一類時變系統的變增益自抗擾控制方法

李迎光 陳仁義

摘? 要：文章針對一類具有時變性質的受擾線性系統，設計一種可實現干擾抑制的變增益自抗擾控制方法。通過設計時變增益的擴張狀態觀測器，完成對系統的狀態觀測和擾動估計。基于狀態反饋的控制律完成對總擾動的補償。最后，通過在MATLAB/Simulink中的數值仿真進行了變增益自抗擾控制與線性自抗擾控制的對比實驗，仿真結果驗證了該文所提方法的有效性。

關鍵詞：時變系統；干擾抑制；擴張狀態觀測器；自抗擾控制；時變增益

中圖分類號：TP391；TP271? 文獻標識碼：A? 文章編號：2096-4706（2023）06-0017-04

Variable-Gain Active Disturbance Rejection Control Method for a Class of

Time-Varying Systems

LI Yingguang， CHEN Renyi

（School of Electrical Engineering， North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou? 450045， China）

Abstract： In this paper， a variable gain active disturbance rejection control method for interference suppression is designed for a class of perturbed linear systems with time-varying characteristics. By designing an extended state observer with time-varying gain， the state observation and disturbance estimation of the system are completed. Complete the compensation on the total disturbance based on control law of state feedback. Finally， a comparative experiment between variable gain active disturbance rejection control and linear active disturbance rejection control is carried out by numerical simulation in MATLAB/Simulink， and the simulation results verify the effectiveness of the proposed method.

Keywords： time-varying system; disturbance rejection; extended state observer; active disturbance rejection control; time-varying gain

0? 引? 言

控制是指通過施加適當的輸入信號，使被控對象或過程自動地按預定規律運行[1]。眾所周知，控制的主要的目的就是使系統不受外部干擾或非期望因素的影響，得到系統穩定的最終結果。當然，系統的設計的關鍵問題就是使系統性能滿足預期的要求，同時也要使系統在一些非期望因素影響的條件下保持或接近期望的狀態。系統的設計要求就是盡可能準確且迅速地是被控系統的輸出可以與給定的輸入信號匹配。然而，被控系統中或許存在一些不確定性以及外部環境會對系統產生一定的干擾。如果被控系統的模型建立是十分精確的，就可以根據此數學模型并結合給定的輸入信號選擇合適的控制方法以滿足系統的設計要求。但是，無法避免的是系統的內部不確定性和環境的外部干擾。因此，系統的實際控制設計過程中，需要重點考慮的就是選取合適的方法進行擾動和不確定性的抑制，這無疑是系統設計中的核心問題。

反饋是自動控制領域的一個重要主題，精髓在于利用誤差來減少誤差。反饋控制可以根據系統的輸出與其相應的期望值比較得到對應的誤差，并利用此誤差反饋給控制器以達到消除誤差的目的。這種基于誤差消除誤差的思想在控制策略的發展中起到了至關重要的作用。

眾多抗擾控制策略都擁有一個共同的框架，就是基于觀測器的反饋控制思想，通過建立一個用于估計擾動和不確定性的觀測器，觀測器輸出用于控制器中的擾動補償，進而減少或者消除擾動對系統產生的不利影響。主要有干擾適應控制（Disturbance Accommodation Control， DAC）、基于擾動觀測器控制（Disturbance Observers， DOB）、自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control， ADRC）等。

自抗擾控制是一種優秀的抗擾控制策略，是借鑒現代控制理論同時在經典控制論思想精華的基礎上構建的[2]。自抗擾控制提出將積分串聯環節視為一種標準型，將區別于系統標準型之外的部分視為總擾動，并將其擴張為一個新的狀態。如果可以得到這個總擾動的估計值，就能在控制器的設計中完成擾動補償。因此，在觀測器的設計中，創新性地提出擴張狀態觀測器以完成系統狀態和總擾動的觀測輸出估計，從而在控制器中完成對總擾動的消除。這種控制方法將復雜系統的設計簡單化，而且更加直觀地完成對系統的還原。它獨特的擾動估計和補償思想在很多領域都取得了顯著的成果。

自抗擾控制中的核心問題就是擴張觀測器的設計，因為它關系到對系統狀態和總擾動的觀測估計，在控制律中起到關鍵作用。影響觀測器效果的主要因素就是觀測增益的選取，選擇合適的觀測器增益對控制系統設計起到至關重要的作用。因此，本文研究一種變增益自抗擾控制的設計方法，目的是針對一類時變受擾系統，達到擾動抑制的效果。

1? 自抗擾控制

自抗擾控制是一種主動抗擾控制方法，在擾動影響系統輸出之前，主動進行擾動抑制。這種控制機制可以從被控系統的輸入和輸出中建立觀測器完成對總擾動信息的觀測估計，并通過反饋控制器產生擾動補償的控制律，以達到抗擾和穩定輸出的目的。自抗擾控制的基本框架圖如圖1所示。

自抗擾控制主要由控制器、被控對象和擴張狀態觀測器組成[3]。該控制機制的主要思想就是把區別于標準積分系統以外的部分視為總擾動，并將其視為新的狀態變量，同時在觀測器的設計中加入對擴張狀態的估計，最后在控制器的設計中完成對總擾動的補償。擴張狀態觀測器是自抗擾控制機制中最重要的部分，它完美解決了抗擾控制中對擾動的觀測問題，其獨特的擴張狀態觀測思想與傳統狀態觀測器結合，不依賴系統的模型，只需要系統的輸入和輸出就可以完成對擾動的觀測，進一步得到相應的觀測估計值。

控制器的設計可以分為線性控制器和非線性狀態控制器。針對一些非線性系統，可以在控制器前面加入跟蹤微分器，安排參考輸入信號過渡而得到產生過渡過程的誤差信號、誤差微分信號、誤差積分信號，將三種信號組合起來，可以得到相似于PID控制的線性控制器或者組合為非線性控制器。然而，非線性自抗擾控制的結構復雜且需調節參數過多，理論分析煩瑣，不利于工程應用。針對這些不足，線性自抗擾控制被提出來解決了這些問題。線性機制下的控制器和擴張狀態觀測器都是線性形式，同時實現了控制器帶寬和觀測器帶寬為參數變量，大大減少了調參的難度。ADRC線性化將其調整參數與帶寬相聯系，使ADRC參數概念更直觀，整定更加簡單，大大促進了ADRC的推廣。在自抗擾控制的基礎上，也存在著許多改進的控制方法，但是不變的就是擴張狀態觀測器的存在。

首先，以二階系統為例，被控對象為：

（1）

式中，y和u分別為系統的輸入和輸出，w為外部擾動。a0和a1以及w均未知，b部分已知（記為b0），將式（1）改寫為：

（2）

其中f即為包含了內擾和外擾的總擾動：

接下來選取狀態變量：

則被控對象式（2）轉換為新的連續的擴張狀態空間描述為：

（3）

其中：

針對上面的擴張系統式（3），可以設計對應的擴張狀態觀測器為：

（4）

其中? 是對x的估計，L是需要設計的觀測器增益。線性自抗擾為了使擴張觀測器式（4）特征方程的極點位于同一極點處[4]，即觀測器帶寬ω0，可以取觀測器增益為 可以保證? 這樣就簡化了觀測器的調參問題。

控制器的設計是基于觀測器狀態和擾動估計，對于上述的二階系統，其形式為：

其中，r是給定的輸入值， 和? 是擴張狀態觀測器的狀態估計， 是對總擾動的估計，k1和k2是需要設計的控制參數。同樣經過參數化，可以將控制參數與控制器帶寬ωc相聯系：。

2? 變增益自抗擾控制設計

接下來，本文主要考慮一類新型的變增益自抗擾控制的設計方法。

針對一類具有周期時變性質的系統，以二階為例，形式為：

（5）

其中，a1（t）和a0（t）是以T為周期的時變參數。

離散控制器可以通過離散化連續控制器或者基于系統的離散化模型直接進行理論設計。對ADRC設計離散控制器，有助于其在數字和計算機控制系統的廣泛應用。線性自抗擾控制的離散化包括兩部分，為擴張狀態觀測器和控制器的離散，其中控制器部分是擴張狀態觀測器的觀測狀態輸出和觀測擾動輸出的組合，不同的組合方式得到不同形式的控制器。因此線性自抗擾控制的離散化主要是對擴張狀態觀測器的離散設計。選用常用的離散化方法——當前歐拉法對其系統式（5）進行離散化設計：

將歐拉公式應用到擴張系統中，可以得到：

其中，h為離散系統的采樣周期。

將x3（t）+h（-a0（t）x2（t）-a1（t）x3（t）-a1（t）bu（t））和外部擾動w視為總擾動，接下來的任務是對擴張后的狀態空間模型設計擴張狀態觀測器，目標是得到狀態變量和總擾動的估計值，進一步設計觀測器為：

（6）

其中：

Lc為待設計的觀測器增益。與連續系統的觀測器增益設計相似，將特征方程的極點位于同一位置β處：

λ（z）=|zI-（Φ-LH）|=（z-β）3

可以求得：

離散觀測器極點與連續觀測器可以互相轉換，具有如下的關系：。

然而，本文考慮的系統具有周期參數，在此設計一種變增益的觀測器，即擴張狀態觀測器的極點也是與系統參數同周期變化的。在保證觀測器穩定的前提下，得到時變的觀測器增益，這樣可以提高觀測器的估計精度。針對不同變化參數的系統，可以通過選擇合適的觀測器極點，取得良好的控制效果。

3? 仿真分析

在上述分析的基礎上，本文選取一個如下的例子：

其中a0（t）和a1（t）是以3為周期的時變參數：

外部擾動為t=5時的幅值為-2的階躍擾動，b=1。

接下來按照自抗擾控制的設計方法，將 視為總擾動，并將其擴張為一個新的狀態。采樣時間h選取為0.001，利用歐拉法可以得到離散化后的系統。線性自抗擾控制選擇的觀測器帶寬和控制器帶寬分別為：ω0=60，ωc=15。控制器的設計是基于擴張狀態觀測器的狀態輸出觀測和擾動輸出觀測。本文提出的變增益方法中選取同樣的控制器帶寬ωc，而對觀測器帶寬進行改進。顯而易見，被控系統中存在周期時變部分，采用變增益帶寬的形式可以取得更好的觀測效果，這里取：

在選取好參數后，在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型如圖2所示。

仿真測試采用對比實驗，其中上面一部分采用線性自抗擾控制方法，下面一部分采用變增益自抗擾控制方法，在相同給定輸入和外部擾動的條件下，進行比較。

其中DESO是采用Simulink中的離散狀態空間模塊DiscreteState-Space，其中的參數A，B，C，D設置為：

該模塊的輸入是控制量u和系統輸出y，模塊的輸出是觀測向量 。本文的方法設計為DESO1，由于涉及時變增益，采用S函數進行編寫自定義模塊，實現相應的功能。眾所周知，Simulink的連接是以模塊為單位的。在S函數的框架下，利用M語言或者C語言進行對子方法的調用，與S-Function模塊共同構成Simulink的自定義功能模塊，可以實現用戶期望的動作[5]。這樣得到的模塊與Simulink通用模塊庫里的模塊一樣，可以描述連續系統、離散系統或者混合系統。一個S函數由多個子函數組成，包括模塊初始化、采樣時刻計算、模塊輸出計算、離散狀態量的更新以及終止條件，等等。

本文的設計難點就是對變增益擴張觀測器的模型建立。在此，為了實現周期時變增益的目的，利用S函數編寫自定義模塊，根據時間的變化先設置相應周期的時變增益，并在對應時刻賦值于擴張狀態觀測器中，形成一個周期變增益觀測器，也進一步達到了本文的設計目標。仿真結果如圖3所示。

由圖3可以看出，給定的輸入值為5，實線輸出1是線性自抗擾控制方法下的系統輸出，虛線輸出2是本文所提出的變增益自抗擾控制方法下的系統輸出，在相同外部擾動情況下，變增益自抗擾控制方法的響應時間和控制精度都要優于線性自抗擾控制，其中在t為2時，擾動產生，系統很快恢復穩定。圖4是兩種方法的擾動估計比較，兩種方法的觀測輸出估計均為總擾動。

4? 結? 論

本文設計了一種變增益自抗擾控制方法，有效地解決了一類時變系統的擾動抑制問題。針對一類具有特殊時變性質的受擾線性系統，首先對其進行狀態擴張，將內部擾動和外部擾動視為總擾動，便于在控制器中消除這些因素對系統的影響。同時采用歐拉法對擴張后的系統進行離散化處理。基于線性自抗擾控制的參數化增益設計思想，在觀測器設計中采取時變增益的形式，提高了觀測器的估計準確性和系統的控制精度。基于狀態反饋的控制器完成對總擾動的補償。在仿真實驗中，本文提出的變增益方法要優于傳統的自抗擾控制，具有一定的優越性。

參考文獻：

[1] 王璐.基于觀測器的抗干擾控制策略研究及性能評估 [D].上海：上海交通大學，2015.

[2] 朱斌.自抗擾控制入門 [M].北京：北京航空航天大學出版社，2017.

[3] 韓京清.自抗擾控制技術：估計補償不確定因素的控制技術 [M].北京：國防工業出版社，2008.

[4] GAO Z Q. Scaling and bandwidth-parameterization based controller tuning [C]//Proceedings of the 2003 American Control Conference.Denver：IEEE，2003：4989-4996.

[5] 孫忠瀟.Simulink仿真及代碼生成技術入門到精通 [M].北京：北京航空航天大學出版社，2015.

作者簡介：李迎光（1998—），男，漢族，河南駐馬店人，碩士研究生在讀，研究方向：自抗擾控制；陳仁義（1995—），男，漢族，河南新鄉人，碩士研究生在讀，研究方向：自適應控制。

收稿日期：2022-11-23