考慮扭轉(zhuǎn)與畸變耦聯(lián)影響的薄壁箱梁翹曲效應(yīng)分析

張元海 馬云亮 劉澤翔

(1蘭州交通大學土木工程學院, 蘭州 730070)

(2蘭州交通大學甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室, 蘭州 730070)

薄壁箱梁廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代橋梁工程中,其在豎向偏心荷載作用下的受力和變形狀態(tài)非常復雜,在橫截面上除了縱向彎曲產(chǎn)生的應(yīng)力(正應(yīng)力和剪應(yīng)力)外,還有扭轉(zhuǎn)、畸變及剪力滯翹曲效應(yīng)引起的應(yīng)力,而這些翹曲應(yīng)力在彎曲應(yīng)力中的占比往往是相當可觀的,設(shè)計中不容忽視.

近年來,國內(nèi)外許多學者針對薄壁箱梁的剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變效應(yīng)開展了大量研究.郭增偉等[1]針對變截面懸臂箱梁,采用推廣的比擬桿法研究其剪力滯效應(yīng),并通過參數(shù)分析揭示了變截面懸臂箱梁剪力滯效應(yīng)的特殊性.舒小娟等[2]綜合考慮箱梁全截面剪切變形影響,用Reissner最早提出的能量變分法分析箱梁的剪力滯效應(yīng).張元海等[3]考慮箱梁懸臂翼緣板與肋間板的橫向變形差異性影響,提出了基于修正翹曲位移模式的剪力滯效應(yīng)改進分析方法.張玉元等[4]研究了梗腋對箱梁剪力滯效應(yīng)的削弱作用.在薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)方面,Wang等[5]引入翹曲約束剪切扭轉(zhuǎn)角作為廣義翹曲位移,建立了約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程并給出初參數(shù)解.夏桂云等[6]和文穎等[7]用有限梁段單元分析箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng),并通過插值函數(shù)直接求得翹曲扭矩,從而使剪應(yīng)力計算大為簡化.Li等[8]用有限梁段單元分析了單箱多室箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng).為了便于計算約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力并克服部分文獻中對剪應(yīng)力計算的不合理性,張元海等[9]導出了計算約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力的2套實用公式,并從理論上論證了2套公式的統(tǒng)一性.在薄壁箱梁的畸變效應(yīng)方面,Hansen等[10]研究了橫截面的多種可能變形模式,能綜合反映剪切變形、翹曲效應(yīng)及橫向泊松效應(yīng)等影響.Ren等[11]分析了偏載作用下布置內(nèi)橫隔板箱梁的畸變效應(yīng),通過在橫隔板與箱梁連接部位引入正交冗余力,充分反映橫隔板與箱梁之間的相互作用.藺鵬臻等[12]借助通用有限元軟件計算了雙線鐵路簡支箱梁在單線活載作用下的畸變效應(yīng).張元海等[13]通過在橫截面畸變中心位置定義畸變角,利用能量變分法建立了畸變控制微分方程,并給出了廣義內(nèi)力和位移的初參數(shù)解.Cambronero-Barrientos等[14]用有限梁段單元分析了箱梁的剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變效應(yīng).

綜上所述,目前在薄壁箱梁理論分析方面,主要是針對單一變形狀態(tài)進行研究,不便于定量考察剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲應(yīng)力在彎曲應(yīng)力中的占比情況.此外,將箱梁所受偏心荷載分解為縱向彎曲、剛性扭轉(zhuǎn)及畸變荷載并分別建立控制微分方程,本質(zhì)上忽略了各基本變形狀態(tài)間的耦聯(lián)影響.本文綜合考慮薄壁箱梁在豎向偏載作用下各基本變形狀態(tài),從而建立控制微分方程,放棄對外荷載的分解而直接表達結(jié)構(gòu)總勢能并應(yīng)用變分原理,使扭轉(zhuǎn)與畸變之間客觀存在的耦聯(lián)影響得到充分體現(xiàn).

1 箱梁基本變形狀態(tài)描述

本文分析的薄壁箱梁橫截面如圖1所示,O為橫截面形心,x軸為水平形心軸,y軸為豎向?qū)ΨQ軸,z軸沿梁軸方向,且x、y、z軸形成右手坐標系,y0為形心至頂板中面的距離;S和N分別為橫截面扭轉(zhuǎn)中心和畸變中心,yN為畸變中心N的y坐標;b1和b2分別為頂板和底板的半寬,b3為單側(cè)懸臂板寬度,h為梁高,tt、tb和tw分別為頂板、底板和腹板的厚度,α為腹板水平傾角.

圖1 箱梁橫截面及坐標系

箱梁在豎向偏心荷載作用下,橫截面內(nèi)任一點處的縱向位移w(x,y,z)由4部分組成,即

w(x,y,z)=wb(y,z)+ws(x,y,z)+wt(z,s)+
wd(z,s)=-v′(z)y-f′(z)ωs(x,y)-
β′(z)ωt(s)-γ′(z)ωd(s)

(1)

式中,wb為初等梁的彎曲縱向位移;ws、wt、wd分別為剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)、橫截面畸變引起的縱向翹曲位移;v為初等梁撓度;f為剪力滯附加撓度;β為與扭轉(zhuǎn)角φ有關(guān)的約束扭轉(zhuǎn)廣義位移;γ為畸變角;ωs、ωt、ωd分別為相應(yīng)于剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變的翹曲位移函數(shù);s為沿壁厚中心線的坐標.

剪力滯翹曲位移函數(shù)ωs采用文獻[3]建議的修正模式,即

(2)

圖2 剪力滯翹曲位移函數(shù)分布示意圖

根據(jù)烏曼斯基第二理論,扭轉(zhuǎn)翹曲位移函數(shù)ωt為

(3)

式中,ρS為從扭轉(zhuǎn)中心S到周邊任一點處切線的垂直距離;t為壁厚;ψ為相應(yīng)于布雷特剪力流的扭轉(zhuǎn)函數(shù).

本文將橫截面畸變角γ定義為過畸變中心N的水平線與y軸所形成直角的改變量[13],則畸變翹曲位移函數(shù)ωd為

(4)

(5)

式中,xN為橫截面內(nèi)過畸變中心N的水平線與兩側(cè)腹板交點之間距離的1/2;κ為取決于橫截面尺寸的常數(shù).

橫截面內(nèi)任一點處的畸變豎向撓度vd可通過畸變角γ表達為

(6)

(7)

式中,xw為計算點所在水平線與兩側(cè)腹板交點之間距離的1/2.

2 箱梁總勢能

由式(1)可得箱梁相應(yīng)于縱向正應(yīng)變的應(yīng)變能Uε為

(8)

式中,E為彈性模量;Ix為橫截面對x軸的慣性矩;Iωs、Iωt、Iωd分別為相應(yīng)于剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變的翹曲慣性矩;Iωtd為反映扭轉(zhuǎn)與畸變耦聯(lián)的慣性矩;l為跨度;F為橫截面面積.

式(8)中各慣性矩的定義式為

相應(yīng)于剪力滯的剪切應(yīng)變能Uγs為

(9)

式中,G為剪切模量;Fs為剪力滯剪切面積[3].

與約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)變γt相應(yīng)的應(yīng)變能Uγt為

(10)

箱梁畸變時,由頂板、底板及腹板形成的橫向閉合框架的應(yīng)變能UR為

(11)

式中,K為畸變橫向框架剛度[13].

豎向偏心荷載作用下,箱梁的外力勢能Vp為

(12)

式中,p為分布豎向偏心荷載集度.

由式(8)～(12),可得箱梁總勢能Π為

(13)

3 控制微分方程

對總勢能式(13)進行一階變分運算,可得

(14)

根據(jù)能量變分原理,結(jié)構(gòu)在外力作用下處于平衡狀態(tài)時,總勢能的一階變分等于零,故由δΠ=0,可得控制微分方程如下:

EIxv″″-p=0

(15)

EIωsf″″-η2GFsf″-p=0

(16)

GIρ(φ″-μβ″)+m=0

(17)

EIωtβ?+EIωtdγ?-GIρμ(β′-φ′)=0

(18)

(19)

方程(15)為縱向彎曲控制微分方程,方程(16)為剪力滯控制微分方程,方程(17)和(18)為約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程,方程(19)為畸變控制微分方程.方程(18)和(19)表明,約束扭轉(zhuǎn)和畸變之間是耦聯(lián)的,耦聯(lián)剛度為EIωtd.

約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程(17)和(18)可以進行合并.當m沿跨度呈線性分布時,可得關(guān)于扭轉(zhuǎn)角φ和畸變角γ的耦聯(lián)微分方程為

(20)

當忽略約束扭轉(zhuǎn)與畸變之間的耦聯(lián)影響時,即當EIωtd=0時,則約束扭轉(zhuǎn)微分方程(20)和畸變微分方程(19)就退化為現(xiàn)有文獻中根據(jù)偏心荷載分解后推導的簡單形式.

從式(14)中的邊界項可得相應(yīng)于各廣義位移的廣義力.例如,與扭翹廣義位移-β′相應(yīng)的扭翹雙力矩Bωt為

Bωt=-EIωtβ″-EIωtdγ″

(21)

與畸翹廣義位移-γ′相應(yīng)的畸翹雙力矩Bωd為

Bωd=-EIωdγ″-EIωtdβ″

(22)

聯(lián)立求解式(21)和式(22),求得β″和γ″后易得扭翹正應(yīng)力σωt和畸翹正應(yīng)力σωd的計算公式為

(23)

(24)

扭翹剪應(yīng)力τωt和畸翹剪應(yīng)力τωd可通過箱壁微元體的平衡方程進行計算.

(25)

由式(20)和(25)消去γ,可得關(guān)于φ的八階微分方程如下:

REφ(8)-μGIBEIωdφ(6)+KEIωtφ(4)-μGIBKφ(2)=μKm

(26)

(27)

式中,C1～C8為積分常數(shù);λ1～λ3為取決于扭轉(zhuǎn)和畸變幾何特性及材料彈性模量的系數(shù).

再由式(20)和(25)消去γ″″,可得

(28)

將式(27)代入式(28)即可求得畸變角γ.積分常數(shù)C1～C8可根據(jù)梁端邊界條件確定,本文不再贅述.

4 模型試驗驗證

文獻[15]介紹了一個簡支直線箱梁有機玻璃模型的試驗情況,模型梁跨度l=2 m,橫截面尺寸見圖3.梁端設(shè)有橫隔板,其板厚均為6 mm.材料彈性模量為2 943 MPa,泊松比取0.4.豎向偏心集中荷載P=98.1 N作用于跨中截面單側(cè)腹板與頂板相交處.共測試l/8、3l/16、5l/16、7l/16、l/2及13l/16六個橫截面處的正應(yīng)力分布,應(yīng)力測點具體位置見圖3中①～⑥.試驗詳細情況見文獻[15].

圖3 模型梁橫截面簡圖(單位: mm)

計算表明,考慮扭轉(zhuǎn)與畸變耦聯(lián)的計算結(jié)果與傳統(tǒng)方法計算結(jié)果相差不大,而計算工作量大增,從實用計算考慮,可略去耦聯(lián)影響.將7l/16截面各測點處正應(yīng)力理論值連同實測值一并列于表1,其中σb為縱向彎曲應(yīng)力,σs為剪力滯翹曲應(yīng)力,σωt為扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力,σωd為畸變翹曲應(yīng)力,σ為總應(yīng)力,應(yīng)力以拉為正、壓為負,應(yīng)力實測值是在文獻[15]中實測應(yīng)力分布曲線上按比例量取的.由表1可知,總應(yīng)力理論計算值與實測值總體上吻合良好.

表1 7l/16截面各測點處正應(yīng)力比較 kPa

從表1還可以看出:豎向彎曲應(yīng)力在總應(yīng)力中占絕對主導地位,剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲應(yīng)力總體上都很小;而在這3種翹曲應(yīng)力中,剪力滯翹曲應(yīng)力最小,畸變翹曲應(yīng)力最大;畸變翹曲應(yīng)力最大值位于腹板與底板交接處,在頂板和懸臂板內(nèi)都很小;約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力在底板內(nèi)很小,其最大值位于懸臂板自由端.

5 算例分析

預應(yīng)力混凝土簡支箱梁計算跨徑l=30 m,采用C50混凝土,材料彈性模量E=34.5 GPa,剪切模量G=13.8 GPa,僅在梁端設(shè)有橫隔板,豎向偏心荷載P=550 kN作用于跨中截面左側(cè)腹板頂部,跨中截面尺寸如圖4所示.

圖4 簡支箱梁橫截面(單位: m)

按本文方法求得跨中截面縱向彎曲正應(yīng)力、各翹曲正應(yīng)力及總應(yīng)力分布圖如圖5所示.由圖可見:縱向彎曲正應(yīng)力占絕對主導地位;由于約束扭轉(zhuǎn)與橫截面畸變影響,施加偏載一側(cè)的腹板比另一側(cè)腹板的總應(yīng)力大很多,兩側(cè)腹板與底板交點處的總應(yīng)力相差最為懸殊,相差達1.24倍,即(4 076.84-1 818.05)/1 818.05=1.24;在腹板與底板交點處,畸變翹曲應(yīng)力最大,約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力最小.

(a) 縱向彎曲正應(yīng)力

(b) 剪力滯翹曲正應(yīng)力

(c) 扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力

(d) 畸變翹曲正應(yīng)力

(e) 總應(yīng)力

圖6顯示了跨中左截面的剪應(yīng)力分布圖,圖中用箭頭示出了剪應(yīng)力方向,剪應(yīng)力以圍繞周邊逆時針方向為正,順時針為負.

由圖6可以看出:2塊腹板內(nèi)的總剪應(yīng)力相差特別顯著,施加偏載一側(cè)的腹板內(nèi)最大剪應(yīng)力約為另一側(cè)腹板內(nèi)相應(yīng)剪應(yīng)力的10倍,而且方向相反;剪力滯翹曲剪應(yīng)力在腹板內(nèi)總體上很小,實用計算中可以忽略,但其在底板內(nèi)靠近兩側(cè)處仍相當可觀,最大值甚至超過了腹板內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力,不容忽視;約束扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲剪應(yīng)力在每塊腹板內(nèi)都很大,而且方向相同,但由于2塊腹板內(nèi)的扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲剪應(yīng)力方向正好相反,故導致腹板內(nèi)剪應(yīng)力發(fā)生顯著的重分布;畸變翹曲剪應(yīng)力在底板內(nèi)最大,其與剪力滯翹曲剪應(yīng)力一起,使底板內(nèi)產(chǎn)生較大的總剪應(yīng)力,可能會導致底板產(chǎn)生貫通的面內(nèi)斜裂縫,設(shè)計中應(yīng)重視.

(a) 縱向彎曲剪應(yīng)力

(b) 剪力滯翹曲剪應(yīng)力

(c) 扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力

(d) 畸變翹曲剪應(yīng)力

(e) 總應(yīng)力

為了考察橫截面關(guān)鍵點處由剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲應(yīng)力引起的相對于彎曲應(yīng)力的應(yīng)力放大系數(shù),表2列出了跨中截面受偏載直接作用的腹板與頂、底板交點處各項正應(yīng)力大小及其相對于彎曲應(yīng)力σb的占比情況.

表2 跨中截面加載腹板與翼緣板交點正應(yīng)力

由表2可知,在加載腹板與底板交點處,畸變翹曲應(yīng)力為彎曲應(yīng)力的33.93%,總應(yīng)力達到彎曲應(yīng)力的162.86%,即總應(yīng)力放大系數(shù)約為1.63.在加載腹板與頂板交點處,約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力為彎曲應(yīng)力的18.89%,總應(yīng)力放大系數(shù)約為1.49.

表3列出了跨中左截面受偏載直接作用的腹板在橫截面形心軸處的各項剪應(yīng)力及其相對于彎曲剪應(yīng)力的占比情況.其中,τb為縱向彎曲剪應(yīng)力,τs為剪力滯翹曲剪應(yīng)力,τωt為約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力,τωd為畸變翹曲剪應(yīng)力,τ為總剪應(yīng)力.

表3 跨中左截面形心軸處加載腹板的剪應(yīng)力

由表3可知,在橫截面水平形心軸處,受偏載直接作用的腹板的約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力達到彎曲剪應(yīng)力的78.39%,畸變翹曲剪應(yīng)力達到彎曲剪應(yīng)力的60.99%,而總剪應(yīng)力甚至達彎曲剪應(yīng)力的254.85%,即總剪應(yīng)力的放大系數(shù)約為2.55,表明約束扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲剪應(yīng)力對總應(yīng)力的貢獻非常大.

值得指出的是,在《公路鋼筋混凝土及預應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTG3362—2018)中,對于單梁模型的應(yīng)力放大系數(shù)計算公式中,只關(guān)注箱梁的約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力影響,并未包含畸變翹曲應(yīng)力,顯然這是偏于不安全的.

6 結(jié)論

1) 本文綜合考慮薄壁箱梁在豎向偏載作用下的剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲效應(yīng)影響,放棄外荷載分解的傳統(tǒng)思路,在充分考慮扭轉(zhuǎn)與畸變耦聯(lián)影響的基礎(chǔ)上,用能量變分法建立了控制微分方程,通過對一有機玻璃模型梁的計算表明,本文理論計算結(jié)果與模型試驗結(jié)果吻合良好,驗證了本文理論分析的正確性.

2) 薄壁箱梁在豎向偏心荷載作用下,縱向彎曲是最主要的變形狀態(tài),畸變和約束扭轉(zhuǎn)是起主導作用的翹曲變形狀態(tài),剪力滯變形狀態(tài)總體上屬于次要的翹曲變形狀態(tài),但剪力滯效應(yīng)對彎曲正應(yīng)力的影響仍不可忽略.在底板兩側(cè)一定范圍內(nèi)的剪力滯翹曲剪應(yīng)力也需引起注意.

3) 本文簡支箱梁算例考慮剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲效應(yīng)影響后,在跨中截面加載腹板與底板交點處的正應(yīng)力放大系數(shù)達到約1.63,在形心軸處腹板的剪應(yīng)力放大系數(shù)達到約2.55,在設(shè)計中需引起高度重視.

4) 薄壁箱梁在豎向偏載作用下具有復雜的受力性能,在跨內(nèi)不設(shè)橫隔板的情況下其畸變變形狀態(tài)尤為突出,不容忽視.而《公路鋼筋混凝土及預應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTG3362—2018)在對于單梁模型的應(yīng)力放大系數(shù)計算公式中,只關(guān)注箱梁的約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力影響,卻并未包含畸變翹曲應(yīng)力,這是值得商榷的,也偏于不安全.