注重過程 優化設計 指向素養
——以“球的體積”教學為例*

劉權華

(江蘇省南京市教育科學研究所 212002)

1 引言

數學教學的本質應是通過知識、技能、思想和方法的教學,最終指向學生核心素養的培育,因此要關注思維過程教學.如果不把知識和方法作為思維過程“暴露”在學生面前,而是作為結果拋給學生,那么這種“奉送”的做法,雖能節約課堂教學時間,短時間內效果可能較好,但回避了數學思想方法的經歷、體驗和感悟過程,很難形成一個完整的認知結構,學生所得到的知識很可能就是“殘知”“假知”或不是學生所想要的知識,這樣的知識對學生不具有“意義”,學生的數學素養就難以得到提高．如何優化設計,注重過程是核心素養背景下教師應該不斷思考和優化的問題．本文以“球的體積”教學為例探討這個問題．

2 基本情況

2.1 教材分析

“球的體積”是蘇教版(2005年6月版)數學必修2第1章第3節第2部分,現為蘇教版數學必修第二冊第13章第3節第二部分的教學內容.求球的體積是旋轉體部分的一個重要知識點,然而涉及的內容卻不到半個頁面,如何施教?草草帶過還是注重過程?如果注重過程教學,那么如何突破空間幾何體教學的難點?考慮到高一學生空間想象能力還不夠強的特點,筆者決定借助現代信息技術手段,為學生理解和掌握圖形性質(包括證明)提供幾何直觀,并計劃通過幾何學發展過程中的重要結果、關鍵人物和關鍵事件進行介紹,對學生進行文化浸潤．于是設定如下教學目標和教學重、難點.

教學目標 (1)體會祖暅原理及積分思想,學會球的體積公式的推導方法;(2)掌握球的體積公式,能運用公式解決有關球體積的簡單問題;(3)培養觀察、分析、估算、猜想、構造和推理論證能力,完善認知結構;(4)提升學習數學的興趣,發展實踐能力和創新意識,感悟數學的科學價值和人文價值．

教學重點 球的體積公式的推導、祖暅原理及積分思想的應用．

教學難點 球的體積公式的推導．

2.2 學情分析

學生來自四星級高中普通班,基礎較好,有一定的自學能力和運算能力．由于球以及為求球的體積而引入的幾何體的直觀圖比較難畫,高一學生的空間想象能力尚不夠強,接受有關球的幾個組合體的圖象有一定困難.在以往的教學過程中,學生普遍反映這一節內容抽象,特別是對推導球的體積公式過程,過于突兀,難以理解,在公式的運用中,對有些旋轉體感性認識不夠．于是借助多媒體技術,利用三維動畫演示,注重過程,優化結構,化解難點,突出重點,使學生能夠直觀而清楚地“看見”組合體的結構,培養學生的空間想象能力,并學會尋找特殊截面,找到多個幾何體元素之間的內在聯系,提高學生分析問題、解決問題的能力,完善學生的認知結構．

3 教學過程

屏幕顯示學習目標,明確學習內容．

設計意圖使學生明確本節課的學習任務,并且要學到什么程度,引發認知沖突和動機．

創設問題情境:播放球旋轉的動畫,認識球體.提問:已知球的半徑為R,求球的體積V球．

設計意圖感知球是一個旋轉體,是對稱的．直接明了提出問題．經過分析,可以先求半球的體積．

目測體積,比較大小．演示動畫:比較等底等高的圓柱、半球和圓錐體積的大小關系．

設計意圖三者皆為旋轉體,加強聯系;溫故知新,感知半球的體積在圓柱的體積和圓錐的體積之間．

圖1

倒沙實驗,驗證猜想．動畫演示:讓學生發現,半球中的細沙正好裝滿同底等高的圓柱和圓錐的組合體,以此得出半球體積恰好等于底面半徑和高都為球半徑的圓柱與圓錐的體積之差(圖1).

設計意圖激動的心,顫抖的手,眼看那美妙的猜想即將實現,可是數學是嚴謹的科學,這并不能代替證明,怎么辦?再次吊起學生探究的“胃口”．

介紹祖暅、祖沖之及祖暅原理．

設計意圖介紹歷史知識,為下面證明鋪墊;對學生進行數學文化熏陶,并說明祖暅提出的該原理比西方文獻記載的“卡瓦列利原理”早 1 000多年,認識中華數學文化當時在世界的領先地位,增強民族自豪感．

構造參照體,證明猜想．利用信息技術制作三維動畫,閃爍關鍵點、線、面(圖2).

圖2

得定理,談記憶．動畫顯示:將球看成由許多頂點在球心、底面都在球面上的“準錐體”組成,這些“準錐體”的底面并不是真正的平面多邊形,但只要這些“準錐體”的底面足夠小,就可以把它們近似地看成棱錐,而這些“準錐體”的高就是球的半徑R,底面積可分別設為S1,S2,S3,…它們的和等于球的表面積(圖3).

圖3

圖4

在“教者之教”的組織下,進行例、習題“自組織”的合作學習,強化運用意識．合作學習內容包括三個例題、三個習題,其中有例題:分別計算等邊圓柱及其內切球的體積和表面積(圖4).

設計意圖強化運用,培養數學運算核心素養,同時為下面的數學文化介紹“借題發揮”．

介紹歷史故事,緬懷偉人功績．投影阿基米德像,介紹故事:西方探討研究球的體積的學者首推阿基米德,阿基米德在探討球的體積過程中驚人地發現,等邊圓柱與其內切球的體積之比與表面積之比居然都是3∶2,驚人的巧合．因此,他把這個發現認為是他畢生中最輝煌的成就,后人根據阿基米德生前的遺愿,在其墓碑上刻上了“等邊圓柱及其內接球”這一幾何圖形．

設計意圖接受數學文化熏陶,了解阿基米德不僅是偉大的物理學家,更是世界上公認的迄今為止的三大數學家之一;體會數學物理是一家,“物理的盡頭是數學,數學的盡頭是哲學”……等各學科相通相聯的普遍聯系的哲學觀．

學生小結本節所學,形成思想方法知識網絡結構．

設計意圖可以指導學生通過思維導圖或知識網絡圖的制作,對所學知識、認知方法、數學思想進行分類和識別,形成自己的完整的包括數學思想方法、數學知識、數學文化、數學核心素養等在內的認知結構．

4 回顧與反思

4.1 立意與站位

立德樹人是教育的根本任務,數學除了科學理性,還有人文、精神、原則和育人價值等,所以,我們不是僅教數學,而是用數學育人．如果直接告訴學生球的體積公式或者蜻蜓點水地說明一下,然后就是例題教學和練習,這樣的做法也許暫時的效果還不錯,但從長遠來看,實在毫無意義,無非就是教會學生知道了球的體積公式而已．如果通過球的體積公式的教學盡可能多地把各路知識、各種思想方法、多種文化有機地聯系在一起,并形成結構,讓學生在數學的學習中感受到數學及其文化的博大精深和數學的真善美,最終達成學生核心素養的培育,才是數學教學應有的站位．克服功利化傾向,將核心素養的培養貫穿于教學活動的始終,為學生數學必備能力和關鍵品質的形成而教,應是我們不懈的追求和永遠的立意．

數學不器,如果沒有將蘊含在數學知識中的數學文化發掘出來,那么我們的數學教育就是“買櫝還珠”式的教育．長期以來,我們的數學教學并沒能將蘊含在概念、符號、定理、公理、公式、習題中的思想、方法、情感、態度、價值觀以及數學文化充分發掘出來,致使數學教育沒有達到其應有的育人之義,這是非常遺憾的．筆者認為,數學中的知識是數學文化的載體,讓學生通過知識感受到數學的精神,才是數學教育所應該達到的境界[1]．

4.2 過程與結果

課標強調評價既要關注學生知識技能的掌握,更要關注數學學科核心素養的形成和發展……評價既要關注學生學習的結果,更要重視學生學習的過程[2]．沒有過程的知識,不能夠很好地納入學生的認知結構,這樣的知識對學生來說是沒有意義的,甚至是學生不希望得到的知識．著名數學教育家史寧中先生曾經有意調查一所非數學專業的大學畢業生,許多學生居然忘了“球的體積公式”,甚至連“圓的面積公式”也記不住了,真是發人深省．從某種程度上來講,沒有過程就沒有結果．所以,在一些關鍵知識、方法和思想的教學中尤其要注重過程教學．

在本節課教學中,并沒有將球的體積公式“拋”給學生,而是通過觀察、猜想、實驗、證明、結論、記憶和運用等幾個環節的實施來建構學生認識事物的結構和路徑:從“目測”到“猜想”,這是發現;從“猜想”到“實驗”,這是強化發現,而用祖暅原理證明這個環節,則是“內化”,例題及習題的教學則是強化“內化”,祖暅及阿基米德的故事介紹則是“文化浸潤”.有著這樣一系列過程,知識就顯得有血有肉有魂,這樣的知識即使多少年以后忘記了,對學生的認知幫助也是終生的．

4.3 方法與技術

由于教學設計中引入的幾何體的直觀圖及其等距截面比較難畫,高一學生空間想象能力還不夠強,因此接受球的體積推導過程以及有關球的幾個組合體的圖象有一定困難,因此要借助信息技術,把有關知識以動畫演示和講解結合起來,閃爍關鍵點、線、面,使學生從聲、字、圖多方面多感官接受知識,加強了學生對這些過程的直觀認識．事實證明,在本節課教學中,信息技術的運用,在突出、強化教學重點,突破解決教學難點,創設情境,引發動機,提供模型,建立經驗,顯示過程,形成表象,提供示范,設置問題,引發思辨的“突顯”思維教學過程中發揮了獨特的作用,收到了較好的效果．在復雜的數學教學系統中起著“序變量”的作用．

具有“思維可視化”的現代教育技術,能使抽象的數學模型變得直觀,使傳統數學教學難以克服的難點和重點變得易于理解．因此,要注重技術的運用,要認識到合理使用技術,不僅可以改善教育形態,更可以為學生提供新的認識路徑,突破能力或思維瓶頸．但使用技術的“度”的把握很重要,要與教學方法結合起來,由教學需要和教學方法決定“用與不用、怎么用、用到什么程度”,不能為了技術而技術,也不能置先進技術于不顧,永遠放不下那“小米加步槍”[3]．