抓住典型例題，深化問題研究

文／蔣 飛

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，但在實際問題中，我們該如何選用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)呢？下面，我們將一起圍繞教材例題，開展相關(guān)問題的探究。

一、例題呈現(xiàn)，抓住本質(zhì)

例1 某公司職工的月工資情況如下：

____________________________人數(shù)______________________1（總經(jīng)理）_____________________2（副總經(jīng)理）_____________________5（部門經(jīng)理）______________________________10 17______________________________23_______________________________28_______________________________10________________________________4月工資/元______________________20000_______________________12000_______________________8000________________________6000________________________3000 2000________________________1800_________________________1500_________________________1200________________________

根據(jù)上表，可以算得該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分別為3112 元、2000 元、1800 元。如果你是該公司的一員，那么會更加關(guān)注其中的哪一個數(shù)據(jù)呢？

【分析】這是一道開放性問題，解決此類問題需要同學(xué)們理解以下兩點。（1）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)是度量一組數(shù)據(jù)集中趨勢的3個統(tǒng)計量，它們具有各自的特點，有助于我們從不同的角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。計算平均數(shù)時，所有的數(shù)據(jù)都參與運算，能較充分地利用數(shù)據(jù)所提供的信息，反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，但是易受一組數(shù)據(jù)中極端值的影響；中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后中間位置的代表值，它不受異常值影響，但是不能充分利用數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，往往是人們尤為關(guān)心的統(tǒng)計量，但它不具有唯一性。（2）在實際應(yīng)用中，用哪一個統(tǒng)計量來描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，需要根據(jù)數(shù)據(jù)的特征和問題的具體情況做出恰當(dāng)?shù)倪x擇。

二、變式拓展，深入探究

例2 某公司月工資情況如下：

___________________________員工_____________________________經(jīng)理______副經(jīng)理___________________________職員A____________________________職員B____________________________職員C___________________________職員D___________________________職員E___________________________職員F_____________________________雜工月工資/元____20000______10000______5800_______4000_______3200_______3000_______3000_______3000_______2000_______

該公司三位職員對收入情況作出如下評價。

甲：我的月工資是3200 元，在公司中算中等收入；

乙：我們好幾個人的月工資都是3000元；

丙：我們公司員工收入很高，月工資為6000元。

請你用所學(xué)知識回答下列問題：

（1）甲所說的數(shù)據(jù)3200 元，我們稱之為該組數(shù)據(jù)的________；（填平均數(shù)、眾數(shù)或中位數(shù)）

（2）乙所說的數(shù)據(jù)3000 元，我們稱之為該組數(shù)據(jù)的________；（填平均數(shù)、眾數(shù)或中位數(shù)）

（3）丙是用什么方法得出6000元的？

（4）甲、乙、丙三人的說法中，誰的說法可以較好地反映該公司職員收入的一般水平。

【分析】本題主要考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義，需根據(jù)實際情況分析得出答案。

解：（1）甲所說的數(shù)據(jù)3200 元，我們稱之為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

（2）乙所說的數(shù)據(jù)3000 元，我們稱之為該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

（3）由（20000+10000+5800+4000+3200+3000×3+2000）÷9=6000（元），可知，丙是用計算平均數(shù)的方法得出6000元的。

（4）因為平均數(shù)受到了這組數(shù)據(jù)中極端值的影響（經(jīng)理、副經(jīng)理月工資），所以不能反映該公司職員收入的一般水平。根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的意義可得：甲、乙兩人的說法能較好地反映公司員工收入的一般水平。

三、中考鏈接，總結(jié)提升

例3 （2019·浙江溫州）車間有20 名工人，某一天他們生產(chǎn)的零件個數(shù)統(tǒng)計如下表：

__生產(chǎn)零件個數(shù)（_______個）_____________________________________9_____________________________________10_____________________________________11 12___________________________________13___________________________________15___________________________________16___________________________________19____________________________________20工人人數(shù)（人）1_______1_______6_______4 2_______2_______2_______1_______1_______

（1）求這一天20 名工人生產(chǎn)零件的平均個數(shù)。

（2）為了提高大多數(shù)工人的積極性，管理者準(zhǔn)備實行“每天定額生產(chǎn)，超產(chǎn)有獎”的措施。如果你是管理者，從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的角度進(jìn)行分析，你將如何確定這個“定額”？

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計算方法進(jìn)行計算即可；（2）求出中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，從大多數(shù)員工能夠完成任務(wù)來確定“定額”。

答：這一天20 名工人生產(chǎn)零件的平均個數(shù)為13個。

（2）中位數(shù)為12個，眾數(shù)為11個。當(dāng)定額為13 個時，有8 人達(dá)標(biāo)，6 人獲獎，不利于提高工人的積極性；當(dāng)定額為12 個時，有12 人達(dá)標(biāo)，8 人獲獎，不利于提高大多數(shù)工人的積極性；當(dāng)定額為11 個時，有18 人達(dá)標(biāo)，12 人獲獎，有利于提高大多數(shù)工人的積極性。因此，定額為11 個時，有利于提高大多數(shù)工人的積極性。

通過以上探究，我們深知，只有熟知平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念及意義，才能在解決實際問題時根據(jù)具體情況做出適合的選擇。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實驗中學(xué)）

挑 戰(zhàn) 壓 軸 題

為了防控新冠疫情，某地區(qū)積極推廣疫苗接種工作，衛(wèi)生防疫部門對該地區(qū)八周以來的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集整理，繪制得到圖表如下：

該地區(qū)每周接種疫苗人數(shù)統(tǒng)計表

該地區(qū)全民接種疫苗情況扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，建立以周次為橫坐標(biāo)，接種人數(shù)為縱坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系，并根據(jù)以上統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)描出對應(yīng)的點，發(fā)現(xiàn)從第3 周開始這些點大致分布在一條直線附近，現(xiàn)過其中兩點（3，12）、（8，42）作一條直線（如圖所示，該直線的函數(shù)表達(dá)式為y=6x-6），那么這條直線可近似反映該地區(qū)接種人數(shù)的變化趨勢。

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）這8 周中每周接種人數(shù)的平均數(shù)為____萬人；該地區(qū)的總?cè)丝诩s為____萬人。

（2）若從第9 周開始，每周的接種人數(shù)仍符合上述變化趨勢。

①估計第9 周的接種人數(shù)約為____萬人；

②專家表示，疫苗接種率至少達(dá)60%，才能實現(xiàn)全民免疫。那么，從推廣疫苗接種工作開始，最早到第幾周，該地區(qū)可達(dá)到全民免疫的標(biāo)準(zhǔn)？