一道習(xí)題引起的微探究教學(xué)*

郭立祥

(廣東省中山市實驗中學(xué) 528400)

1 問題的提出

高三一輪復(fù)習(xí)開展《向量的運算》單元教學(xué)時,筆者選擇下面這道習(xí)題作為例題:

圖1

2 基于習(xí)題的微探究教學(xué)

“微探究”是教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的一個知識點開展問題探究,在探究過程中組織、引導(dǎo)學(xué)生運用所掌握的基礎(chǔ)知識和基本技能,通過自我探究與合作交流的方式進行學(xué)習(xí).

2.1 微探究的情境創(chuàng)設(shè)

教學(xué)片斷1

師:如果向量a,b前面的系數(shù)不相同會出現(xiàn)什么結(jié)果?

生1:上次月考的數(shù)學(xué)試卷中有一道類似題目,具體如下:

師:數(shù)學(xué)遵循復(fù)雜問題簡單化,等號右邊的式子如何化簡?

師:很好!探究1在例題所考查的知識點的基礎(chǔ)上,增加正弦定理應(yīng)用,加大了難度.

教學(xué)過程反思 由于微探究的知識點出現(xiàn)在剛剛考過的月考試卷中,學(xué)生比較熟悉,且探究1的得分率比較低,學(xué)生也想搞清楚困擾自己解決問題的原因．從例題自然而然過渡到探究1,圍繞“向量模長變化對于點的軌跡影響”創(chuàng)設(shè)的情境使得學(xué)生容易進入微探究,在課堂中其參與的積極性比較高.

2.2 微探究的“切口”選擇

“切口”指面對需要解決的問題,選擇一個知識點作為開展微探究的切入口,強化對于重點知識的理解.一般情況下,這個知識點就是一節(jié)課的教學(xué)重點或難點.為了便于進行微探究,“切口”的選擇宜小不宜大,盡量選擇學(xué)生比較熟悉和容易接受的知識點.在研究例題和探究1以后,選擇“向量模長變化對于點的軌跡影響”作為本次微探究的“切口”.

教學(xué)片斷2

師:如果把探究1中向量a,b的系數(shù)去掉分母正弦值,那么問題變成:

為了方便開展微探究,將班級52名學(xué)生分成四個小組,小組內(nèi)部討論3分鐘以后,每一個小組都提交了結(jié)論,教師鑒定后選擇第一組的結(jié)論為最優(yōu)解,并由生3展示成果．

圖2

課堂內(nèi),生4提出以下疑問.

生4:在探究1中,等式右邊分母去掉模長,怎么辦?問題變成如下形式:

師:這個問題很好!同學(xué)們?nèi)匀灰孕〗M為單位開展研究,我們看看哪一組能夠給出完美的答案．

3分鐘以后,四個小組均提交了答案,教師逐個檢查后認(rèn)定第二組的答案最完美,于是展示其研究成果．

2.3 微探究的拓展性

進行到此的微探究都是在同一個平面內(nèi),對于不共線向量a,b的模長進行適當(dāng)變化,求點P的軌跡.如果在空間內(nèi)對于三個不共面向量a,b,c的模長進行適當(dāng)變化,如何求出點P的軌跡呢?

教學(xué)片斷3

師:如果把例題中的平面拓展到空間,問題變化成如下形式:

水動力控制修復(fù)法。該技術(shù)的應(yīng)用在有機污染修復(fù)中作用較強，核心應(yīng)用模式就是井群控制系統(tǒng)，促使其較好實現(xiàn)水力梯度的有效改變，能夠?qū)τ诘叵滤煌廴緦蛹壍男迯?fù)分離；該技術(shù)的應(yīng)用需要對于上游分水嶺和下游分水嶺進行較好的設(shè)計和控制，促使其形成較為理想的整體治理效果。（2）屏蔽法。對于地下水有機污染的修復(fù)，借助于屏蔽法較為適宜，其主要就是實現(xiàn)對于有機污染水源的封閉控制，首先針對污染源進行控制，避免其形成明顯的擴散威脅。

如何解決這個問題呢?大家仍然以小組為單位開展微探究,并給出本組的答案.

經(jīng)過教師評判,第三小組給出的答案最優(yōu).小組代表展示成果如下:

圖3

類比探究1～3中變化向量a,b,c的模長,其他條件不變,繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生去探究點P的軌跡.

師:三個不共面且互相垂直的向量a,b,c,只對其中一個向量的模長進行適當(dāng)變化,考慮到三個向量處于同等地位,不妨對向量a的模長進行變化,探究如下問題:

圖4

兩分鐘以后各組都完成了任務(wù),小組之間交叉評判,最終確定第四組的解答為最優(yōu)解,由小組長代表該組展示成果,結(jié)果見圖4,點P的軌跡為直線GF.

教師引導(dǎo)學(xué)生對a,b,c中任意兩個向量的模長進行變化,進一步探究點P的軌跡.

師:三個不共面且互相垂直的向量a,b,c中,對其中兩個向量的模長進行變化,同樣也考慮到三個向量a,b,c處于同等地位,不妨對向量a,b的模長進行變化,探究如下問題:

每個小組內(nèi)部討論了2分鐘以后,仍然沒有一個小組給出結(jié)果.

圖5

在本片斷的探究即將結(jié)束的時候,教師給出如下階段性總結(jié):

師:探究4～6涉及的問題是對于互相垂直,且不共面的三個向量a,b,c的模長進行變化,借助長方體這一載體,或者建立空間直角坐標(biāo)系來探究點P的軌跡.它們都是下列問題的特殊情況:

教學(xué)過程反思 對于一個問題展開的微探究,不一定都能夠解決,但是微探究過程本身也是一種收獲.從平面拓廣到空間的過程展示出微探究的魅力,其中探究6雖然沒有能夠根據(jù)已知條件得到點P的軌跡,但是在微探究過程中也找到了不能夠確定軌跡的原因以及解決問題的方法.與此同時,在解決探究6的時候,引入空間直角坐標(biāo)系,利用空間點的位置變化來判斷點P的軌跡,這種技巧與例題和探究1～5的解決方法不同,這也體現(xiàn)出微探究的價值.

3 對微探究教學(xué)的反思

著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出,讀書是一個從“由薄到厚”過渡到“由厚到薄”的過程.[1]同樣,高三一輪復(fù)習(xí)也是一個夯實基礎(chǔ)知識和基本技能的重要過程,一輪復(fù)習(xí)通常都是進行單元復(fù)習(xí),因此復(fù)習(xí)每一個單元知識的時候,應(yīng)盡可能理解到位,也就是平時的訓(xùn)練要“想多一點”,特別是應(yīng)用復(fù)習(xí)過的所謂“舊知識、舊技能”的時候.上述由一道習(xí)題引起的6個探究,所涉及的知識大部分都是一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)涉及的內(nèi)容,由淺入深地逐步展開微探究,以此訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用知識的綜合能力.在微探究過程中教師還要關(guān)注以下幾點:

3.1 微探究并不是浪費時間

在微探究過程中除了例題中應(yīng)用到的向量的平行四邊形法則之外,還應(yīng)用到單位向量、正弦定理、空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)變化等知識.另一方面,微探究過程涉及更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.在此過程中應(yīng)著力避免就題論題,陷入題海戰(zhàn)術(shù),讓學(xué)生參與知識的形成過程,提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力.

3.2 微探究注重數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

抽象思維和形象思維的交替訓(xùn)練有利于提高學(xué)生微探究的效率.例如,本節(jié)探究給出5個圖象,以便學(xué)生根據(jù)直觀圖象,運用抽象思維去解決問題,這就變得容易多了,同時也使得數(shù)形結(jié)合思想深深扎根于學(xué)生思維中,做到“能夠畫圖的盡量畫出圖形”,從而養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

3.3 微探究的問題設(shè)置

微探究過程中的問題設(shè)置既要考慮問題的梯度和系統(tǒng)性,還要考慮學(xué)生的整體一致與個體差異相結(jié)合.首先微探究涉及的所有問題都是對思維的逐步推進,整個探究過程追求思維過渡自然,跳躍度不能夠太大.其次還應(yīng)該考慮學(xué)情差異,每個學(xué)生都有自己的“最近發(fā)展區(qū)”,它是微探究維度設(shè)置的依據(jù).本節(jié)課緊緊圍繞“向量模長變化對于點的軌跡影響”,從平面過渡到空間的過程涉及從一個參數(shù)到多個參數(shù),從特殊到一般,循序漸進地進行微探究.

借助微探究將知識系統(tǒng)化是高三一輪復(fù)習(xí)的方向,教師應(yīng)始終把握微探究的引擎,由淺入深,引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)的知識和技能去解決實際問題.在進行微探究的過程中,可能會出現(xiàn)一些錯誤或者遇到無法解決的問題,但是能夠發(fā)現(xiàn)錯誤或者確定根據(jù)現(xiàn)有知識無法解決也是一種收獲,這是夯實基礎(chǔ)知識和基本技能的一個彌足珍貴的探索過程.正如愛因斯坦所說:“探索真理比占有真理更為可貴.”[2]微探究是提高學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑,也是一線“數(shù)學(xué)人”樂此不疲追求的價值體現(xiàn).