教材中定義新數試題素材新探
——基于6 174黑洞數的試題編制

張 豪 張維忠

(浙江師范大學教育學院 321004)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》強調試題命制不僅要堅持素養立意,凸顯育人導向,注重應用性、探究性和綜合性試題的編制,更重要的是需要設置合理問題考查學生的思維過程,讓學生經歷數學學習的運用和實踐探究質疑的經驗積累過程[1]．縱觀近幾年全國各地中考試題,新定義試題憑借背景新穎、解法多元、考查深入等特點逐漸成為中考的熱門題型．其中,定義新數這一類型的試題以初中核心知識為載體,以新概念作為思維的出發點、增長點與突破點,以基本思想為手段,以數學思考為導引,對于觸動學生深層思維思考至關重要[2]．但定義新數試題究竟新在何處,如何才能觸動學生深層思考?

1 定義新數試題觸動深層思考的關鍵:合適的問題梯度與合理的開放空間

在數學課程中,學生往往被期待要領會比教材本身更多的數學．推理訓練這一途徑通過學生接觸并解決難度日益增加的問題能夠達到這一目標．事實上,定義新數試題恰源于教材又高于教材,意在通過類比、引申或拓展給出新數概念,讓學生通過閱讀理解明晰定義本質從而解決難度日益增加的問題,深度考查學生概括、思辨等推理能力[3]．

2013年成都中考的本位數、2017年長沙中考的和諧數、2020年常州中考的特征數……隨著近年來數學中考定義新數試題的不斷涌現和命題探索,定義新數試題不僅素材逐漸豐富,而且在推動學生對試題進行深度思考方面不斷深入．這些學生不熟知的情景是新穎、公平且具有挑戰性的,需要學生深入理解定義并挖掘關鍵條件和本質,旨在讓學生通過推理解決問題,引發深度思考．然而部分定義新數試題依舊停留在依葫蘆畫瓢的表面應用,究其原因在于缺乏合適的問題梯度與合理的開放空間,沒有觸及新數被定義背后蘊含的數學思想方法,難以觸動學生深層的理性思考．

例1(2019年重慶數學中考第22題)現在我們來研究一種特殊的自然數——“純數”．定義:對于自然數n,在計算n+(n+1)+(n+2)時,各數位都不產生進位,則稱這個自然數n為“純數”．

(1)判斷2 019和2 020是否是“純數”,請說明理由;

(2)求不大于100的“純數”的個數．

從(1)(2)兩問的解決過程入手可以發現,被創造出來的純數的定義只是為了讓學生依據性質進行計算的套用,做題方向明確且不會給學生帶來思維切入的束手無策,屬于定義新數試題思維開放空間不夠深入的一個實例．但若我們針對第(2)問進行改編,將問題設置改為“列出不大于100的純數,簡述一下你是如何快速判斷這些數是純數的”,就將題目原本依葫蘆畫瓢的重心轉移到了如何判斷100之內的數為純數的思想方法角度上來,尤其是題目中簡述的要求大大增加了題目的開放性,促使學生對本題進行思維層面的深度思考．

例2若一個正整數能表示為兩個正整數的平方差,則稱這個正整數為“智慧數”．如3=22-12,7=42-32,8=32-12,因此3,7,8都是智慧數．

(1)18智慧數,2 017智慧數.(填“是”或者“不是”)

(2)除1外的正奇數一定是智慧數嗎?說明理由．

從(1)(2)兩問的設置來看,對2 017是否為智慧數的判斷,其實是除1外的正奇數一定是智慧數的一種特例．但是對學生來講,直接從定義的角度猜想2 017是不是兩個正整數的平方差、是哪兩個正整數的平方差太具挑戰性．若是先將第(2)小問提前,則更能引導學生用已知的完全平方公式(n+1)2=n2+2n+1去表示2n+1這一奇數通項,去確定除1外的正奇數一定是智慧數,但這也就缺少了一個特殊的正奇數為智慧數的直觀實例感受．由此可見,定義新數試題需設置合適的問題梯度,為學生挖掘新數背后的數學思想方法提供良好工具,避免學生無所適從．

例3(1990年北京市競賽卷)一個非零自然數若能表示為兩個非零自然數的平方差,則稱這個自然數為“智慧數”,比如16=52-32,故16是一個“智慧數”．在自然數列中,從1開始起,第 1 990個“智慧數”是.

例3通過“第1 990個智慧數是什么”的提問設置了極大的開放空間,蘊含分類討論的數學思想,旨在讓學生摸透智慧數的定義本質．突破本題的關鍵在于明確如何在自然數列中選擇數成為智慧數．結合定義我們可以發現判斷一個數是否為智慧數,關鍵在于這個數能否寫成兩個非零自然數的和與差的乘積的形式,抓牢(n+1)2-n2=2n+1,(n+1)2-(n-1)2=4n這些特殊的平方計算公式,不難發現每個大于1的奇數和每個大于4且是4的倍數的偶數都是智慧數．基于此,從奇數智慧數與偶數智慧數的特征入手,就可以求得第1 990個智慧數．

結合例2、例3來看,對于智慧數問題的編制,1990年北京市競賽卷更加能觸動學生的深層思考,但要求學生直接從奇數與偶數中確定智慧數的特征太具挑戰性．如若站在“除1外的正奇數一定是智慧數嗎?說明理由”的開放性問題基礎上設置新的問題階梯,則可更快、更準確地觸動學生思維．將例3的問題設置改為:

(1)除1外的正奇數一定是智慧數嗎?說明理由．

(2)在自然數列中,從1開始起,第1 990個“智慧數”是.

(3)在自然數列中,從1開始起,第k個“智慧數”是.

這樣的編制不僅保留了例2中的開放性問題的啟發作用,更是在正奇數的規律展示后,將例3求第1 990個智慧數的思維方法一般化,要求學生更深層次地回歸本質理解該題,更能觸動學生思維的活躍性．

綜上可見,設置合適的問題梯度、合理的開放空間對促進定義新數試題更好地觸動學生的深層思維、展現試題的育人功能至關重要．

2 一道定義新數試題實例編制構思:新探課本素材和挖掘思想方法

定義新數試題雖然呈現了新的形式和概念,但是透過概念本質發現其仍舊是與教材上的知識密切關聯的,比如智慧數的概念就與平方公式息息相關．那么教材在介紹有理數、實數這些與數有關的章節知識時,是否早已暗藏了一些“新數”的影子?由此,筆者再次回歸教材重新探尋課本素材并深入挖掘思想方法,以下呈現一道定義新數試題的編制的心路歷程．

·新探課本素材

北師大版七年級上冊數學教材在第二章《有理數及其運算》習題2.17問題解決部分有這樣一道題:寫出一個四位數,它的各個數位上的數字都不相等(如6 731)．用這個四位數各個數位上的數字組成一個最大數和一個最小數,并用最大數減去最小數,得到一個新四位數．對于得到的新四位數,重復上面的過程,又得到一個新四位數．一直重復下去,你發現了什么?請借助計算器幫助你進行探索．

浙江教育出版社《數學作業本(七年級上)》(2021年版)第18頁第7題也類似地讓學生利用計算器,按照流程圖(圖1)操作并猜想規律．

圖1

這兩道題都意在讓學生利用計算器來驗證一個特殊的性質:任意數字不全相等的四位數,經過“由這四位數的四個位數的數字組成最大數減去最小數的差”的反復運算,在有限步(7步)之內必得出6 174,隨后運算結果均為6 174．這個神奇的數最早由印度數學家卡普雷卡爾發現,也曾被稱作馬丁猜想．但僅僅利用計算器進行驗算并不能在習題所呈現的思想方法層面進行深度挖掘,究竟為何各數位不全相等的四位數會掉入6 174的循環陷阱這一問題背后的思想方法才是寶藏與精華所在,這為圍繞6 174這一循環的“黑洞數”進行試題編制、觸動初中學生深層數學思維提供了極大空間與可能．

·挖掘思想方法

由于這個問題僅涉及9 990個四位數(包括有0在千位的情況)[4],顯然可以借助技術手段通過枚舉的方法驗證這個猜想,但這就缺少了這道題用于啟發學生思維的靈魂所在．那么不借助技術手段,可以通過哪些方法直接將其背后所蘊含的數學思想方法傳遞給初中生?結合已有研究,可以采取以下兩種方法突破:

方法1 蔣榮清[4]將組成這個四位數的四個數字設為a,b,c,d,且a≥b≥c≥d(a,b,c,d不全相同),則經過一次運算得到的新四位數k1=1 000a+100b+10c+d-1 000d-100c-10b-a=999(a-d)+90(b-c)的取值僅與(a-d),(b-c)的取值有關,共有54個．在這54個四位數中,又有一部分數在組成四位數的數字上相同,可歸為同類數．因此只需對剩下的30個同類數進行逐一驗證即可．

可見,對于6 174黑洞數的發現和證明方法蘊含著寶貴的思想財富,倘若能將其轉化為定義新數試題,通過設置合適的問題梯度與合理的開放空間讓學生進行自主探索,則學生在思維方面將受益無窮．

3 黑洞數的試題編制及其教學思考:融會思想方法和觸動深層思考

編題16 174這一神奇的四位數被稱為“黑洞數”,因為對于任意一個各個數位上的數字不全相等的四位數,我們將這個四位數各個數位上的數字組成一個最大數減去它們組成的一個最小數,得到一個新的四位數,再重復這個步驟,總能在7次運算之內得到6 174．

(1)用6 174,6 731,8 964這三個四位數進行上述運算,分別需要幾次才能得到6 174?

(2)我們將組成任意一個四位數的四個數字設為a,b,c,d,且a≥b≥c≥d(a,b,c,d不全相同),觀察發現進行一次運算后得到的新四位數的取值與a,b,c,d存在什么聯系,有幾種取值可能?

(3)在(2)的基礎上,經過一次運算得到的這幾種四位數在數的組成上存在什么共同特點?談談你的發現．

編題1的設問意在將蔣榮清對黑洞數證明的思想方法巧妙地融入試題讓學生進行探究．首先,第(1)問旨在讓學生經過實踐,發現6 174經過1步運算即陷入循環,6 731,8 964則分別經過3步、7步陷入循環,讓學生直觀感受到6 174黑洞數的神奇．第(2)問在題干部分先完成對四位數的設元,旨在讓學生從一般結構入手探究6 174為何能成為黑洞數,“得到的新四位數的取值與a,b,c,d存在什么聯系”的詢問意在讓學生發現新四位數的取值僅與(a-d),(b-c)的取值有關,從而確定對9 990個四位數的黑洞性質研究只需轉化為對54個特殊的四位數的研究．第(3)問則留下了更大的思考空間,通過詢問經過一次運算后所得四位數的組成特點,旨在讓學生發現第(2)問轉化的54個特殊四位數研究的“同類性”——即在數位組成上4個數相同的四位數,再經過一次運算后得到的四位數相同．

從整個題目上看,小題設置上讓學生先經過運算切身體驗黑洞數的循環性,再從一般的代數角度設元思考,然后讓學生總結發現四位數的運算規律,深度考查設元、分類、歸納等思想．教師針對此題進行教學時,不僅可以讓學生直觀感受數學中考定義新數難題的課本來源及其變形過程,強調其本質——思想方法的內核,還能通過僅用30個同類數完成替代9 990個四位數的證明,達到潛移默化傳遞數學簡潔美、形式美的效果．

編題2對于任意一個各個數位上的數字都不相等的四位數,我們用這個四位數各個數位上的數字組成一個最大數減去它們組成的一個最小數,得到一個新的四位數,重復這個步驟,若能在有限次運算之內得到一個重復循環出現的四位數,就把這個神奇的四位數稱為“黑洞數”,那么黑洞數有幾個?具體數值又是多少呢?

編題2的設問將孫傳龍等對于黑洞數猜想的代換思想首先進行簡單的闡述,再靈活地融入試題讓學生進行探究．題干講清楚了尋找黑洞數的初等數學方法,保留了開放空間讓學生自行尋找并驗證a-d,b-c-1,10+c-1-b,10+d-a與a,b,c,d分別相等的多種可能性,留下了足夠的探索空間讓學生去驗證當且僅當a-d=b,b-c-1=d,10+c-1-b=a,10+d-a=c時,黑洞數有唯一解,為6 174．

此題分類情況復雜,如何選取一個合適的分類標準并進行驗證對學生來說是一大難點,但解題方向十分明確,學生對分類情況的處理也能夠體現思維的深度．雖然這道題涉及四元一次方程組及其解法,屬超綱知識,但是站在消元的思想方法角度上,其本質與三元一次方程組一致,且未知數的系數均為±1,計算消元處理不難．教師可以將其作為三元一次方程組及其解法的拓展練習,在驗證消元水平能力的同時深度考查學生的分類討論思想應用能力．