有限維Leavitt路代數的分次雙代數結構①

蔣秋晴， 王正攀

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

Leavitt代數是文獻[1]給出的不滿足基數不變性的一個典型例子, 一般記作LK(1,n), 其中n是正整數, K是一個域． Leavitt路代數是基于有向圖定義的滿足一定生成關系的一類代數, 是Leavitt代數的自然推廣, 由文獻[2-3]各自獨立引入． Leavitt路代數與Bergman代數、 圖C*-代數、 半群等若干類代數有著密切聯系, 近些年受到了廣泛關注, 有限維Leavitt路代數是一類半單代數[4-8]．

Hopf代數的分類, 是代數學者長期關注的重要問題, 近年來, Hopf代數也在組合研究領域中嶄露頭角[9]． 有限維半單代數上有豐富的Hopf代數結構[10-11], 相關研究在Hopf代數的分類中舉足輕重, 有向圖也是研究Hopf代數分類問題的手段之一[12-13]． 有限維Leavitt路代數作為半單代數自然也有Hopf代數結構, 但Leavitt路代數同時具有整數分次結構(Z-分次結構)[14], 其上是否具有Z-分次的Hopf代數結構尚不清楚, 本文給出了有限維Leavitt路代數具有Z-分次雙代數結構的充要條件．

(a) 結合性:m(I?m)=m(m?I);

(b) 單位性:m(I?μ)=s2,m(μ?I)=s1;

(c) 余結合性: (I?Δ)Δ=(Δ?I)Δ;

(d) 余單位性:s2(I?)Δ=I=s1(?I)Δ;

則稱B是一個K-雙代數, 記μ(1K)=1, 則1是B的單位元[15]． 若B=?n∈ZBn是K-雙代數, 且滿足:

(i)BiBj?Bi+j(?i,j∈Z);

(ii) ΔBn??i+j=nBi?Bj(?n,i,j∈Z);

則稱B是Z-分次K-雙代數．

r′(e)=r(e)r′(e*)=s(e)s′(e)=s(e)s′(e*)=r(e)

(V)uv=δu,vv(?u,v∈Γ0);

(E1)s(e)e=er(e)=e(?e∈Γ1);

(E2)r(e)e*=e*s(e)=e*(?e∈Γ1);

(CK1)e*e′=δe,e′r(e)(?e,e′∈Γ1);

稱Γ為LK(Γ)的底圖． 對?v∈Γ0,e∈Γ1, 定義

deg(v)=0 deg(e)=1 deg(e*)=-1

則LK(Γ)形成Z-分次K-雙代數．

一些簡單的底圖上的Leavitt路代數同構于我們熟知的若干代數． 例如, 全矩陣代數Mn(K)同構于LK(Γ1), 其中n為正整數,Γ1為有向n-線性圖, 即由n個頂點、n-1條首尾相連的邊形成的有向圖． 又如, 勞倫多項式代數K[x,x-1]同構于LK(Γ2), 其中(Γ2)0={v}, (Γ2)1={e}, 且s(e)=r(e)=v． 再如, Leavitt代數LK(1,n)同構于LK(Γ3), 其中n為大于1的正整數, 且(Γ3)0={v}, (Γ3)1={e1, …,en}, 對?i=1,…,n, 有s(ei)=r(ei)=v．

另外, 有限維Leavitt路代數含有單位元, 且同構于某一個分塊矩陣代數[5,16]．

引理2若Leavitt路代數LK(Γ)是有限維K-代數, 則必存在?！涫怯邢迋€有限線性圖的并, 使得LK(Γ)?LK(?！?．

引理3若Γ是有限個有限線性圖的并, 則B={ρ,ρ*:ρ∈Path(Γ)}是LK(Γ)的一個K-基．

定理1有限維Leavitt路代數形成Z-分次雙代數當且僅當其底圖含有孤立點．

證據引理2、 引理3, 假設Γ是有限個有限線性圖的并, 且B是由Γ的路徑形成的LK(Γ)的K-基．

必要性已知LK(Γ)具有Z-分次雙代數結構． 因為是代數同態, 所以

(v)=1

且對?v∈Γ0, 有(vv)=(v)(v)=(v), 即(v)∈{0, 1}． 故存在唯一的u∈Γ0, 使得對?v∈Γ0, 有(v)=δuv． 下證u是孤立點, 否則, 必存在e∈Γ1, 使得s(e)=u或r(e)=u． 不妨假設s(e)=u． 注意到u≠r(e), 有(ee*)=(e)(e*)=(u)=1, 即(e)≠0． 另一方面(e)=(er(e))=(e)(r(e))=0, 矛盾． 因此,u為孤立點．

充分性若Γ含孤立點, 令B=B1∪ + B2, 其中B1={v1, …,vt}為Γ的孤立點集． 任取β∈B{vt}, 定義

(vt)=1(β)=0

(1)

以下僅需分別驗證雙代數的定義中的(c),(d),(e)3條．

(d)任取vi∈B1, 有

任取β∈B2, 有

即s1(?I)Δ=I=s2(I?)Δ．

任取β∈B2, 基于(1)式可得

即(Δ?I)Δ=(I?Δ)Δ．

Δ是代數同態． 任取λ,γ∈B, 若λ,γ∈B1, 則

即Δ(λγ)=Δ(λ)Δ(γ)． 若λ,γ∈B2, 當λγ=0時, 顯然Δ(λγ)=0=Δ(λ)Δ(γ); 當λγ≠0時, 則存在κ∈B2使得κ=λγ, 且

即Δ(λγ)=Δ(κ)=Δ(λ)Δ(γ)． 當λ,γ不同時在B1或B2時, 顯然Δ(λγ)=0=Δ(λ)Δ(γ)． 總之, 對?λ,γ∈B, Δ(λγ)=Δ(λ)Δ(γ)．

綜上所述, (LK(Γ),m,μ, Δ,)可形成Z-分次雙代數．