例析高中數學問題解決的引導策略

毛嘉欣

摘要：本文以課本例題、課外練習、高考真題為例，從問題情境、問題表征、模式識別、變式問題四個角度分析了高中生數學問題解決能力的培養，通過例題的解析闡述解決數學問題的四種引導策略：理清問題，跳出情境；多元表征，探尋思路；識別模式，注重積累；變式問題，關注發展.

關鍵詞：問題解決；問題情境；問題表征；模式識別；變式問題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0056-03

關于問題解決的理論國內外一直有不少研究，如經典的波利亞[1]解題理論、喻平[2]對數學問題解決的認識等.在數學課堂教學中，問題解決可以看成是一個過程性活動，包含了問題情境、問題表征、問題提出、問題拓展等要素.隨著新課改的推進，課堂教學越發重視對學生發現和提出、分析和解決問題能力的培養[3].作為數學教師，不僅需要從分析問題情境、靈活表征問題、注重識別模式、拓展變式問題等角度培養學生的問題解決能力，還需要在平時幫助學生積累一定的問題模式，厚積薄發，使學生在面對問題時更易產生新的思路.

1 理清問題，跳出情境

數學問題常與一定的情境聯系在一起，在提倡數學與生活、其他學科間聯系，提升學生解決實際問題能力的今天愈發突出[4]. 但是，已有研究表明，不少學生比較畏懼數學閱讀理解題，覺得無從下手. 因此，解決這類問題的前提是理清問題，跳出情境[5]，具體來說即為梳理題意，簡化情境表達，將復雜文字表述轉化成與所求聯系密切、更易發現情境背后蘊含的數學關系或規律的結構形式，以便后續進行分析、推理和運算. 在求解問題時，教師應幫助學生提高數學閱讀能力，使學生學會邊讀題，邊對情境中蘊含的關鍵信息進行分析、整理，以更好地將情境轉化為數學問題.

例1為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局據相關法律宣布從2020年6月8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班在入境后核酸檢測結果為陽性的旅客人數達到一定數量后，由民航局對其發出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運行（達到5個暫停運行1周，達到10個暫停運行4周），并規定“熔斷期”的航班量不得調整用于其他航線，“熔斷期”結束后，航空公司方可恢復每周1班航班計劃.已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率為12，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是12，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率為23. 一條“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為pn.

（1）求p2；

（2）證明：pn-25為等比數列；

該題題設較長，初讀不易立即找出題中蘊含的數學關系，可以在讀后調整好心態，再次閱讀、速覽甚至跳過介紹問題背景信息的冗長文字，找出并簡化處理包含數字的主要信息，理清思路. 就本題而言，可將“達到5個暫停運行1周，達到10個暫停運行4周”簡記為“5個→停1周，10個→停4周”；而對后續的一組概率，由于涉及相鄰兩次航班被熔斷的概率關系，可以以樹狀圖的形式將其表示出來（參考圖1），使問題的呈現方式更符合大腦的認知加工模式以跳出情境.

結合上圖易得對于（1），第2次航班被熔斷的概率為條件概率，需分第1次航班是否被熔斷進行思考，則有p2=12×12+12×13=512；對于（2），由于pn表示第n次航班被熔斷的概率，若將圖1轉化為更為簡潔的數學符號語言，易得遞推公式pn=12pn-1+13（1-pn-1）n≥2，同時有p1=12，由此即將情境轉化成了數學問題. 推導易得pn-25pn-1-25=16n≥2，又∵p1-25=110，故數列pn-25是以110為首項，16為公比的等比數列.

2 多元表征，探尋思路

問題表征是指問題在學生腦中的呈現方式[6]，其表現形式包括系統間表征和系統內表征：前者指在文字表征、圖形（表）表征、符號表征、操作性表征四種數學表征系統間的表征轉換；后者包括變量替換、初等幾何變換、恒等變形、映射變換.表征方式的不同會影響學生對問題的理解，進而影響解題思路的發現[7]. 在平時的課堂教學中應有意識地引導學生從多個不同的角度思考問題，轉變學生看待問題的角度，提高學生思維的靈活性、解決問題的能力與效率.

3 識別模式，注重積累

數學是一門研究模式的科學.而模式識別作為一種解題策略，最早源于人工智能領域，具體內涵是指在解決數學問題時，關聯、調用有關知識識別眼前模式以解決問題[8]. 它以問題表征為基礎，又是實現解題遷移的前提條件.在平時的教學中，教師不僅應有意識地揭示自己的思維過程，教會學生觀察、分析問題以發現思路、識別模式，幫助學生實現從“知其然知其所以然”到“何由以知其所以然”的轉變，也應進一步歸納總結、提煉模式，使學生在今后遇到復雜問題時能夠自主進行分解、轉化，盡量往熟悉的思路、模式上靠攏，減少出現頭腦空白的狀況.

例3 （2022新高考Ⅱ卷22） 已知函數fx=xeax-ex.

（3）設n∈N*，證明：112+1+122+2+…+1n2+n>lnn+1.

不難發現要證不等式中，不等號的左邊是n項和的形式，右邊為1項，因此可以試著從兩個方向轉化求解：一是通過消項求得左式的n項和，或對左邊各項進行放縮得到與右式有關又易于求和的形式；二是通過構造，將右邊 1項拆成n項和的形式，繼而逐一與左邊的每一項進行大小比較. 對于112+1+122+2+…+1n2+n，一時不易從頭腦中搜索到有關的求解模型，而對于lnn+1，常見拆分模式是將其轉化為lnn+1=lnn+1-lnn+lnn-lnn-1+…+ln2-ln1+ln1=lnn+1n+…+ln21=ln（1+1n）+ln（1+1n-1）+…+ln（1+11），此時，要證的命題就轉化為1n2+n>lnn+1n或1n2+n>ln（1+1n）. 這時，如果直接就這一形式構造相應的函數，構造出的函數似乎有些復雜.又注意到在后一個關系式中，右邊出現了1n，左邊也易于轉化為與1n有關的形式，因此可將要證的命題進一步轉化為1n1+1n>ln（1+1n），進而構造函數g（t）=t1+t-ln（1+t）（t=1n）. 而為方便之后求導，可將其進一步轉化為g（t）=t+1-11+t-ln（1+t），并令x=1+t=1+1n以將其改寫為更易于求導的形式g（x）=x-1x-2lnx，此時只需通過求導證明g（x）>0（x∈（1，2］）恒成立即可證得原題.

4 變式問題，關注發展

題后拓展是問題解決的重要一環，在解決問題后通過改變部分條件提出新的問題，如求解逆命題、一般化后的命題等，可以讓學生在一系列的問題變式中意識到問題是多樣的，體會知識的關聯，提高思維的靈活性，促進知識的遷移，最終提高學生解決問題的能力，以在面對非常規的、需要進行一定思維努力的問題時敢于嘗試，敢于類比、聯想，產生獨具個人風格的思路.

例5 已知Sn是等比數列an中的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，求證：a2，a8，a5成等差數列.

該題是人教A版選擇性必修二《等比數列》中的一道習題，學生借助等比數列的概念及求和公式容易證得結論，教師在教學中可以進一步設置如下變式問題以引導學生加深對等差與等比數列聯系的認識：

變式1已知Sn是等比數列an中的前n項和，Sp，Sp+q，Sq成等差數列，求證：ap，ap+q，aq成等差數列.

結論：對于等比數列，在公比不為1的條件下，3項前n項和 （n最大的那項放中間，且n最大的那項的項數等于另兩項的項數之和） 成等差數列與對應數列或各項的項數差一個常數情況下的對應數列成等差數列等價.

參考文獻：

［1］?波利亞.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.

［2］ 喻平.數學教育心理學[M].南寧：廣西教育出版社，2004.

［3］ 楊勇.核心素養下高中數學問題解決策略[J].教學與管理（中學版），2019（11）：60-63.

［4］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［5］ 林偉.核心素養“三會”視域下數學閱讀的教學實踐[J].福建中學數學，2021（9）：12-15.

［6］ 余建國.模式識別理論指導下的數學解題教學：以一道高考解析幾何題為例[J].教育研究與評論（中學教育教學版），2019（8）：64-68.

［7］ 謝海燕，姜慧慧，張晉宇，等.我國八年級學生數學表征能力的調查研究[J].基礎教育，2016（1）：65-70.

［8］ 于文華.基于數學問題解決的模式識別研究述評[J].數學教育學報，2012，21（3）：11-16.

［責任編輯：李璟］