基于互質陣列的信號波達方向估計算法

劉佳寧　司偉建

摘要：? ? ? 互質陣列具有靈活的天線擺放形式， 相比于均勻陣列， 有更大的陣列孔徑， 可以獲得更高的自由度從而減少硬件資源成本， 因此受到廣泛的關注。 本文針對基于互質陣列的空間平滑MUSIC算法（互質SS-MUSIC算法）估計精度低、 計算量較大的問題， 提出兩種基于Toeplitz矩陣重構的互質陣列DOA估計算法。 兩種算法均利用擴展互質陣列構造虛擬陣列， 然后進行協方差矩陣重構， 重構后的矩陣是Toeplitz矩陣， 對其進行劃分， 對劃分后的矩陣進行特征值分解， 求出信號子空間和噪聲子空間， 從而得到信號的入射角度。 仿真實驗結果表明， 兩種算法均能夠實現信號的欠定DOA估計， 與互質SS-MUSIC算法相比， 兩種算法在低信噪比-5 dB時的測向誤差分別減少1.1°和0.5°， 具有更高的估計精度； 在相同條件下， 運行時間分別減少45.9%和69.1%， 具有更低的計算復雜度。

關鍵詞：? ? ?陣列信號處理； DOA估計； 互質陣列； Toeplitz矩陣； 矩陣重構中圖分類號：? ? ? TJ760; V243.4

文獻標識碼：? ? A文章編號：? ? ?1673-5048（2023）02-0131-06

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0109

0引言

波達方向（Direction of Arrival， DOA）估計在陣列信號處理領域占據重要的地位， 在雷達、 聲吶等眾多方面有著廣闊的應用前景， 因此受到廣泛關注和研究。 為了盡可能提升DOA估計性能， 眾多算法被提出并且應用于實際工程中， 如多重信號分類算法（MUSIC）［1］和旋轉不變子空間算法（ESPRIT）［2］等。 但這些算法能夠估計的信號源數目都不能超過利用的陣元數目， 因此， 想要估計多個信號源， 就要引入更多的天線， 這使得實際工程中硬件成本大大增加。 而稀疏陣列的出現可以很好地解決這一問題， 互質陣列是稀疏陣列的一種擺放形式， 相比于均勻陣列， 互質陣列能夠增大陣列孔徑［3］， 獲得更高的自由度， 這意味著在陣元數相同的條件下， 利用互質陣列進行DOA估計比利用均勻陣列進行DOA估計可獲得更高的性能指標， 還能有效節省硬件資源， 降低成本。 因此， 互質陣列估計憑借著這些優勢吸引了廣大學者的關注， 一系列與之相關的研究成果被提出。 文獻［4］首次提出互質陣列的概念， 互質陣列具有靈活的擺放形式， 陣元間的間距可以大于入射信號的半波長， 獲得更大的陣列孔徑。 文獻［5］提出基于互質陣列的多重信號分類子空間算法（互質SS-MUSIC算法）， 該算法利用虛擬陣列構成的協方差矩陣， 對其進行空間平滑， 通過譜峰搜索獲得信號的入射角度。 文獻［6］引入互質ESPRIT算法， 利用信號子空間的旋轉不變性， 對信號進行DOA估計， 避免了譜峰搜索等步驟， 減少了計算量。 文獻［7］提出基于協方差矩陣重構的互質DOA估計算法， 開辟了利用互質陣列進行DOA估計的新思路。 文獻［8］ 通過凸優化， 對協方差矩陣進行矩陣重構。 文獻［9］根據矩陣填充理論， 對協方差矩陣進行擴展， 利用其Toeplitz性質構造一個低秩重構矩陣， 可以解決陣元利用率不高的問題。 為了進一步降低計算復雜度， 文獻［10］提出傳播算子算法（Propagator Method， PM）， 該算法不需要對協方差矩陣進行特征值分解， 主要通過矩陣的線性運算來求得信號的信號子空間和噪聲子空間， 計算量明顯小于MUSIC和ESPRIT等子空間分解類算法， 因此可將該算法運用到互質陣列估計中。

本文為了提升估計精度并降低計算復雜度， 在文獻［7， 9-10］的基礎上， 提出兩種基于Toeplitz矩陣重構的互質陣列DOA估計算法。 一是基于Toeplitz矩陣重構的旋轉不變子空間（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，? ESPRIT）互質陣列DOA估計算法（簡稱互質Toeplitz-ESPRIT算法）。 該算法利用虛擬陣列對協方差矩陣進行重構， 該矩陣是一個Toeplitz矩陣， 與傳統ESPRIT算法不同， 本算法先對該矩陣進行特征值分解獲得信號子空間， 對信號子空間進行分塊， 利用旋轉不變因子計算出信號的入射角度。 二是基于Toeplitz矩陣重構的傳播算子（Propagator Method， PM）互質陣列DOA估計算法（簡稱互質Toeplitz-PM算法）， 同樣是利用虛擬陣列構造的Toeplitz矩陣， 以信號源數目作為分組， 將該矩陣進行劃分， 引入傳播算子獲得信號的入射角度。 仿真表明： 相比于互質SS-MUSIC算法， 在低信噪比和小快拍時， 互質Toeplitz-ESPRIT算法估計性能更好； 互質Toeplitz-PM算法的計算復雜度更低。

1互質陣列結構

2基于Toeplitz矩陣重構的DOA估計算法

2.1互質Toeplitz-ESPRIT算法

2.2互質Toeplitz-PM算法

2.3兩種算法的區別與聯系

兩種算法都是針對互質SS-MUSIC算法估計精度低、 計算量大的問題提出的。 互質SS-MUSIC算法在譜峰搜索過程中， 通過獲取空間范圍內空間譜的極大值作為目標信號的入射角度， 在惡劣環境下會搜索出很多極大值， 對DOA估計結果產生影響， 并且譜峰搜索會花費很多時間， 增大了計算復雜度。 而本文所提兩種算法不需要譜峰搜索， 是對接收信號模型的協方差矩陣進行操作， 計算得出入射角度， 只有一種估計結果， 因此估計精度更高， 計算復雜度更低。

兩種算法的區別是互質Toeplitz-ESPRIT算法更側重于解決估計精度低的問題， 在低信噪比和小快拍數時也有良好的估計性能， 而互質Toeplitz-PM算法更側重于解決計算量大的問題， 用線性運算代替了特征值分解， 從而降低計算復雜度。

3仿真實驗

4結論

本文提出兩種基于Toeplitz矩陣重構的互質DOA估計算法， 利用擴展互質陣列構造虛擬陣列， 構造Toeplitz矩陣， 對其進行不同處理， 實現對目標信號的DOA估計。 仿真實驗結果表明， 基于Toeplitz矩陣重構的互質ESPRIT算法在低信噪比和小快拍數時依舊能夠保持良好的估計精度； 基于Toeplitz矩陣重構的互質PM算法計算復雜度更低， 解決了互質SS-MUSIC算法估計精度低、 計算量大的問題。 在實際應用中， 可以根據不同的性能需求選擇不同的測向算法， 這兩種算法都可以推廣應用至其他形式的互質陣列中。

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Direction of Arrival Estimation Algorithm Based on Coprime Array

Liu Jianing Si Weijian

（1. College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China;

2. Key Laboratory of Advanced Marine Communication and Information Technology， Ministry of Industry and

Information Technology， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： The coprime array has attracted extensive attention because of its flexible antenna placement form and larger array aperture compared with the uniform array， which can obtain higher degrees of freedom and reduce the cost of hardware resources. Aiming at the weak accuracy and large amount of computation of? SS-MUSIC algorithm， this paper proposes two DOA estimation algorithms with coprime array based on Toeplitz matrix reconstruction. Both algorithms use the virtual array formed by extended coprime array and reconstruct the covariance matrix. The reconstructed matrix is Toeplitz matrix， which is decomposed by eigenvalues to obtain the signal subspace and noise subspace， so as to obtain the incident angle of the signal. The simulation results show that the two algorithms can achieve underdetermined DOA estimation. Compared with the coprime SS-MUSIC algorithm， the direction finding errors of the two algorithms are reduced by 1.1 ° and 0.5 ° respectively at? low signal-to-noise ratio of -5 dB， and have higher estimation accuracy， the running time is reduced by 45.9% and 69.1% respectively in the same situations， with lower computational complexity.

Key words：? array signal processing; DOA estimation; coprime array; Toeplitz matrix; matrix reconstruction