數學和古典詩詞的意境

數字嵌入詩詞，早已有之。鄭板橋有詠雪詩：

一片兩片三四片，

五六七八九十片。

千片萬片無數片，

飛入梅花都不見。

詩句抒發了詩人對漫天雪舞的感受。不過，詩中盡管嵌入了數字，卻實在和數學沒有什么關系。數學和古典人文的聯接，貴在意境。不妨從徐利治先生的一段往事說起。大約在1993年，在無錫黿頭渚開過一次數學方法論的研討會。有一天下午，徐先生作報告。他說了一個故事：

“我在數學分析課堂上，先在黑板上寫了李白的名詩：

故人西辭黃鶴樓，

煙花三月下揚州。

孤帆遠影碧空盡，

唯見長江天際流。

然后問同學們哪一句可以和極限概念相通？大家的共同回答是‘孤帆遠影碧空盡’。這說明，數學和詩詞是可以溝通的。”

徐先生的演講觸動了我的心弦。我似乎看到了數學和人文意境互相溝通的隧道。徐先生的例子事關“無限”。無限，乃是數學家和人文學者都要面對的問題。彼此解決的途徑可以不同，但是思考時的意境必然會有相似之處。

于是，我接著思考有關“無限”的詩句。首先想到的是陳子昂的《登幽州臺歌》：

前不見古人，

后不見來者。

念天地之悠悠，

獨愴然而涕下！

一般的語文解釋說：前兩句俯仰古今，寫出時間綿長；第三句登樓眺望，寫出空間遼闊；第四句描繪了在廣闊無垠的背景中，詩人孤單寂寞悲哀苦悶的情緒，兩相映照，分外動人。而從數學上看來，這是一篇闡發時間和空間感知的佳作。前兩句表示時間可以看成是一條直線（一維空間）：陳老先生以自己為原點，“前不見古人”指時間可以延伸到負無窮大，“后不見來者”則意味著未來的時間是正無窮大。后兩句則描寫三維的現實空間：天是平面，地是平面，悠悠地張成三維的立體幾何環境。全詩將時間和空間放在一起思考，感到自然之偉大，產生了敬畏之心，以至愴然涕下。這樣的意境，數學家和文學家可以共有。尤其是，把時間和空間放在一起思考，可以說也在意境上與愛因斯坦的四維時空學說相銜接。我把這一想法和語文學者交談，他們也覺得很有意思。但是，在應試教育盛行的標準化考試面前，這無論如何不能算標準答案，無法進入語文研究的視野。

無限有兩種：其一為沒完沒了的“潛無限”，其二是“將無限一覽無余”的“實無限”。有一次，一個朋友來家閑坐，談起0.9999……=1對不對時，他隨口說數列的無限就像長江流水滾滾來。這促使我想起杜甫的名詩《登高》中的兩句：

無邊落木蕭蕭下，

不盡長江滾滾來。

前句指的是“實無限”，即實實在在全部完成了的無限過程、已經被我們掌握了的無限。“無邊落木”就是指“所有的落木”，這個實無限集合，已被我們一覽無余。后句則是所謂“潛無限”，它沒完沒了，不斷地“滾滾”而來。盡管到現在為止，還是有限的，卻永遠不會停止。數學的無限顯示出“冰冷的美麗”，杜甫詩句中的“無限”則體現出悲壯的人文情懷，但是在意境上，彼此是聯通的。

我的第二波思考是將數學思想方法和古詩意境聯接起來。有一年，我在河內參加一個會議。新加坡南洋大學的李秉彝教授和我同住一個旅店。他喜歡到古玩街閑逛，有一天收來一把茶壺，上面有詩句：

松下問童子，言師采藥去。

只在此山中，云深不知處。

品玩之余，我們突然感覺到這首小詩在人文意境上和數學存在性定理彼此相通。文學家欣賞“云深不知處”的蒼茫意境，而數學家則會關注難以名狀的一種不確定性。隱者在哪里？“云深不知處”，但是他確實就在此山中。與數學的意境何等契合！

數學上常用反證法。你要駁倒一個論點，只要將此論點假定為正確，然后據此推出明顯錯誤的結論，就可以推翻原論點。蘇軾的一首《琴詩》就是這樣做的：

若言琴上有琴聲，

放在匣中何不鳴？

若言聲在指頭上，

何不于君指上聽？

意思是，如果“琴上有琴聲”是正確的，那么放在匣中應該“鳴”。現在既然“不鳴”，那么原來的假設“琴上有琴聲”就是錯的。由此可見，人文的論辯和數學的證明，都需要遵循邏輯規則。

最近，我開始第三波的數學意境研究，將數學問題求解的過程，用古詩意境加以比喻。這里也有一些例子。

首先是關于黎曼積分和勒貝格積分。蘇軾《題西林壁》詩云：

橫看成嶺側成峰，

遠近高低各不同。

不識廬山真面目，

只緣身在此山中。

將前兩句比喻為黎曼積分和勒貝格積分的關系，相當有趣。蘇軾詩意是：同是一座廬山，橫看和側看各不相同。勒貝格則說，比如數一堆疊好了的硬幣，你可以一疊疊豎著數，也可以一層層橫著數，同是這些硬幣，計算的思想方法卻差異很大。橫看和側看，數學意境和人文意境竟可以相隔時空得到共鳴，發人深思。

另一個實例是局部和整體。仔細琢磨一下微積分的核心思想之一，在于考察一點的局部。研究曲線上一點的切線，只考慮該點本身不行，必須考察該點周圍的一些點，這就是局部的思想。一點的局部，只是考察該點的“附近”，卻沒有遠近的確切要求。這種小大由之的概念，頗有一些哲學意味，它需要從意境上加以把握。為什么考察一個人，要問他/她的身世、家庭、社會關系？也是因為人是以局部而存在的。孤立地考察一個人是不行的。微積分學就是突破了初等數學“就事論事”、孤立地考察一點、不及周圍的靜態思考，轉而用動態地考察“局部”的思考方法，終于創造了科學的黃金時代。可是，現在的微積分教材，對此只字不提，頗覺遺憾。

考察局部，何止于微積分？最近讀到韓愈的詩句：

天街小雨潤如酥，

草色遙看近卻無。

突然想到，詩的第二句當是闡述拓撲學上局部和整體的一種文學意境描寫。就曲面來說，遠看可以有整體的區分，例如球面和環面。但是，近看卻都差不多，都是一個“圓片”：二維的歐氏平面的局部。這正如整體的草色只能“遙看”，一旦近了，到局部狀態，那種“草色”就“近看無”了。

數學和人文意境的溝通，還有許多其他的例子。比如《道德經》所言的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，就和自然數的皮亞諾公理庶幾相近。

（源自“中國數學會通訊”）

責編：潘茜