初中生數學建模能力培養策略探索

■楊樹波

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》明確指出，初中數學中的基礎知識包括初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理等，以及由其內容所反映出來的數學思想和方法。在這一理念的指導下，教師應更加注重數學思想方法的形成和發展過程，注重數學思維的生成、數學建模能力的培養。數學建模的思想方法蘊含于抽象知識的形成過程之中。要培養學生的數學建模能力，教師需要具備專業的建模觀念，注重概念框架的基本形成過程，模型建構的設計、推導、驗證過程，方法設計的邏輯論證過程和問題探究的實踐論證過程，引導學生思考、觀察、歸納模型的建構過程。

一、在概念形成中進行數學建模

數學概念是數學對象內在的本質屬性及其特征在人的思維體系中的規律性反映。在實施概念教學時，教師可以在概念形成過程中滲透模型化的數學思想、特殊與一般的辯證思想、分類的數學思想等，助力學生生長數學思維、挖掘數學思想方法。

例如，在教授蘇科版數學八（上）“平面直角坐標系”時根據數學建模思想，筆者準備幾種座位票，座位票的種類包含有排無號、有號無排、有排有號、排號互換、無排無號等，設計了“找朋友”的游戲，規則如下：教室各排從左到右依次是1 號、2 號……從第一排1號開始，學生從教師手中抽取座位票，然后尋找座位票位置上的朋友。找不到朋友的學生，請他們說說“找不到的原因”“如果要找到位置，還需補充什么條件”。學生的好奇心一下子被激發，立刻進入教師設計的情境中，體會到了從生活場景到數學問題的抽象概括，以及數學思維的形式化和數學表達的符號化。

有序數對模型的有效建立使數學化思維過程真實發生，讓學生親身經歷了真真切切的數學建模的過程。學生在主動探索的過程中，知識得到生長，能力得到發展，數學思維得到提升，數學思想方法得到落實，領悟到數學建模在解決問題中的可行性和必要性。這樣的數學建模是學生主動地、積極投入地接受學習的過程，學生學習的主體性得到充分發揮。

二、在規律探究中進行數學建模

數學建模教學是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善的過程。在定理、公式、法則等一般規律的科學探究過程中，教師應設計真實問題情境，積極引導學生自主歸納數學思想方法，啟發學生通過感性的直觀背景材料或根據已有的知識經驗去發現規律；不要過早地呈現結論，讓學生參與從問題提出到問題解決的全過程，引導學生領悟數學模型建構的一般方法，理解建立數學模型是解決實際問題的一種有效手段。

例如，在教授蘇科版數學七（上）“有理數的減法”時，筆者首先給出“自學指導”：某地一天的氣溫是-3℃～4℃，求這天的溫差。有的學生猜1℃，有的猜7℃。筆者先引導學生觀察溫度計，數一數某地這天的氣溫相差多少度，再引導學生列算式。學生列出4-（-3），不會計算。筆者引導學生聯系小學減法的意義，可知：被減數-減數=差，變形得：差+減數=被減數。4-（-3）=（），其實就是（）+（-3）=4，而7+（-3）=4，故（）=7。因此，4-（-3）=7。而通過溫度計，我們知道4+3=7。請學生觀察上述兩個算式有什么不同點。討論中，有理數的減法法則就被學生很好地提煉出來了。

在運算法則動態生成的過程中，學生親身經歷了法則的探索過程，體會到成功的喜悅，最重要的是參與了數學分析、探討、發現、建模等過程。學生在自主探索過程中，碰撞了思維的火花，經歷了試錯的體驗，生成了必要的耐挫品質。雖然在自主探索中習得知識常常顯得較為緩慢，但教育本來就是一種“慢的藝術”。在此過程中，學生的心智、情感、人格得以喚醒、激發、強化和發展。有了自主探索作為學習的基礎和起點，學生數學思維的生長才是穩健的、久遠的，數學建模思想的滲透才是根深的、牢固的和可持續的。

三、在問題解決中進行數學建模

數學建模思想的形成離不開問題的設計，數學的思想方法蘊含在解決數學問題的思考過程之中。數學問題的解決就是從未知到已知事實的一步步抽象、推理，遵循數學思想指引的方向，最后形成數學模型。因此，我們在教學中應當注重突出思維的形成過程，展現數學思想方法的應用過程，提升數學建模能力。

例如，在教授著名的“將軍飲馬”問題時，筆者創設問題情境，讓學生理解并自主歸納了轉化的數學模型。問題：有位將軍從牧場放牧歸營，先到河邊讓馬飲水，然后回到營地，已知營地和牧場在河的同一側，怎樣走，才能使所行路線最短？

小組討論后展示思考結果：我們都知道兩點之間線段最短，要使所行路線最短，便要把牧場A、河邊、營地B的折線行程轉化為直線行程。那么，作出牧場A關于河岸的對稱點A1（如圖1），連接A1B，與河邊相交于一點M，則由A到M再到B就是最短的行程。為什么這會是最短的呢？我們可以假設還有一個點M1，使A到M1再到B是最短的，如圖2，從圖中可知，由A到M再到B，實際是AM+MB=A1M+MB=A1B，而由A到M1再到B，其路程為AM1+M1B=A1M1+M1B。在△A1M1B中，可得A1B

圖1

圖2

通過對問題的步步探索，學生不僅系統理解了問題探究的本質，還促進了數學思維方式的自主生長、數學思想方法的凝練提升和數學模型的自主建構。學生面對各種新問題，既能遷移、聯想熟悉的相關知識、技能、方法，來分析和解決新問題，又能獨立自主地探尋、發現和選擇解決新問題的途徑及操作依據。問題解決后，學生再次交流思維方法的形成過程，逐步內化為自主建構的必要能力，形成從問題到素養的知識遷移。在這一過程中，學生獲得了探索問題的樂趣，品嘗到了成功的喜悅，增強了自主學習的動力，提高了分析問題和解決問題的能力。