框架結構線性黏滯阻尼器雙目標同步優化布置研究

周玉嫻 王曙光

摘要 在結構減震設計中，尋找最佳的阻尼器布置方案使減震效果最大化是一個至關重要的問題。用狀態空間法描述在地震作用下布置線性黏滯阻尼器的減震系統，求解結構動力響應。采用基因屬性保留遺傳算法對減震系統進行編碼，引入并列選擇法對兩個性能目標進行處理，可以實現阻尼器的雙目標同步優化布置。將本文與已有研究成果的多層及高層框架阻尼器優化布置方案進行對比，雙目標同步優化方法在改進原結構響應目標（如層間位移）減震效果的同時，還可以改善其他種類結構響應（如樓層加速度）的減震效果，使得減震結構具有更加優越的綜合結構性能。雙目標同步優化方法可以高效處理雙目標的阻尼器同步優化問題。

關鍵詞 結構減震設計; 雙目標同步優化; 狀態空間法; 基因屬性保留; 阻尼器布置

引 言

目前的工程結構減震設計大多采用被動控制技術［1］ ，主要方法是在結構中布置適量的阻尼器，利用阻尼器變形消耗地震能量，降低結構的地震反應。隨著高層、大跨等復雜建筑的增多，阻尼器布置方案的選擇更加復雜，依賴工程經驗進行阻尼器布置往往不是最有效的方案，在阻尼器優化布置問題上亟需一種高效、簡便的方法。

對此，國內外學者進行了大量的研究，總體上可分為傳統優化和智能優化兩類算法。傳統優化算法包括一維搜索算法、順序優化方法、拓撲優化方法和權系數法等。Zhang和Soong［2］采用一維搜索算法，得到非均勻結構阻尼器的優化位置。順序優化方法的計算步驟較多、耗時較長，Shukla等［3］、林寧［4］采用此方法得出了每層布置不同數量阻尼器時的最優位置。拓撲優化方法中，陳茂杰［5］根據系統性能指標增量貢獻準則，實現了黏滯阻尼器數量和位置的優化。黃興淮等［6］采用權系數法對空間桁架結構進行阻尼器的優化布置；高超［7］改進了權系數法，實現了阻尼器的跨間布置。

在智能優化算法的研究中：閆維明等［8］運用魚群算法結合有限元軟件開發了一種針對偏心結構中位移型阻尼器布置的優化模型，有效控制結構位移比。Bekda?等［9］基于蝙蝠算法進行阻尼器優化時，考慮了土和結構的相互作用，更貼近工程實際。模擬退火方法是局部搜索算法的發展，能夠以一定的概率跳出局部極小點，Takewaki［10］利用此方法進行阻尼器優化布置。遺傳算法通過模擬自然進化過程搜索最優解，提供了一種求解復雜系統問題的通用框架，適用性更廣。王子龍等［11］基于能量原理提出阻尼系數的分配方式，通過算例驗證了在剪切型規則框架結構中此優化方法的附加總阻尼系數最小。Shin等［12］將目標函數定為總成本最小，采用二進制編碼優化防屈曲支撐的設計參數及數量。曲激婷等［13］在設置優化目標函數時兼顧基底剪力和層間位移的影響，對于不同的框架結構，分別給出權重系數的建議值。燕樂緯等［14］考慮到高層建筑各層阻尼器布置數量不同的問題，提出數字序列編碼遺傳算法，該算法能加速種群進化，進行復雜工程優化。

現有研究大多考慮阻尼器對結構單個地震響應目標的優化布置，往往可以取得該響應指標的最優值。然而，上述優化方案經常會出現其他響應指標偏大的情況，并不是真正意義上的最優方案。部分研究采用權重系數變換法，將子目標的線性加權和作為新的目標函數，以此間接考慮雙目標優化。但目標函數的構造形式難以統一、加權組合系數難以確定，即使通過試算算例歸納出經驗的加權組合系數，在面對復雜多樣的實際工程時也不一定適用，因此需要在優化過程中考慮多個性能目標的同步優化。

本文采用狀態空間方法對地震作用下布置線性阻尼器的減震系統進行統一描述，求解結構動力響應，采用基因屬性保留遺傳算法進行統一編碼，引入并列選擇法，實現兩個性能目標的阻尼器優化布置，即阻尼器雙目標同步優化算法（Double?objective Synchronization Optimization Algorithm for Dampers Based on Genetic Algorithm， 簡稱SODGA）。將此方法應用于多層及高層框架結構的減震優化分析中，進行線性黏滯阻尼器數量固定前提下的結構地震響應單目標、雙目標優化布置，驗證了SODGA算法在處理多個性能控制目標同步優化問題上的有效性，對實際工程中阻尼器的優化布置具有指導意義。

1 線型阻尼器減震系統狀態空間的統一表達與結構響應求解

1.1 結構的運動方程

地震作用下，布置阻尼器后結構的運動方程可以表示為：

式中 M為結構質量矩陣；C0為結構自身阻尼矩陣；K0為結構自身剛度矩陣；E為地面運動影響系數矩陣；f（t）為t時刻的地震激勵向量；u（t），u˙（t）和u¨（t）分別為t時刻相對于基礎，結構的位移、變形速度和變形加速度；Fi（t）為t時刻第i個阻尼器的阻尼力，通過轉換向量ri作用至結構；TOT為阻尼器的布置總數。

本文選用經典的線性黏滯阻尼器，第i個阻尼器的阻尼力表達式如下：

式中 c為阻尼器的阻尼系數；Δ˙i（t）為t時刻阻尼器的變形速度。

將式（2）代入式（1）可得：

由上式可知，當布置線性阻尼器時只改變原結構阻尼矩陣。

1.2 減震系統狀態空間表達及結構響應求解

將布置線型阻尼器后的結構視為一個減震系統，利用狀態空間方法，進行統一描述，表達如下：

由于矩陣A為非對稱陣，必須采用廣義模態分析法通過特征向量的正交性計算結構地震響應。設矩陣A的左、右特征向量分別為ψj和φj，μj為相應的特征值，j=1，2，…，2N。

由于自振振型為完備正交系，所以結構任何反應均可用振型的線性組合進行表示［1］，即：

式中 ξ（t）為模態坐標向量，Φ=[φ1φ2…? φj? …φ2N]。

把式（5）代入式（4）得：

等式兩邊同時乘以ψTj進行解耦：

對于給定地震激勵的結構可解出：

因此，結構動力響應向量可表示為：

或者：

其中，T為轉換矩陣，與動力響應有關。若R（t）表示結構絕對加速度，則T=[?M?1C? ? ?M?1K0]。

1.3 優化目標函數

本文中，結構的減震優化采用目標函數g（?）表示，其形式可以根據不同的優化要求進行設定。結合求出的結構動力響應向量R（t），目標函數可以表示為g[R（t）]。通過不斷調整阻尼器布置參數，得到性能函數的最小值ming[R（t）]，此時即為阻尼器的最優布置方案。

2 阻尼器雙目標同步優化的遺傳算法實現

2.1 阻尼器布置方案的編碼策略

遺傳算法通過借鑒自然選擇和遺傳機制，對染色體組成的種群進行隨機搜索，從而尋找出問題的最優解［15］，主要包括編碼、選擇、交叉和變異四個關鍵性操作。

大量的研究成果表明，染色體信息差異的有效性對進化效率有重大影響［16?20］，差異性越大進化效率越高。很多時候差異性不得不通過增加染色體長度，使之包含更多的信息來實現。而染色體增長勢必帶來計算效率下降，過長的染色體將導致計算時間過長。基因屬性保留通過對遺傳算法中的染色體進行處理，使基因位上的數字保持足夠的差異性，從而保證了進化效率［21］。相比于傳統染色體，基因屬性保留處理過的染色體還附帶不同的屬性特征，具有簡短而含義豐富的優點。馬豐寧等［22］利用基因屬性保留遺傳算法較好地解決了遺傳算法中經典的背包問題，證明了該方法的實用性。本文將基因屬性保留遺傳算法引入阻尼器優化問題，以進一步提高優化效率。

遺傳算法的第一步為編碼工作，該過程將阻尼器方案空間轉換到遺傳空間，從而將尋找阻尼器最優布置方案轉換成尋找最優染色體。本文采用浮點數編碼方法。

對于雙目標同步優化問題，染色體的每個基因位代表一個阻尼器，其基因值由該阻尼器布置的樓層n和阻尼器的類型t共同決定。染色體的長度，即基因的位數，與阻尼器的數量相等。每一條染色體對應了一種阻尼器布置方案。具體參數如表1所示。

本文的阻尼器類型為線性黏滯模型，t的大小為1，染色體的表達如下：

式中 i∈[1，TOT]，ndi∈[1，N]。

2.2 阻尼器雙目標同步優化步驟

在基因保留屬性的遺傳算法基礎上，引入并列選擇法，實現多個性能目標的阻尼器同步優化布置。此處以兩個目標為例，說明SODGA算法的基本步驟。

要求找出最佳的阻尼器布置位置，使性能函數1的函數值最小，同時滿足性能函數2的函數值不大于期望值。遺傳參數設置如

優化流程如圖1所示。具體步驟如下：

Step1：生成初始種群。隨機產生NIND條染色體，作為初始種群。每條染色體代表一種可行的阻尼器布置方案，數字表達均符合式（11）。設置進化代數計數器gen=0。

Step2：劃分種群。考慮兩個性能目標函數，將種群均分為兩個子種群，子種群1對應目標函數1，子種群2對應目標函數2。

Step3：檢測評估染色體適應度。對子種群1的染色體進行適應度（目標函數值）評估。先根據每條染色體的變量信息以及目標函數1計算每條染色體對應的函數值g[R（t）]，從而得到目標性能函數1的函數值向量ObjV1；將ObjV1的元素值從小到大進行排序，同時給對應染色體分配0～2的適應度值，適應度值越接近0，對應染色體越差，被選中概率越低；適應度值越接近2，對應染色體越好，被選中概率越高。由此得到適應度1值向量FitnV1。對子種群2的染色體進行同樣的操作。

Step4：選擇下一代染色體，合并種群。對子種群1采用輪盤賭的方式選擇算子，并選擇適應度1值較大的GGAP×NIND/2條染色體進入臨時子種群1。同理，選出臨時子種群2。將子種群1與子種群2合并為臨時種群。

Step5：染色體間進行交叉重組。采用單點交叉算子，隨機選取臨時種群的染色體進行兩兩配對交叉，重組產生新的染色體，將新染色體隨機選擇并補充進新一代種群，保證新一代種群大小仍為NIND。

Step6：染色體變異。每條染色體以一定概率進行基因位變異，最終形成新的下一代種群。

Step7：對新一代種群進行精英保持操作。重復Step2～Step3操作，對新一代種群進行染色體適應度評估，找出子種群2中滿足目標性能2值≤期望值，且對應目標性能1值最小的染色體，若該染色體的目標性能1值大于上一代最優染色體的目標性能1值，則將上一代最優染色體替換當前種群中目標性能1值最大的染色體，以保證歷代種群出現過的最優染色體不被淘汰。

Step8：循環執行Step2～Step7步驟，每執行一次，gen=gen+1，當總代數gen>MAXGEN時，以當前種群中滿足目標性能2值≤期望值，且對應目標性能1值最小的染色體作為最優解輸出，終止運算。

3 阻尼器雙目標同步減震優化算例分析

本文分別選取經典參考文獻中多層和高層框架2個典型模型，分別依據原文獻的優化目標，選用不同的主目標函數和輔目標函數，進行SODGA單目標和雙目標的減震優化算例分析，以檢驗SODGA算法在同步處理多個性能目標優化問題上的有效性。

3.1 6層框架減震優化

1997年，Takewaki［10］對6層平面剪切框架進行減震優化設計，該模型各層質量和剛度均勻，分別為0.8×105 kg和4×107 N/m。地震波為El Centro波，峰值加速度6.87 m/s2。阻尼器類型采用線性黏滯模型，阻尼總量為9×106 N·s/m。

文獻［10］中阻尼器布置方案的優化目標為：在附加阻尼總量固定的前提下，使結構系統的層間位移傳遞函數幅值之和最小。該6層框架為僅有6個自由度的理論性模型，所以可以將優化目標理解為盡可能保證每一樓層的層位移最小。

參考文獻［10］方案以及本文SODGA單目標、雙目標方案的阻尼布置情況如表3所示。

圖2和3分別給出了未設置阻尼器的原結構、文獻［10］減震方案、SODGA單目標減震方案、SODGA雙目標減震方案的各樓層最大位移和最大加速度。圖2表明，三種減震方案得到的樓層最大位移十分接近，均取得了良好的主目標（層位移）減震控制效果。

根據圖3的加速度響應對比發現，SODGA雙目標方案的各樓層最大加速度最小，單目標方案次之，文獻［10］方案未專門考慮加速度控制因而響應最大。從頂層看，該樓層最大加速度高于其他樓層，原結構的頂層最大加速度為10.67 m/s2，經過阻尼器優化布置后，SODGA雙目標方案為6.15 m/s2，SODGA單目標方案為6.24 m/s2，文獻［10］方案為6.93 m/s2，分別比原結構減小了4.52 ，4.43和3.74 m/s2。從各樓層看，SODGA雙目標方案的各樓層最大加速度比SODGA單目標方案減小了0.08～0.22 m/s2，比文獻［10］方案減小了0.54～1.52 m/s2，比未設置阻尼器的原結構減小了1.34～4.52 m/s2。

表4顯示了按照文獻［10］方案、SODGA單目標方案、SODGA雙目標方案布置阻尼器后目標函數的優化效果。SODGA單目標方案、SODGA雙目標方案均取得了和文獻［10］方案相同的主目標（層位移）減震效果，方案差距可以忽略。但是，SODGA方案顯著提高了輔目標g2（樓層最大加速度）的優化效果，與文獻［10］方案相比單目標方案和雙目標方案分別將優化率提高了8.55%和10.22%。

對于結構剛度質量均勻的6層框架，采用SODGA算法可同時提高主目標函數g1和輔目標函數g2的優化效果，對輔目標的提升效果非常明顯。與單目標方案相比，在主目標優化效果接近的前提下，雙目標方案可以更好地優化輔目標，為當下最優方案。

3.2 20層框架減震優化

本文高層減震框架結構對比算例選取文獻［14］的20層Benchmark鋼框架，該模型的質量和剛度不均勻，具體數值如表5所示。

文獻［14］基于序列編碼遺傳算法，以結構樓層峰值加速度為優化目標，在7度多遇地震加速度時程作用下，對模型進行阻尼器的優化布置。地震波選用El Centro波，地面加速度峰值為0.55 m/s2。阻尼器類型為線性模型，阻尼總量為1050×106 N·s/m。

與此相對應，本文將高層減震結構算例的主目標函數形式設定為：g3=amax/a0max，輔目標函數設定為：g4=umax/u0max。其中，a0max表示原結構的峰值加速度，amax表示布置阻尼器后結構的峰值加速度。u0max表示原結構峰值位移，umax表示布置阻尼器后結構峰值位移。SODGA單目標方案僅考慮優化主函數g3，雙目標方案要求在滿足輔函數性能值g4不大于原結構60%的前提下，對主函數進行優化。

表6顯示了文獻［14］方案以及SODGA單目標、SODGA雙目標方案的阻尼布置情況。

表7顯示了未設置阻尼器的原結構、文獻［14］方案、SODGA單目標方案、SODGA雙目標方案的結構峰值加速度和主目標函數g3的優化效果。與原結構相比，布置阻尼器后三種方案均顯著降低了結構的峰值加速度。與文獻［14］方案相比，采用SODGA算法進行單目標和雙目標減震優化后，結構峰值加速度由0.4775 m/s2分別減小為0.3247和0.3298 m/s2，主目標g3優化率由18.11%分別提升至44.31%和43.44%。

表8顯示了原結構、文獻［14］方案以及SODGA單目標、SODGA雙目標方案的結構峰值位移和輔目標函數g4的優化效果。與原結構相比，布置阻尼器后，三種方案均有效降低了結構的峰值位移。SODGA單目標方案下的樓層位移峰值超過了文獻［14］方案，而雙目標方案依然可以繼續減小峰值位移，將輔目標g4的優化率從39.15%提升至41.27%。

對于結構剛度和質量不均勻的20層框架， SODGA雙目標方案相對于文獻［14］方案，可以在主目標（樓層峰值加速度）、輔目標（樓層峰值位移）兩方面同時取得更好的目標優化率，結構總體減震效果更佳。

4 結 論

隨著建筑功能需求的多樣化，在減震設計中僅考慮單種地震響應目標進行阻尼器最優布置已經無法滿足所有需求。本文在遺傳算法基礎上，進行兩個性能目標的并列選擇，實現了雙目標同步優化。通過數學推導和工程算例對比分析，得到：

（1）采用狀態空間法推導地震作用下線性黏滯阻尼減震系統的運動方程，求解結構彈性階段地震響應，在基因屬性保留遺傳算法中引入并列選擇法，提出阻尼器雙目標同步優化算法（SODGA），可以實現線性黏滯阻尼器針對兩個結構性能目標同步優化布置，更加貼近工程實際，可操作性強。

（2）通過和參考文獻［10，14］對比，對設定不同主目標、輔目標函數的多層和高層減震優化算例的分析表明，若僅考慮主目標的優化效果，采用SODGA算法的單目標方案相對更優。若綜合考慮主、輔目標函數，雙目標方案下結構的整體減震效果更佳。驗證了SODGA算法在多層及高層結構減震的阻尼器布置中處理多個性能目標同步優化問題上的有效性。

（3）本文提出的SODGA方法是在遺傳算法基礎上的改進，可同步優化多個性能目標，將在高層阻尼器優化問題中發揮一定的作用。但限于遺傳算法需要通過染色體進化進行尋優，SODGA方法的尋優時間將隨著結構復雜程度的提高以及阻尼器數量的增加而增加。后續研究可圍繞加快算法收斂速度，在較少的進化代數內得到全局最優解展開。

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Research on double-objective synchronous optimization distribution of linear viscous dampers for frame structures

ZHOU Yu-xian WANG Shu-guang

College of Civil Engineering， Nanjing Tech University， Nanjing 211816， China

Abstract In structural damping design， it is a crucial issue to find the best arrangement of dampers to maximize the damping effect. At present， most of the damper distribution schemes can better meet the control objective of single response index， such as story displacement or floor acceleration. However， there is still a lack in coordinating and optimizing multiple performance objectives. In this paper， the damping system with linear viscous dampers under seismic action is derived by state space description method. The structural dynamic responses are solved. The gene-reserved genetic algorithm is used to encode the damping system. And the parallel selection method is introduced to deal with the two performance objectives， which can achieve the double-objective synchronous optimal placement of dampers. Compared with the existing literatures of multi-story and high-rise frame damper distribution optimization scheme， the double-objective synchronous optimization method can improve the damping effect of original structure response target， such as story displacement. At the same time， the damping effect of other response can be significantly improved， such as floor acceleration. The damping structure has more superior comprehensive structural performance. Therefore， the double-objective synchronous optimization method can effectively deal with the double-objective optimization problem for dampers. It has high practical value.

Keywords structural damping design; double-objective synchronous optimization; state space method; gene attribute retention; damper distribution