 （1，2，0）運動的存在域很窄呈波浪狀分布，其下邊界經穿越滑動分岔線（CS2）與（1，2，1）運動相鄰。在圖2所示左下角區域，（1，1，1）運動與（1，2，1）運動的存在域交替出現。兩類周期運動的分岔過程如圖4和5所示。圖4的ωtf/（2π）分支數和ωts/（2π）（ts表示相鄰兩次沖擊之間的黏滯運動時間）分支數可分別確定周期運動的碰撞次數p和黏滯次數q。圖5（a）為ω=0.55時，兩質塊相對運動的時間歷程圖，系統呈現（1，1，1）運動。圖5（b）為圖5（a）的局部放大。增大ω，當ω>0.59093時，ωtf/（2π）?ω分岔圖出現兩條分支線，即碰撞次數增加一次，但ωts/（2π）分支數保持不變，系統呈現（1，2，1）運動。經計算可知，增大ω，對應（1，1，1）運動的力fN逐漸減小。當ω=0.59093時，fN減小至近似等于0。繼續增大ω，當ω=0.6時，fN=-0.01634557<0，因此，兩質塊在碰撞后立即分離，經歷很短暫的自由運動后再次碰撞，然后黏滯運動。相對運動的時間歷程圖在黏滯期的開始出現微小的隆起現象（Rising）（如圖5（c）所示），（1，1，1）運動分岔為（1，2，1）運動。在分岔點，運動軌跡在黏滯期的開始發生了額外的切換轉換，因此，系統發生切換滑動分岔（SSB）。進一步增大ω，隆起的幅值逐漸增大，當ω≈0.655時達到最大值，然后逐漸減小直至消失，（1，2，1）運動經切換滑動分岔返回（1，1，1）運動，如圖5（d）～（f）所示。

由圖4和5可知，在圖2所示兩參數平面內，（1，1，1）與（1，2，1）運動的分界線為切換滑動分岔線（SS），‘+點是分岔線G，CS1，CS2和SS的節點，因此，‘+點為（1，1，0）運動的擦邊?滑動分岔點和（1，2，1）運動的余維二滑動分岔點。

3.2 （1， 0， 0）運動與（1， 1， 0）運動的轉遷

在圖2所示兩參數平面的大間隙區域，系統主要表現為（1，0，0）和（1，1，0）運動。兩類運動之間存在兩種不同的轉遷方式。第一種轉遷方式如圖6（a）所示，減小ω或δ，（1，0，0）運動在分岔線G（1，0，0）經不連續擦邊分岔產生（1，1，0）運動。當分岔參數反方向變化時，（1，1，0）運動在分岔線SN（1，1，0）經鞍結分岔產生（1，0，0）運動。分岔線G（1，0，0）和SN（1，1，0）產生一個（1，0，0）和（1，1，0）運動共存的遲滯域，用HR1表示。為了研究系統在HR1內的全局動力學，在狀態空間選取一個初值考察區域Ω={?0.4≤x1≤0.4，?2≤x˙1≤0，x2=0，x˙2=0}，應用簡單胞映射法求解HR1內共存吸引子在Ω內的吸引域如圖7所示。當ω遞減穿越SN（1，1，0）時，系統在部分初值下的（1，0，0）運動響應發生周期跳躍，出現（1，1，0）運動響應，（1，0，0）運動的吸引域被（1，1，0）運動的吸引域侵蝕，如圖7（a）所示。繼續減小ω，（1，1，0）運動的吸引域面積不斷增大，（1，0，0）運動的吸引域被進一步侵蝕，如圖7（b）所示。由于共存吸引子的吸引域集中分布，因此，初始條件的擾動對系統在HR1內的穩態響應的影響不大。當ω遞減穿越G（1，0，0）時，系統響應退出遲滯域，表現為穩定的（1，1，0）運動。

（1，0，0）與（1，1，0）運動之間還存在另外一種轉遷方式。由圖2可見，在（1，0，0）和（1，1，0）運動的存在域臨界線上存在若干面積很窄的淺黃色區域。圖6（b）為該參數區域的動力學描述，系統主要表現為非黏滯型單碰亞諧運動（n，1，0）（n=2，3，…）。（n，1，0）運動序列的存在域隨n的遞增自下而上、自右向左依次分布。為了方便分析，文中將這類區域稱為亞諧包含域。圖8（a）為（1，0，0）運動與亞諧包含域內的（2，1，0）運動隨ω遞增（紅色）和遞減（藍色）的單參數分岔圖。（1，0，0）運動的擦邊分岔點G2和（2，1，0）運動的鞍結分岔點SN2形成一個（1，0，0）與（2，1，0）運動共存的遲滯窗口。（1，0，0）運動與亞諧包含域內（3，1，0）運動的相互轉遷如圖8（b）所示。由圖8可知，在（1，0，0）運動與亞諧包含域內（n，1，0）運動的存在域之間，由（1，0，0）運動的擦邊分岔線和（n，1，0）運動的鞍結分岔線形成一個很窄的遲滯域HRn，從而在亞諧包含域的上邊界產生一個窄遲滯域群HRn（n=2，3，…）。（1，0，0）運動的擦邊分岔只有在相鄰兩個遲滯域HRn和HRn + 1的連接點是連續分岔，該連接點是（1，0，0）運動的二重擦邊分岔點。

取δ=1.5，（1，0，0）與（1，1，0）運動經亞諧包含域的轉遷過程如圖9所示。結合圖6（b）和圖9可知，遞增δ或遞減ω，（1，1，0）運動發生倍周期分岔產生（2，2，0）運動而使系統響應嵌入亞諧包含域，（2，2，0）運動經鞍結分岔產生（2，1，0）運動。當δ和ω反方向變化時，（2，1，0）運動的擦邊分岔使系統響應直接退出亞諧包含域，表現為（1，1，0）運動。（2，1，0）運動的擦邊分岔線和（2，2，0）運動的鞍結分岔線在亞諧包含域的下邊界形成一個遲滯域，如圖6（b）所示HR0。HR0內，（1，1，0）與（2，1，0）運動或（2，2，0）與（2，1，0）運動共存。遲滯域HR0，HR1和HR2的六條邊界線橫截相交于‘+點，因此，該點是（1，0，0）運動的二重擦邊分岔點和（1，1，0）運動的倍化?鞍結分岔點。當ω遞增時，（n，1，0）（n=3，4，5）運動經不連續的擦邊分岔產生混沌，并形成一個（n，1，0）運動與混沌共存的遲滯窗口，如圖9所示。圖10（a）為遲滯窗口內（3，1，0）運動（紅色）與混沌（藍色）共存的相圖。遞增ω，當ω=0.614374時，（3，1，0）運動的一條非碰撞軌線與碰撞面擦邊接觸，如圖10（b）所示。穿越擦邊分岔點，（3，1，0）運動轉遷為混沌。圖10（c）和（d）描述了（3，1，0）運動與混沌共存時的吸引域結構及演化。離擦邊點越近，（3，1，0）運動的穩定性越弱，其初始條件的微小擾動有可能使系統響應表現為混沌。

4 系統參數對兩參數動力學的影響

這一節討論單參數變化對系統在（ω，δ）?參數平面的動力學的影響，數值仿真結果如圖11所示（圖題給出了改變的參數值，其余參數與參數（1）相同）。對比圖2和11可見，改變質量參數m及剛度參數k1和k2，（n，1，0）和（n，1，1）（n≥2）運動的存在域的分布規律基本不變。因此，下面分析單參數變化對（1，p，q）運動的存在域及分布的影響。由圖2，11（a）和（b）可見，減小m，單碰周期運動的存在域朝ω增加的方向移動，同時向大間隙區域延伸，使得參數區域H1內的周期運動模式減少，（n，1，0）運動的穿越滑動分岔線明顯延長；（1，1，1）和（1，2，1）運動的存在域分布變得更加簡單，切換滑動分岔線明顯縮短；亞諧包含域向大間隙區域收縮。當m=0.3時，亞諧包含域收縮到了H1以外的區域。減小k1，（1，1，0）運動的存在域面積逐漸減小，亞諧包含域向小間隙區域延伸；在ω>1的區域內，（1，1，0）運動的存在域向下擴展，（1，1，1）和（1，2，1）運動的存在域受到擠壓而減小，（1，1，0）運動的穿越滑動分岔線逐漸縮短；在ω<1的區域內，（1，1，1）和（1，2，1）運動的存在域分布變得更加復雜，并向大間隙區域延伸，切換滑動分岔線明顯延長。減小k2，在ω>1.5的區域內，（1，1，1）運動的存在域向大間隙區域擴展，使得（1，1，0）運動的存在域和亞諧包含域向上收縮；在ω<1.5的區域內，（1，1，1）和（1，2，1）運動的存在域向小間隙區域收縮，切換滑動分岔線明顯縮短。

5 周期黏滯運動的滑動分岔

數值結果表明，當k 2增加到k2≈0.78時，系統在低頻小間隙區域呈現更加豐富的動力學。如圖12（a）所示，當k2=0.9時，參數區域H2={0.2≤ω≤1， 0≤δ≤0.48}內出現若干囊括（1，2，1），（1，2，2），（1，3，1）和（1，3，2）等黏滯型周期運動的呈柳葉狀有規律分布的參數島。這些參數島具有自相似特征。圖12（b）描述了邊界線的分岔類型，MS和SN分別表示多滑動分岔線和鞍結分岔線，兩條不同類型滑動分岔線的橫截相交點為余維二滑動分岔點。由于系統在參數區域H2內表現為周期一運動，即運動周期等于激振力周期不變，因此，為了辨識周期運動的碰撞次數和黏滯次數，圖13給出了ωtf/（2π）和ωts/（2π）隨ω沿圖12（b）所示線段u變化的單參數分岔圖，虛線表示分岔邊界。各模式周期一運動的時間歷程如圖14（a1）～（e1）所示。圖14（a2）～（e2）分別為圖14（a1）～（e1）的局部放大。

由3.1節的分析可知，（1，1，1）與（1，2，1）運動的兩參數分界線為切換滑動分岔線（SS）。增大ω，（1，1，1）運動轉遷為（1，2，2）運動，如圖13所示。（1，1，1）運動的軌跡如圖14（a1）和（a2）所示，每次碰撞后，兩質塊黏滯運動一段時間，然后自由運動直至下次碰撞。隨著ω的增大，相對運動的時間歷程圖在（1，1，1）運動的黏滯相出現隆起現象，即兩質塊在黏滯運動期間出現短暫的分離，如圖14（b1）和（b2）所示。由于該隆起出現在黏滯相的近似中間位置，使得系統在一個運動周期內的黏滯次數增加一次，（1，1，1）運動經多滑動分岔轉遷為（1，2，2）運動。因此，圖12中（1，1，1）與（1，2，2）運動的兩參數分界線即藍色區域與綠色區域之間的分界線為多滑動分岔線（MS）。繼續增大ω，隆起的幅值和分離的時間逐漸增加，第二次（短暫分離后）黏滯期的時間逐漸縮短。同時，相對運動的時間歷程圖在第一次黏滯的開始出現微小的隆起，如圖14（c1）和（c2）所示，使運動軌跡在黏滯相的開始發生額外的切換轉換，系統發生切換滑動分岔產生（1，3，2）運動。因此，（1，2，2）與（1，3，2）運動的兩參數分界線為切換滑動分岔線（SS）。進一步增大ω，第二次黏滯期的時間減小為0，此次碰撞后由黏滯型轉遷為非黏滯型，（1，3，2）運動經穿越滑動分岔產生（1，3，1）運動，如圖14（d1）和（d2）所示。因此，（1，3，2）與（1，3，1）運動的兩參數分界線為穿越滑動分岔線（CS）。（1，2，1）與（1，3，1）運動的兩參數分界線為擦邊分岔線（G）或鞍結分岔線（SN），兩條分岔線產生遲滯域。遲滯域內共存周期運動的時間歷程圖如圖14（e1）和（e2）所示，其中紅色線為（1，3，1）運動的軌跡，藍色線表示（1，2，1）運動。在圖12中，（1，2，1）運動與（1，2，2）運動的兩參數分界線為穿越滑動分岔線（CS），與（1，3，2）運動的兩參數分界線為多滑動分岔線（MS）。

Wagg［20］研究了碰撞振動系統顫碰黏滯運動的隆起現象，認為隆起分岔在性質上相似于摩擦振動系統的多滑動分岔。然而本文的研究發現，碰撞振動系統的切換滑動分岔和多滑動分岔都表現為隆起分岔。隆起在黏滯相的發生位置不同，滑動分岔模式不同。切換滑動分岔對應的隆起發生在黏滯相的開始時刻，使系統在一個運動周期內的碰撞次數增加一次，而黏滯運動次數不變，且發生隆起的黏滯相時間ts在分岔點連續變化，如圖13（b）所示。多滑動分岔對應的隆起發生在黏滯相的近似中間位置，使系統在一個運動周期內的碰撞次數和黏滯運動次數各增加一次，且黏滯相時間ts在分岔點發生跳躍。

6 結 論

本文考慮塑性碰撞工況的兩自由度振動系統，分析系統非光滑分岔的條件，辨識系統在（ω，δ）?參數平面的周期運動模式及存在域，研究相鄰周期運動的分岔特征及系統參數對系統動力學的影響，揭示碰撞振動系統的余維一穿越、切換和多滑動分岔及余維二滑動分岔行為。

（1） 塑性碰撞工況下，系統呈現的單沖擊周期運動有兩種模式，即非黏滯型（n，1，0）和黏滯型（n，1，1）（n=1，2，3，…）運動。（n，1，0）和（n，1，1）運動經穿越滑動分岔相互轉遷。

（2） 在（1，0，0）與（1，1，0）運動的（ω，δ）?存在域之間，存在兩類轉遷域：遲滯域和亞諧包含域。由于擦邊分岔的不連續性，亞諧包含域被一個窄遲滯域群包圍。相鄰遲滯域的連接點為二重擦邊分岔點和倍化?鞍結分岔點。

（3） 切換滑動分岔和多滑動分岔都表現為周期黏滯運動的隆起分岔，引起兩質塊在黏滯運動期內時而黏滯、時而跳動。這種現象類似于機械系統的爬行或顫振，加劇振動機械部件的疲勞，產生刺耳的噪音。因此，在設計和改造圖1所示塑性沖擊機械和裝置時，通過系統動力學的兩參數或多參數分岔分析可以確定其優化參數，從而使系統在較寬激勵頻率范圍內避免隆起分岔的發生。

本文的研究為塑性碰撞振動系統動力學行為的預測和控制、以及系統設計參數的優化選擇提供理論基礎。

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Two?parameter non?smooth bifurcations of a 2?DOF impact oscillator

L? Xiao?hong 1，2 ZHANG Kai?cheng 1ZHU Xi?feng 1LUO Guan?wei 2

1. School of Mechatronic Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；

2. Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment of Gansu Province， Lanzhou 730070， China

Abstract A two?degree?of?freedom oscillator system with plastic impact is considered. The existences of non?smooth bifurcations of the system are analyzed， and the periodic motion patterns and existence regions are identified in the （ω， δ）?parameter plane. The bifurcation characteristics between adjacent periodic motions and dynamics in the hysteresis and subharmonic inclusions regions which lie between the （ω， δ）?parameter domains of （1， 0， 0） and （1， 1， 0） motions are analyzed. The bifurcation behaviors such as codimension?1 crossing?sliding， switching?sliding and multi?sliding bifurcations and codimension?2 sliding bifurcation in the impact oscillator are revealed. In the plastic impact case， non?sticking and sticking single?impact periodic motions transit into each other through crossing?sliding bifurcation. There exists a group of narrow hysteresis domains along the boundary of the subharmonic inclusions region， and the connection point of adjacent domains of hysteresis is a double?grazing bifurcation and flip?fold bifurcation point. Switching?sliding and multi?sliding bifurcations of the impact oscillator are manifested as rising bifurcations， but there is a difference in the location of rises occurring in the sticking phase. In two?parameter plane， the intersection point of two types of sliding bifurcation curves is a codimension?2 sliding bifurcation point.

Keywords impact oscillator; two?parameter bifurcation; sliding bifurcation; sticking; grazing