兩道高三模擬試題的命題手法剖析

何 燈 葉誠理

(福建省福清第三中學(xué) 350315) (福建省福清第一中學(xué) 350300)

網(wǎng)傳,數(shù)學(xué)解題有五重境界,從低階到高階分別是:正確解題、一題多解、多題一解、發(fā)現(xiàn)定理、自己編題.誠然,不是所有的人都具備編題的能力,但是,鉆研他人命制的試題,探究其命題規(guī)律,遵循規(guī)律進(jìn)行試題的再命制,不失為快速提升自身審題、解題、變題、教題、說題、命題能力的一個行之有效的途徑.

受到文[1]啟發(fā),本文探究近期出現(xiàn)的兩道高三質(zhì)檢試題,先從解法出發(fā)探究試題的命題規(guī)律,再借助此手法,實現(xiàn)試題的再命制.筆者只是旁觀成題,對命題者命題過程作了思考、揣測、推演、模仿,可能并非命題者的真正命題意圖,因而文中所述僅供讀者參考.

1 試題解法分析

題1(福建省部分學(xué)校2022—2023學(xué)年高三12月大聯(lián)考第22題)已知函數(shù)f(x)=x2e2x.

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥2ax+2lnx+1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

(1)若a<0,討論f(x)的單調(diào)性;

評析上述兩道試題中問題(2)的求解,均是將恒成立的不等式等價變形為含p(x)- lnp(x)的形式,再借助不等式p(x)- lnp(x)-1≥0,將不等式恒成立這一條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)a的一個不等關(guān)系,最終求得參數(shù)a的取值范圍.

2 命題思路剖析

通過上述兩道試題求解的逆向推演,不難管窺命題者的命題手法.筆者將其整理為如下5個步驟.

步驟一(選取不等式模型) 選擇一個較為簡潔的含ex或lnx的不等式,使其能夠取等成立(如:x-1-lnx≥0,x-elnx≥0,ex-1-x≥0,ex-ex≥0等).題1和題2選取的不等式模型是x-1-lnx≥0.

步驟二(確定代換函數(shù)模型) 在步驟一的基礎(chǔ)上,將不等式中的變量x替換為某個函數(shù)模型(若步驟一中選取的是含ex的不等式,則可以嘗試選取xm±lnxn,a(xm±lnxn)等;若步驟一中選取的是含lnx的不等式,則可以嘗試選取xmenx,axmenx(a>0)等),記得到的不等式為F(x)≥0.題1中選取的代換函數(shù)模型是x2e2x,得到F(x)=x2e2x-ln(x2e2x)-1;題2中選取的代換函數(shù)模型是axex,得到F(x)=axex-ln(axex)-1.

步驟五(進(jìn)行合理設(shè)問) 為了體現(xiàn)題目的梯度,讓不同層次的學(xué)生都能充分發(fā)揮出自己的水平,試題的第一問應(yīng)當(dāng)盡量淺顯(可以討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性、極值、最值、切線等,同時為第二問的解答提供臺階,埋下伏筆).第二問研究關(guān)于x的不等式f(x)≥f(x)+G(x)-F(x)(或取“>”)或f(x)≤f(x)+F(x)-G(x)(或取“<”)恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.題1中問題(1)研究f(x)的極值,同時其單調(diào)性的確定為問題(2)的求解埋下伏筆,問題(2)研究不等式f(x)≥f(x)+G(x)-F(x)(即F(x)≥G(x))恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.題2中問題(1)研究f(x)的單調(diào)性,問題(2)研究不等式f(x)G(x))恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.

3 新題命制賞析

本環(huán)節(jié),筆者遵循上述五個步驟,嘗試命制兩道相關(guān)試題,以使讀者對該類試題的命題流程獲得更深入的理解.

命題1步驟一(選取不等式模型) 選取x-elnx≥0.

命題1步驟二(確定代換函數(shù)模型) 將x-elnx≥0中的x替換為axe2x,得到axe2x-eln(axe2x)≥0,令F(x)=axe2x-eln(axe2x)=axe2x-eln(ax)-2ex.

命題1步驟三(構(gòu)造含參函數(shù)模型) 選取G(x)=(a-2e)x.

命題1步驟四(選定題設(shè)函數(shù)模型) 將不等式axe2x-eln(ax)-2ex≥(a-2e)x化簡, 得到xe2xa-eln(ax)≥ax,取f(x)=ax-eln(ax).

命題1步驟五(進(jìn)行合理設(shè)問) 為了滲透分類與整合的數(shù)學(xué)思想,同時給問題(2)的求解埋下伏筆,筆者意圖將不等式x-elnx≥0內(nèi)含到問題(1)中,故設(shè)定問題(1)為:討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.由f(x)≥f(x)+G(x)-F(x),得f(x)≥ax(2-e2x),故設(shè)定問題(2)為:若 ?x∈(0,+∞),f(x)≥ax(2-e2x),求實數(shù)a的取值范圍.

綜合上述命制過程,得到如下新題.

題3已知函數(shù)f(x)=ax-eln(ax).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若?x∈(0,+∞),f(x)≥ax(2-e2x),求實數(shù)a的取值范圍.

命題2步驟一(選取不等式模型) 選取ex-1-x≥0.

命題2步驟二(確定代換函數(shù)模型) 將ex-1-x≥0中的x替換為2x+lnx,得到e2x+ln x-1-2x-lnx≥0,令F(x)=e2x+ln x-1-2x- lnx=xe2x-1-2x-lnx.

命題2步驟三(構(gòu)造含參函數(shù)模型) 選取G(x)=(a-2)x.

命題2步驟四(選定題設(shè)函數(shù)模型) 將不等式xe2x-1-2x-lnx>(a-2)x化簡,得到xe2x-ax-lnx-1>0,取f(x)=ax-lnx+1.

命題2步驟五(進(jìn)行合理設(shè)問) 筆者意圖將不等式x-lnx-1≥0內(nèi)含到問題(1)中,故設(shè)定問題(1)為:求函數(shù)f(x)的極值.由f(x)

綜合上述過程,得到如下新題.

題4已知函數(shù)f(x)=ax-lnx+1.

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)

限于篇幅,題3和題4的詳細(xì)求解過程此處從略,有興趣的讀者可自行研究.

4 思考與感悟

本文通過深耕兩道試題,開啟了一段試題命制探究之旅,將試卷上“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”.這種基于探究策略的試題研究,對數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)的提升有極大的裨益.同時,學(xué)生通過對試題的研磨,經(jīng)歷對各種解答策略的比較、各類函數(shù)模型之間的結(jié)構(gòu)與關(guān)系的抽象、各數(shù)值之間的分析與比較、算理與算法的甄別、數(shù)學(xué)軟件與多媒體的動態(tài)演示等,有助于形成理性思維,樹立科學(xué)精神與態(tài)度,從而促進(jìn)智力發(fā)展,發(fā)展核心素養(yǎng).