一類半?yún)⑽仓笖?shù)估計(jì)量的漸近性質(zhì)①

余樂樂， 彭作祥

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

設(shè){Xn,n≥1}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列, 其分布函數(shù)為F(x)．X1,n≤…≤Xn,n表示X1,…,Xn的次序統(tǒng)計(jì)量． 若存在規(guī)范化常數(shù)an>0和bn及非退化分布函數(shù)Gγ(x)使得

(1)

由文獻(xiàn)[1-2]可知

(2)

文獻(xiàn)[3]提出了著名的Hill估計(jì)量． 文獻(xiàn)[4]為減小Hill估計(jì)量的偏差, 構(gòu)造了矩率估計(jì)量． 文獻(xiàn)[5]利用函數(shù)gr,u(x)=xrlnu(x),x≥1構(gòu)造出如下的統(tǒng)計(jì)量

(3)

其中γr<1,u>-1． 利用(3)式可以將Hill估計(jì)量、 矩率估計(jì)量表示出來:

極值指數(shù)估計(jì)的應(yīng)用非常廣泛, 相關(guān)研究可參見文獻(xiàn)[6-10]．

本文利用統(tǒng)計(jì)量Gn(k,r,u)構(gòu)造如下的尾指數(shù)估計(jì)量

(4)

(5)

1 相合性和漸近正態(tài)性

(6)

其中

2 定理的證明

得到

利用連續(xù)映射定理[12]和Slutsky定理[13], 定理得證．

對定理2的證明, 我們需要下面的輔助引理．

(7)

其中

(N1,N2)是二維零均值高斯向量, 滿足

其中

證由二階正規(guī)變換條件(5)式知, 對充分大的t,

則

(8)

(9)

利用文獻(xiàn)[14]中的Cramer-Wold定理證明(7)式成立． 對任意(φ,ψ)∈R2, 有

(10)

其中

由列為林德伯格中心極限定理可得

(11)

與文獻(xiàn)[15]引理1類似計(jì)算, 有

(12)

由(11)式,(12)式及Slutsky定理, 知

(13)

結(jié)合(10)式和(13)式, 引理得證．

定理2的證明定義

利用泰勒展式, (8)式和(9)式化簡為

得到

即

由引理1知

結(jié)合(6)式, 定理2得證．