一道2022年重慶預(yù)賽試題引發(fā)的探究與思考*

閆 偉

(廣東省中山市煙洲中學(xué) 528401)

1 試題及分析

題目(2022年重慶預(yù)賽)設(shè)F是雙曲線Γ:x2-y2=1的左焦點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)F的直線與Γ相交于M,N兩點(diǎn)．

(1)若M,N都在雙曲線的左支上,求△OMN面積的最小值.

分析試題背景平和,內(nèi)涵深刻,知識(shí)層面主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形的面積以及定值定點(diǎn)問題,是解析幾何模塊的常見題目．重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題,側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)．試題分兩問,思維難度適中,但運(yùn)算量較大,需要借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行變形使用,對(duì)學(xué)生的能力要求較高,較好地體現(xiàn)了對(duì)直線與圓錐曲線的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查[1]．

2 解法及評(píng)析

評(píng)析試題兩問較為常規(guī),第(1)題先聯(lián)立直線與雙曲線方程,結(jié)合韋達(dá)定理表示相應(yīng)的線段長(zhǎng)度和距離,進(jìn)而得到面積的表達(dá)式,再利用函數(shù)的性質(zhì)求得最值;第(2)題利用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積,結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行變形,再根據(jù)系數(shù)比確定數(shù)量積的定值,從而求得定點(diǎn)坐標(biāo),解題思路較常見,只是運(yùn)算量較大,要求學(xué)生具備扎實(shí)的運(yùn)算推理能力．

3 探究推廣

將左焦點(diǎn)改為x軸上任意一點(diǎn),結(jié)論1可以進(jìn)一步推廣為:

將點(diǎn)F改為y軸上任意一點(diǎn),類比結(jié)論2可得到:

結(jié)論3的證明與結(jié)論2類似,過程略．

4 類比探究

將結(jié)論2、結(jié)論3引申到橢圓中得到:

結(jié)論4、結(jié)論5的證明與結(jié)論2相仿,此處不再一一贅述．下面對(duì)拋物線進(jìn)行探究,可得:

5 結(jié)束語

解析幾何專題中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是競(jìng)賽和高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),很多試題都是探求一些特殊定值定點(diǎn)問題,這些結(jié)論看似特殊,實(shí)則都具普遍性,而且常常具有深刻的命題背景,它們通常是圓錐曲線的一個(gè)特定性質(zhì),由這個(gè)性質(zhì)可以派生出形式不同但本質(zhì)相同的試題.研究這類試題不僅能夠更好地揭示解析幾何的本質(zhì),還能透過試題挖掘隱含的命題規(guī)律,更能將其推廣到一般情況,從而拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]．