“一題一課”模式下對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的探索與實踐*

盧紅衛(wèi)

(江蘇省張家港市外國語學(xué)校 215600)

“一題一課”的主要目的是通過典型例題的解題研究、變式訓(xùn)練和反思總結(jié)的示范啟發(fā),引領(lǐng)學(xué)生從不同的視角去思考問題,鞏固和深化所學(xué)知識,訓(xùn)練學(xué)生的思維,讓學(xué)生掌握解決數(shù)學(xué)問題的策略方法,形成一定的解題技能,培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識與方法分析問題、解決問題的能力[1]．

1 聚焦深度學(xué)習(xí),精選試題

高中數(shù)學(xué)各種試題繁多,教師在課堂一講到底的灌輸型課堂教學(xué)模式已不適應(yīng)新課改的要求,而深度學(xué)習(xí)強調(diào)學(xué)生主動參與、內(nèi)化知識、遷移應(yīng)用、舉一反三、融會貫通．為了更好地實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué),教師應(yīng)當改善教學(xué)策略,精選試題,試題的選擇應(yīng)能強化數(shù)學(xué)知識的理解和數(shù)學(xué)思想方法的運用,達到解一題而會解一類題．以下是2023屆蘇州市高三上學(xué)期期中考試的壓軸題第22題,筆者結(jié)合班級學(xué)生答題情況,用一節(jié)課的時間與學(xué)生一起進行了探究．

題目已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-xlna,其中實數(shù)a>0．

(1)若實數(shù)a∈N*,當x∈(0,+∞)時,f(x)<0恒成立,求實數(shù)a的最小值;

2 剖析典型錯誤,探尋本質(zhì)

通過投影儀展示部分學(xué)生的解答過程,讓學(xué)生去解讀考試過程中的書寫過程,去尋找錯誤的原因,提出改進的辦法．

錯誤糾正

生:f′(x)=0有解只需要lna∈(0,1)即可,當lna<0時f′(x)>0,f′(x)=0無解;當lna>1時f′(x)<0,f′(x)=0無解．

師:因為已知當x∈(0,+∞)時f(x)<0恒成立,那么在lna的三種取值情況下,哪一種比較直觀、容易研究呢?

生:當lna<0時f′(x)>0,此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)>f(0)=0,這種情況舍去;當lna>1時f′(x)<0,f(x)在(0, +∞)上單調(diào)遞減,f(x)

師:完全正確,那就只有l(wèi)na>1,結(jié)合a∈N*,所以a=3．做好分類討論的同時我們對每種分類情況也要注意圖象特點,這樣就避免了一些不必要的復(fù)雜計算．

錯誤糾正

師:雖然處理恒成立問題時分離變量的方法我們很熟悉,但利用洛必達法則求最值我們不熟悉,能否避開洛必達法則呢?由題目已知條件,當x∈(0,+∞)時,f(x)=ln(1+x)-xlna<0恒成立,得到ln(1+x)

生:先考慮y=ln(1+x)在x=0處的切線y=x恒在y=xlna的下方或重合．因為x∈(0,+∞)時ln(1+x)

師:那a

生:因為a∈N*,只需要看看a=1,a=2時是否成立即可．

師:完全正確!當然在大題的解答過程中l(wèi)n(1+x)

點評教師不應(yīng)回避學(xué)生的典型錯誤,而是要從學(xué)生的認知角度出發(fā),對學(xué)生存在的疑惑進行針對性的解決．在典型錯誤剖析、糾正的同時,學(xué)生的解題能力也在同步提升,不同途徑的思維展示使學(xué)生真正將新知識納入到自己的認知系統(tǒng)中．

3 鼓勵提出問題,自致其用

通過對以上典型錯誤的分析與糾正,學(xué)生思考后又提出以下問題:

問題1 因為a∈N*,先做a=1,a=2時是否符合,再做a≥3時,由a≥3時f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,肯定符合,這樣的討論是不是更加簡單了?

問題2 是否可以必要性探路?當x=1時ln 2-lna<0成立,則a>2,a∈N*,因為此題要求a的最小值,所以只要驗證當a=3時是否符合就可以了．

全班學(xué)生對以上兩個問題進行了思考與討論,一致認為以上方案可行:

問題1注意到了a∈N*,分類討論變得簡單了;

問題2注意到了必要性探路,完全避開了分類討論．

點評在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)鼓勵學(xué)生提出自己的各種想法,然后大家一起探討問題的不同解決方法的優(yōu)劣,并進行方法歸納總結(jié),形成數(shù)學(xué)遷移能力,有助于以后解決新的問題．

4 引領(lǐng)多維思考,提升思維

問題1 做證明題常用的方法有哪些呢?很多同學(xué)會想到分析法,先等價變形,但如何進行等價變形呢?

問題2 此題的第(1)問導(dǎo)數(shù)恒成立問題對第(2)問的證明是否有幫助呢?

學(xué)生在教師的提示性問題下進行思考嘗試,最后給出了如下三個解題方案:

方案1分析法目標引領(lǐng)下進行取對數(shù)、換元、找中間量,轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式問題．

因為3m>em,而em>m+1(需補充證明),所以3m>m+1．

方案3從不等式左邊出發(fā),進行二項式展開,放大通項,朝著有利于求和的方向去化簡,還是比較容易達成目標的．

點評對于較難的問題,教師可以做適當?shù)膯l(fā)引領(lǐng)．課堂教學(xué)中教師的“教”應(yīng)與學(xué)生的“學(xué)”有機結(jié)合,教師的“教”并不是一講到底,而是需要合理設(shè)置問題,引領(lǐng)學(xué)生積極參與,主動理解、消化和運用所學(xué)知識．

5 注重拓展引申,觸類旁通

結(jié)合對以上問題的分析與講解,教師設(shè)計了一道與此題方法類似的拓展引申問題讓學(xué)生進行練習(xí),以鞏固解題的方法規(guī)律．

拓展引申 已知函數(shù)f(x)=ex+1-(lna)x-lna-1,實數(shù)a>0,若實數(shù)a∈N*,當x∈(-1,+∞)時,f(x)>0恒成立,求實數(shù)a的最大值．

要做好“一題一課”的教學(xué),需要教師在平時的教學(xué)中善于發(fā)現(xiàn)問題,總結(jié)方法,提煉規(guī)律.“一題一課”因目標明確,思維深刻,能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進一步深化理解和鞏固數(shù)學(xué)知識,提高“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、反思問題”的數(shù)學(xué)問題解決能力以及歸納、猜想、推理、證明的數(shù)學(xué)探究能力,促進良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的形成與發(fā)展,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．