合理改編教材例題，提升學生數學思維
——以蘇科版數學七（上）“線段、射線、直線”為例

■李愛民 余葉軍

教材中的例題是專家經過反復推敲、精心選擇的教學資源，一般設計在新概念、新命題之后。教材中的例題教學是教師用作示范講解的重要手段，也是幫助學生理解，掌握，運用數學概念、定理和法則等相關知識的有效途徑。囿于教材的篇幅，教材例題的設計不可能面面俱到，也不可能關注到各類學生的認知情況，這就需要教師將例題適當改編設計，以便更好地發揮例題的育人功能。下面，筆者以蘇科版數學教材七（上）第6章第1 節“線段、射線、直線”中的一道例題為例，淺談如何提升學生數學思維。

一、原題呈現

例1如圖1，線段AB=8，C是AB的中點，點D在CB上，且DB=1.5，求線段CD的長。

圖1

本題涉及中點定義和線段和差關系的應用，是一道典型的線段求長問題。本題看似簡單，但因為學生對中點定義的應用以及線段和差關系的推理都比較陌生，在實際解題中，往往會出現下列認知障礙：

①語言選擇障礙。例如，根據點C是線段AB的中點，學生可以得到AB=2AC=2BC，，但部分學生不知道選擇哪個結論來求線段CD的長。

②語言轉換障礙。當前學生的數學語言表達是通過列算式或者列方程的方式，還不會用“因為……所以……”的方式進行幾何推理，所以學生能列算式求出CD的長，卻不能將算式語言轉化成推理語言。

③語言組織障礙。因為求CD的長不是一步就能解決，所以部分學生不知道先用哪個條件，容易出現表達混亂的狀況。例如，有些學生發現CD可以用BC減去BD來求，第一步就寫“∵CD=BC-BD”，當發現BC的長需要通過中點的定義來求時，又寫“∵點C是線段AB的中點”，將兩個條件寫在一起了。

二、例題改編

要把文章寫好，必須先把句子寫好。同樣，要把推理寫好，必須先把基本的概念、命題的幾何語言寫好。例題中涉及中點定義和線段和差運算，所以筆者采取先分后合、先易后難、先具體后開放的改編策略。

變式1如圖2，點C是線段AB上一點。

圖2

①圖中有幾條線段，它們之間有什么數量關系？

②若AB=8，AC=3，求線段BC的長。

③如果讓你添加線段長，你還能提出什么問題？

④如圖3，如果在線段AB上再添加一點D，圖中又有哪些線段？如果求線段CD長，你有哪些方法？

圖3

⑤圖3 中，若AB=8，AD=5，BC=6，求線段CD的長。

⑥請結合圖3，重新給定一些線段的長，為你的同桌設計一個新問題。

【設計意圖】變式1 設計了6 個問題，前3 個問題涉及3 條線段，后3 個問題涉及6 條線段，難度由易到難，螺旋上升。求線段長的關鍵是找到線段之間的數量關系，問題①和④是讓學生觀察分析找到線段間的數量關系，并會用和差的方式表示，培養學生從復雜圖形中分解基本圖形的能力；問題②和⑤主要是教師示范用“因為……所以……”來推理；問題③和⑥是讓學生模仿用“因為……所以……”來推理，強化推理語言書寫的規范性；問題③是師生互動，目的是教師引導學生推理，及時發現、解決學生存在的問題；問題⑥是生生互動，借助小組合作，互助互學，排除推理障礙；問題③和⑥都是開放式問題，能滲透分類思想，培養創新意識，也能培養學生提出問題、解決問題的能力。

變式2①移動圖2 中的點C，當滿足什么條件時，點C是線段AB的中點？

②如圖4，點C是線段AB的中點，若AB=8，求線段AC的長；若AC=4，求線段AB、BC的長。

圖4

③如果將問題②中“點C是線段AB的中點”換一種表述方法，你會如何改編問題②呢？

④如果將問題②中“點C是線段AB的中點”換成AC=2BC，又應該如何求解相關線段長呢？

【設計意圖】一個定義往往有兩層含義：一是作為條件，二是作為判定依據。變式2要讓學生充分理解這兩層含義，所以問題①是將中點定義作為判定依據，問題②是將中點定義作為條件；問題②用中點的兩個結論分別求線段長，排除語言選擇障礙；問題③進一步引導學生理解中點的定義，感悟文字語言和符號語言的對應關系；問題④是跳出中點定義之外，感悟中點定義的本質（一種線段間的數量關系），滲透方程思想，體會求線段長的一般方法。

變式3在圖4 中，點C是線段AB的中點，如果在線段AB上再添加一個點D。

①如圖1，若AB=8，DB=1.5，求線段CD的長。（教材例題）

②請自己在圖4 中添加點D的位置，并添加適當的條件，設計一個新的問題。

【設計意圖】在經歷線段和差推理和中點推理之后，再出示教材例題（問題①），難度系數大大降低，學生也能感受到復雜問題實際上是基本問題的融合；問題②讓學生自主設計問題，因為設計問題和解決問題是兩種互逆的思維方式，能更好地理清線段間的數量關系，理順推理過程的書寫順序，培養完整的思維方式。學生在設計問題時，必然會借鑒教師的設計，以及之前在例1、例2 中獲得的經驗，自覺運用類比、轉化的數學思想。

三、教學反思

1.例題改編要分析學生認知障礙，剖析設計意圖

教師改編教材例題要摸清例題的設計意圖，分析學生可能會出現的認知障礙，提前干預，將認知障礙消滅在萌芽狀態，提高例題教學效率。

本節課例題的設計意圖是讓學生理解中點的意義，會用“因為……所以……”的方式表達線段中點定義和線段和差數量關系。這是一種新的語言表達方式，因此，學生在語言的選擇、轉換、組織、表達等方面均存在不同程度的認知障礙，教師必須引導學生循序漸進，打好扎實的基礎。為了排除這些障礙，筆者采用先拆后合的方法，讓學生先用“因為……所以……”表達線段和差，再用“因為……所以……”表達中點的定義，最后將兩個問題融合，完成教材例題的教學目標。

2.例題改編要關注學生認知差異，推動全體發展

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（下稱《課標（2022）》）中提出，義務教育數學課程要致力于實現義務教育階段的培養目標，使得人人都能獲得良好的數學教育，讓不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養。在實際教學中，因為每個學生的知識基礎、認知結構不同，學生之間形成了認知差異。要想人人都能獲得良好的數學教育、人人都能得到發展，例題的改編就要遵循起點低、坡度小、螺旋上升的原則，既要有教師示范引領，也要有學生參與活動；既要重視獨立思考，也要重視合作交流。

由于面向的是七年級學生，所以本節課例題設計起點較低，目的是讓每個學生都學會最基本的推理語言。教師通過設計開放性的問題，一方面讓學生參與其中，另一方面讓學生有選擇性地做題。在問題設計過程中，基礎薄弱的學生可以模仿示例設計問題，通過同類問題的解答，學會推理，增強信心；基礎好的學生不滿足于模仿，他們思考問題全面，思維敏捷，不自覺地運用分類、類比等思想創造性地設計問題，通過成功的問題設計，滿足了他們探索的欲望，培養了提出問題、解決問題的能力。例題中設計生生互動的問題，目的是讓每個學生都得到不同程度的發展，培養學生的合作意識。

3.例題改編要調動學生自我監控，促進自我調節

《課標（2022）》強調學生是學習的主體。學習應該是一個主動的過程，教師要鼓勵學生自我監控學習。自我監控是參照一定的標準，主動跟進自己的學習目標、內容、效果等達成情況。自我監控是為了促進自我調節，增強學習的自我效能，激發學習數學的內在動力。在自我調節的學習中，學生的自我反映通常有兩種形式：一是自我認同，這是一種積極的自我反饋評價，能激發學生學習的興趣，提升學習的信念水平，它是實現“教而不教”的保障；二是自我適應、自我防御，這是一種調節性自我反饋評價，能調適學生的學習心理，優化學習策略。

例題設計要具有參與性，只有學生參與其中，才能調動自主監控，發現存在的問題，并在教師的引導示范下及時自主調節，達成學習目標；例題設計還要具有展示交流性，初中生喜歡展示自己，特別是在同伴面前，利用這個心理特點設計有層次的問題，讓不同層次的學生都有展示的機會，這樣的例題設計必然事半功倍。