基于多維子平行六面體模型的可靠性分析方法及應用 *

呂 輝，鐘順江，李振聰，曹懿莎，上官文斌，趙克剛

（1. 華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州 510641； 2. 中汽檢測技術有限公司，廣州 510530）

前言

在汽車結構系統中，受材料特性退化、制造裝配誤差、工況變化以及主觀經驗的影響，系統參數不可避免地存在不確定性。在實際工程中，這種參數不確定性會引起系統響應（如應力、應變、固有特性等）產生波動，并影響著結構系統的安全性和適用性［1］。因此，開展不確定條件下汽車結構系統的可靠性研究具有重要的工程意義。

在工程中，可靠性通常定義為在規定的時間內和給定的條件下，完成既定功能的能力。在傳統的生產設計中，通常采用安全系數法來減少參數波動對系統性能的影響。為了確保系統安全可靠，往往需要設定很大的安全系數，導致系統設計過于保守。隨著不確定性理論的發展，研究人員提出了概率模型［2］、區間模型［3］、模糊模型［4］等，并基于這些模型發展出了一些成熟的可靠性分析方法。然而，以上模型通常沒有考慮參數之間的相關性，導致設計結果過于保守。近年來，為有效考慮不確定參數的相關性，人們提出了多維平行六面體模型（multidimensional parallelepiped model，MPM），它可以將獨立和相關的不確定參數置于一個統一的框架之內進行研究［5］。Wang 等［6］基于MPM 提出了一種使用樣本的統計特征獲得不確定參數的邊緣區間和相關系數的方法，并引入徑向基函數代理模型進行了結構不確定性分析。Zheng 等［7］基于MPM 描述具有相關性的不確定參數，提出了一種基于非概率可靠性的拓撲優化方法。Ni 等［8］通過正則化將MPM轉化成區間模型，基于泰勒展開和鏈式法則提出了一種不確定性分析方法，即1 階攝動法（first-order perturbation method，FOPM），并分析了參數相關性對可靠性指標的影響。近幾年，作者課題組將MPM 和蒙特卡洛仿真技術相結合，有效求解了汽車動力總成懸置系統特性的不確定性響應［9］。

可以看出，基于MPM 進行工程問題的不確定性和可靠性分析已經取得了較多研究成果。隨著工程問題日趨復雜，可能還存在一些關鍵問題需要進一步解決。例如，現有研究主要將MPM 和FOPM 相結合進行可靠性分析，但FOPM 只有在泰勒展開點附近才具有較高的分析精度，也即其僅適用于處理小不確定度或弱非線性問題。然而，在越來越復雜的汽車結構系統中，一些系統參數往往具有較大的不確定度，并且部分參數之間同時具有一定的相關性［10］。MPM和FOPM相結合的方法在處理這類復雜情形時必然會產生較大誤差。因此，很有必要提出一種適用于處理系統參數同時具有大不確定度和相關性的可靠性分析方法，以方便研究人員獲得更為精確的可靠性設計結果。

針對上述存在的問題，本文基于MPM 建立一種多維子平行六面體模型，并在此基礎上提出一種子平行六面體攝動法，用于處理汽車系統參數同時具有大不確定度和相關性的復雜情形；同時，基于子平行六面體攝動法對系統開展不確定性及可靠性分析研究。分析方法能為汽車系統可靠性設計提供參考和指導。

1 多維平行六面體模型

在汽車結構系統中，多源不確定性問題廣泛存在。MPM 可將系統不確定參數的獨立性與相關性置于一個統一的框架內進行研究［8］。當給定不確定參數的邊緣區間和任意兩個不確定參數之間的相關系數時，即可構造一個MPM 來量化系統參數的不確定域。

對于具有n個不確定參數Xi(i= 1，2，…，n)的n維問題，定義Xi的邊緣區間為其不確定度為。其中和分別代表的中點和半徑。描述參數相關性的n維相關矩陣可定義為

基于MPM所構建的不確定域可通過下式描述：

式中：ΔX=X-XC；T= diag(w1，w2，…，wn)；wi= 1/C=RTρ；e=(1，1，…，1)T。

為便于描述，以具有兩個不確定參數Xp和Xq的二維問題為例，可根據樣本數據建立一個包絡所有二維樣本點且面積最小的平行四邊形，如圖1 所示。圖1 中的點A定義為“起點”，以“起點A”為端點的兩條平行四邊形的邊定義為“邊界區間”，分別表示為和。

圖1 平行四邊形模型

在上述平行四邊形模型中，變量Xp和Xq之間的相關系數定義為

式中a和b分別表示向量EC和EB的長度。

2 多維子平行六面體模型

本節將提出一種MPM 的拓展模型，即多維子平行六面體模型（multidimensional sub-parallelepiped model， MSPM）。假設n個不確定參數由一n維MPM來描述，為處理其大不確定性，將n維MPM 的每個“邊界區間”Xi*均勻劃分成m個子區間。通過這種劃分方式，總共生成mn個形狀相同但位置不同的MSPM。

由式（2）可知，為獲得每個MSPM 所描述的不確定域的表達式，需要知道每個MSPM 的形狀矩陣Csub和中心點坐標。分析易知。因此，建立MSPM表達式的核心問題為計算每個MSPM 的中心點坐標。為方便分析，下面首先介紹二維的MSPM模型。

2.1 子平行四邊形模型

對于具有不確定參數X1和X2的二維問題，假設X1和X2的邊緣區間為XI1和XI2；“邊界區間”分別為X*1和X*2。X1和X2之間的相關性可通過式（3）表示。

圖2 為一個平行四邊形不確定域，其中每個“邊界區間”被平均劃分為m=4 個子區間。計算每個子平行四邊形模型中心點坐標的具體步驟如下。

圖2 子平行四邊形模型

（1）根據圖2 所示的規則使用m進制數字(ij)m，i，j= 0，1，…，m- 1 為每個子平行四邊形編號。為的第i+ 1個子區間和的第j+ 1個子區間組成的子平行四邊形的中心。

（2）將二維情形下的式的不等號改寫為等號，可得到“起點A”、“邊界區間”X*1的右端點D以及“邊界區間”X*2的右端點C的坐標為

并記A點坐標為(AX1，AX2)，計算可得：

基于以上分析，任意子平行四邊形模型的不確定域的表達式為

2.2 n維子平行六面體模型

對于更一般的n維問題，變量的邊緣區間為XIi，i= 1，2，…，n；“邊界區間”為X*=[X*1，X*2，…，X*n]T；相關矩陣ρ表示同式（1）。計算每個n維MPSM 中心點坐標的具體步驟如下。

（1）使用n位m進制數字(ij…k)m為每個n維MPSM 編號。的第i+ 1 個子區間、X*2的第j+ 1 個子區間、…、的第k+ 1 個子區間組成的n維MPSM的中心。 為

（2）將式（2）的不等號改寫為等號，可得到“起點A”以及所有“邊界區間”的右端點的坐標。由此進一步求得MPM 中心點到所有“邊界區間”右端點的向量坐標。

（3）根據n維MPSM 的劃分規則以及向量加法，可得坐標系原點O到任意n維MPSM 中心點的向量的坐標。

“邊界區間”X*i的右端點的坐標可通過求解方程C-1ΔX= -e-i得到。由此，任意“邊界區間”X*i的右端點坐標為

式中：ρp是相關矩陣ρ的第p行元素組成的行向量；e-i=[11，…，1i-1，- 1i，1i+1，…，1n]T表示第i個元素為-1，其余元素為1的列向量。

基于上述過程，可得到任意n維MPSM 的中心點坐標為

因此，任意n維MPSM的不確定域表達式為

3 基于MSPM 的非概率不確定性及可靠性分析

為有效地處理汽車結構系統中不確定參數同時具有大不確定度和相關性的問題，本文提出了一種基于MSPM的非概率不確定性及可靠性分析方法。

3.1 非概率不確定性分析

假設系統響應函數為φ(X)，為求得φ(X)的不確定邊界，將描述系統參數大不確定性和相關性的MPM 劃分為一定數量的MSPM。這樣不確定參數的不確定域被劃分為多個子不確定域，從而在每個子不確定域中，不確定參數只具有較小的不確定度。為便于描述，將MPSP 的n位m進制數字編號(ij…k)m轉化為十進制數字編號r=imn-1+jmn-2+…+km0+ 1，r= 1，2，…，mn。

在第r個MPSM中，系統響應函數φ(X)經正則變化轉化為Φ(δ)r。Φ(δ)r可由其在子不確定域中心點δC處的1階泰勒展開式近似替代：

式中：ΔXq=[0，…，ΔXq，…，0]；ΔXq為一微小增量。考慮到，系統響應函數為

考慮到δi∈[ - 1，1]，i= 1，2，…，n，所以Φ(δ)r的最大值和最小值可以由下式確定：

最后，通過匯總分析所有MSPM 子不確定域中Φ(δ)的極值，可確定原大不確定度問題的系統響應函數φ(X)的上下界分別為

為表述方便，上述非概率不確定性分析方法簡記為子平行六面體攝動法（sub-parallelepiped perturbation method，SPPM）。

3.2 可靠性分析

在汽車結構系統中，由失效準則確定的極限狀態函數為

式中：Xi(i= 1，2，…，n)為系統不確定參數，類似系統性能響應函數；g(X)為極限狀態函數，也存在不確定性，記g(X)的最大和最小值分別為g(X)U和g(X)L。根據非概率可靠性理論，可定義系統的非概率可靠性指標［11］為

當η> 1 時，g(X)的下界大于0，系統可靠；當η< -1 時，g(X)的上界小于0，系統失效；當-1 <η< 1 時，g(X)可能大于0 也有可能小于0，系統可能可靠也可能失效。

極限狀態函數g(X)一般為由系統響應函數φ(X)與常數C組成的函數，即g(X) =C±φ(X)。因此，進行系統可靠性分析時，可以直接利用不確定性分析中φ(X)的上下界計算得到g(X)的上下界，由此得到系統的可靠性指標η。

4 算例分析

4.1 汽車聲固耦合系統模型

汽車車身結構和內部聲場構成一典型的聲固耦合系統。在本算例中，引用文獻［12］中的一簡化聲固耦合模型進行分析，如圖3所示。聲腔為空氣域，聲腔和頂部的耦合界面為彈性邊界，其余為剛性邊界。

圖3 聲固耦合系統模型

該系統中聲速c與空氣的密度ρf具有負相關性［13］，因此，設置其不確定度為30%，相關系數為-0.3。殼結構的彈性模量E、泊松比υ、厚度t和密度ρs則設為確定參數，具體取值如表1所示。模型頂部邊界線中點處豎直方向上施加頻率為200 Hz 的單位正弦激振力。

表1 聲固耦合系統不確定參數取值

蒙特卡洛仿真（Monte Carlo simulation，MCS）在樣本規模足夠大的情況下能獲得較高的計算精度，通常用于驗證不確定性分析方法的有效性，因此本文選取MCS 作為參考方法［14］。使用MCS、FOPM 以及SPPM 計算沿頂部邊界線分布的聲壓響應區間，結果如圖4 所示。其中，SPPM（m）符號代表劃分m個子區間的SPPM 方法。基于MCS 的概率收斂特性，此處設置其樣本數量為10萬。

圖4 系統聲壓響應區間

鑒于系統聲壓響應的數量級較小，圖4中FOPM和SPPM 的計算結果與MCS 的計算結果對比不明顯。為了清晰地展示FOPM 和SPPM 預測聲壓響應區間的準確性，圖5 給出了以MCS 為參考時，FOPM和SPPM計算的相對誤差。

圖5 聲壓響應的計算誤差

從圖5可知，FOPM 求得的部分節點的聲壓響應區間存在較大誤差。特別地，FOPM 計算得到的節點8（x=215.7 mm）的聲壓下界相對誤差高達36.39%。而對SPPM（2）來說，除節點8 處的聲壓響應下界誤差為10.19%外，其余各節點的聲壓響應上下界的相對誤差均在6%以下。此外，還可知SPPM（4）和SPPM（8）求得的聲壓響應上下界的相對誤差均在1.5%以下，較多節點處的相對誤差在0.1%附近。這說明，FOPM求得的系統聲壓響應區間差強人意，部分節點誤差比較大；SPPM（2）計算的聲壓響應區間則較為準確，而且隨著劃分多維子平行六面體數量的增多，SPPM能獲得更加精確的計算結果。

此外，MCS 計算系統響應特性的時間約為112800 s；FOPM 的計算時間約為6 s；SPPM（2）、SPPM（4）和SPPM（8）的計算時間分別為22、90 和358 s。因此，相較于FOPM，提出的SPPM 在略微降低計算效率的情況下有效提高了計算精度。

對此聲固耦合系統進行可靠性分析時，考慮以下極限狀態函數：

式中φ(X)為本算例中節點8（x= 215.7 mm）的聲壓響應。根據式（19），基于不確定性分析的結果，可計算得到節點8聲學響應特性的可靠性指標，如表2所示。

表2 聲學響應的可靠性指標

從表2 可知：MCS 求得的非概率可靠性指標為0.949，系統有可能失效也有可能安全；而基于FOPM求得的可靠性指標大于1，說明系統設計是絕對可靠的；基于SPPM 求得的可靠性指標均小于1但大于-1，所以系統有可能失效也有可能可靠。可見，對系統參數同時具有大不確定度和相關性的聲固耦合系統進行可靠性分析時，FOPM 帶來的誤差可能會影響可靠性分析結果，甚至造成系統可靠性評估錯誤。此外，還可知隨著劃分的多維子平行六面體數量的增加，基于SPPM計算的可靠性指標誤差隨之減小。

4.2 汽車盤式制動器系統

在本算例中，將以汽車盤式制動器系統的振動穩定性為研究對象，進一步驗證所提出方法的有效性。圖6 為一盤式制動器系統模型，在系統制動工作過程中，如果其處于不穩定狀態，將會產生制動尖叫噪聲［15］。文獻［15］中給出該系統7.2 kHz 處的制動尖叫響應函數為

圖6 盤式制動器模型

式中：ζ(X)為系統第7階復模態阻尼比，即制動尖叫響應函數；f為摩擦因數；ρl為摩擦材料密度；p為制動壓力；El為摩擦材料彈性模量。這些參數均視為不確定參數，表3給出了其不確定取值情況。

表3 制動器系統不確定參數取值

在制動器系統中，摩擦因數f與制動壓力p［16］、摩擦材料的密度ρl與彈性模量El［17］通常具有一定的相關性。本算例設定不確定參數f和p的相關系數為0.3，不確定參數ρl和El的相關系數為0.3。

由MCS、FOPM 和SPPM 分別計算得到的系統尖叫響應區間結果如表4 所示。其中，MCS 的樣本數為10萬。

表4 尖叫響應的上下界及計算誤差

從表4可知：FOPM 求得的響應下界和上界的相對誤差較大，分別達到了27.1%和92.0%；而劃分2、4、8 個子區間的SPPM 求得的下界和上界的相對誤差分別為9.27% 和21.8%、4.81% 和4.22%、3.69%和0.17%。由此可知，隨著SPPM劃分的多維子平行六面體數量的增加，其計算的相對誤差隨之減小。在計算時間方面，MCS的計算時間約為107 s，而FOPM 和SPPM 的計算時間均小于1 s，計算效率遠高于MCS。

由控制理論可知：制動器系統的復模態阻尼比若為正，則系統處于穩定狀態；反之，系統不穩定。但由于對制動器系統進行仿真分析時，忽略了材料阻尼的影響，所以大部分學者將阻尼比大于-0.01視為穩定模態［18］。因此，考慮以下極限狀態函數進行系統可靠性分析：

根據式（21），基于不確定性分析的結果，可計算得到系統穩定的可靠性指標，如表5所示。

表5 制動器系統穩定性的可靠性指標

從表5可知，基于以上3種方法計算的非概率可靠性指標均大于-1 且小于1。因此只考慮式（21）極限狀態函數時，系統響應可能可靠，也可能失效。另外，以MCS為參考，基于FOPM 和SPPM（2）計算的非概率可靠性指標η的相對誤差較大。而基于SPPM（4）和SPPM（8）計算的可靠性指標則更加接近參考值。這也同時說明劃分多維子平行六面體的數量越多，基于SPPM計算的非概率可靠性指標越精確。

4.3 電動車動力總成懸置系統

為再進一步驗證所提方法的有效性，考慮一個具有9 個不確定參數的電動汽車動力總成懸置系統（powertrain mounting system，PMS）的不確定性及可靠性分析問題。PMS作為影響汽車舒適性的重要子系統之一，其固有特性分析是汽車振動與噪聲性能分析的一項重要任務。圖7 為某一電動汽車的PMS模型，布置方式為三點式橫向布置，電機總成質量為92 kg。系統其它主要參數如表6～表8所示。

表6 總成的轉動慣量和慣性積kg·m2

表7 懸置的靜剛度N/mm

表8 懸置的安裝位置mm

圖7 電動車PMS模型

電動車PMS 橡膠懸置的剛度參數往往具有一定的不確定性和相關性，且已有研究大多數選擇懸置剛度作為PMS 的主要研究參數。此外，對于PMS的振動特性，通常主要關注其豎直方向（Z方向）和繞定轉子中心線旋轉方向（θY方向）的固有特性響應。因此，本文重點研究PMS 各懸置的三向剛度存在不確定性和相關性時Z和θY方向的固有特性響應。系統固有特性的求解過程詳見文獻［19］。

本算例中，懸置各剛度參數的不確定度取為30%，中心值如表7 所示。同一懸置的三向剛度參數之間兩兩存在相關性，設其相關系數均為0.3；而不同懸置的剛度參數則相互獨立。

使用MCS、FOPM 和SPPM 分別求得的Z和θY方向的固有特性響應區間及相對誤差，結果如表9～表12所示。其中，MCS樣本數設為1000萬。

表9 PMS的固有頻率Hz

表10 PMS的解耦率%

表11 固有頻率的計算誤差%

表12 解耦率的計算誤差%

從表11可知，對于固有頻率響應，FOPM 求得的響應上下界誤差均小于0.5%；而SPPM（2）求得的響應上下界誤差均小于0.1%。從表12 可知，對于解耦率響應，FOPM 在求解θY方向解耦率上下界時出現較大的誤差，分別為10.84%和32.15%；而SPPM（2）求得的響應誤差則均小于2.6%。綜上所述，由于固有頻率響應函數的非線性程度較小，FOPM 和SPPM都有著較高的精度；但對于非線性程度較高的解耦率函數，FOPM 計算結果出現較大偏差，SPPM（2）則能更好地預測其響應區間。在計算時間方面，MCS 的計算時間為1235.43 s，FOPM 耗時0.13 s，SPPM（2）耗時5.69 s，可見FOPM 和SPPM（2）計算效率遠高于MCS。

在PMS 設計中，通常要求解耦率應盡可能大，以獲得良好的隔振性能。一般考慮解耦率大于80%，進而可得以下極限狀態函數：

式中：dZ(X)為Z方向的解耦率；dθY(X)為θY方向的解耦率。表13 給出了PMS 解耦率設計的可靠性指標。

表13 解耦率的可靠性指標

從表13 可知，以MCS 作為參考，對于可靠性指標ηZ而言，基于FOPM 計算的相對誤差為5.45%，而基于SPPM（2）計算的相對誤差僅為1.81%；對于可靠性指標ηθY，基于FOPM計算的相對誤差為61.56%，而基于SPPM（2）計算的相對誤差為1.01%。可以看出，基于SPPM（2）計算的可靠性指標精度遠優于FOPM。

5 結論

（1）所提出的SPPM 方法能有效處理汽車結構系統不確定參數同時具有大不確定度和相關性的問題，傳統的FOPM 方法在大不確定性分析時計算精度較低，而SPPM 在略微降低計算效率的情況下有著很高的計算精度。

（2）在可靠性分析中，基于SPPM 求得的可靠性指標更接近MCS 方法求得的參考值；FOPM 在不確定性分析中的計算誤差可能會嚴重影響可靠性分析結果，甚至造成系統可靠性評估錯誤。

（3）在不確定性和可靠性分析中，SPPM 的計算結果隨劃分的多維子平行六面體數量的增加而更加精確，但計算效率會相應降低。