紙張對折的計算

陳新龍

一張紙可以對折多少次呢？是否可以無限對折下去？相信很多同學可能都會有這樣的疑惑，其實早在2011 年，美國得克薩斯州圣馬克中學的師生們將一張近4 公里長的廁紙對折了13次，為完成實驗，他們把場地定在了麻省理工大學200多米長的走廊里，經過四個多小時對折13 次后，廁紙達到了8192 層。

紙張是有厚度的，在折疊一定次數后，紙的厚度會超過寬度，這時紙張就無法繼續折疊了。每次對半折疊使得紙的厚度加倍，所以厚度為t 的一張紙折疊n 次的厚度是2nt。與此同時，每折疊兩次都會使寬度減半，因此，n 次折疊后，寬度從原來的w減少到（1/2）^（n/2）w。當紙的總厚度等于它的寬度時，就不能再折疊。實際生活中，一張A4 紙在對折6 次以后就難以繼續對折了。

假設有一張無限大且可以無限折疊的紙，通過數學計算來分析這張紙對折以后的厚度變化。紙張厚度為0.1 毫米，對折一次以后厚度0.2 毫米，對折兩次0.4 毫米。由于紙張厚度較小，要對折15 次才能突破3 米。但是隨著對折次數的增加，厚度增加的速度也變得越來越快，對折20 次厚度超過100 米。到27 次時超過13000 米，輕松超越了珠穆朗瑪峰的高度。達到37 次時達到13742 千米，這就超過了地球的直徑。一張紙經過不斷的對折，就能夠突破人類已知宇宙的邊界，這就是指數爆炸的魔力。

下面通過Scratch 來模擬紙張對折的數據，看看需要對折多少次可以超過地月的距離38 萬千米。

為了能夠更加直觀地查看統計，創建三個列表，分別是“對折的次數”“紙張的厚度”“對折后的高度”。每對折一次，對折次數加1，紙張的厚度翻倍（2^n）。假設紙張的高度為0.1毫米=0.0001米，那么對折的高度也就是紙張的厚度乘0.1毫米。第一次對折，高度為0.0002，第二次對折，高度為0.0004，第三次對折，高度為0.0008，在對折15 次后，紙張的高度可以達到3 米以上了，如果可以對折42 次，其高度近似等于43 萬千米，就可以到達月球了（如圖1）。

設置三個變量用于存儲對折次數、紙張厚度，以及對折后的高度，并賦予初始值，當程序開始運行后，首先是刪除三個列表中的所有數據，其次詢問用戶想達到的高度（單位是米），然后程序進入重復循環的過程，直到對折后的高度超出了用戶輸入的高度結束循環。在循環過程中，會依次向三個列表中逐行添加數據，對折次數逐步遞增（1，2，3，4，5……），紙張厚度是成倍數遞增（2，4，8，16，32，2^n）。

Scratch 中不能直接表示2^n，要借用e^ 和in 轉換一下（如圖2）。

大家可以回憶一下棋盤麥子、漢諾塔等，在算法上有哪些相似的地方。