立足認知起點?明晰算理算法

王嘉嘉

【摘 要】口算乘法是筆算乘法的基礎，學好筆算的前提是要打好口算這座“地基”。基于此，本文將從學生和教材雙向探析，把握學生認知起點；通過“情境中喚起意義，推理中深化模型，操作中勾聯算理，對比中抽象算法”四個維度加深學生對口算乘法中算理算法的理解；最后在回顧反思中促進學生不斷成長。

【關鍵詞】口算乘法 認知起點 算理算法

“多位數乘一位數口算乘法”是人教版數學三年級上冊第六單元第一課時的內容。學生在“表內乘法”和“100以內的加減法”的學習中，已經積累了一定的知識、經驗和能力。這些已有的認知對學生的學習起著多大作用？教師又該采取怎樣的教學方式落實教學目標？對此，筆者對本課做了如下教學分析、實踐與思考。

一、雙向探析，尋根追因知現狀

（一）學生認知背景分析

學習“多位數乘一位數口算乘法”之前，學生就具備了一定的邏輯起點：正確口算100以內加減法、熟練掌握表內乘法計算。故不能將它們置于零起點教學。那么，我們該如何根據學生已有的經驗整體把握設計教學？

基于以上思考，筆者對本校三年級169名學生做了前測，前測題為：請用你喜歡的方式計算13×2，并寫出你的思考過程。前測結果見表1：

通過統計，學生借助畫圖、連加、分步、列豎式的方法可以得出正確結果，且正確率高達90.53%。但學生中能明晰多位數乘一位數算理的卻很少。因此，筆者認為在教學中要關注學生的邏輯起點和現實起點，整體把握合理設計教學。

（二）教材編排分析

“多位數乘一位數口算乘法”主要建立在表內乘法的基礎上進行教學，其后續教學內容還包括筆算乘法和用乘法解決問題兩部分。教師在設計教學時怎樣才能做到基于教材又高于教材呢？為此，筆者對人教2001年版和2022年版教材進行了比對。

以2001年版教材為例（見表2）。教材中例1以游樂園為背景展開教學，引導學生利用連加、幾個幾的知識推理學習整十、整百、整千數乘一位數。例2的教學圍繞“帶250元錢夠嗎”這一問題展開，在學生無法準確計算得數的情況下無形中“逼”著學生用估一估的方法解決29×8大約等于多少。

以2022年版教材為例（見表3）。教材繼續沿用了之前的游樂園主題情境，以“3人要多少錢”為問題核心，在情境中引導學生利用小棒圖，結合連加和計數單位幫助學生理解20×3、12×3，通過算理算法的遷移完成200×3和12×4的學習。

對比新舊教材，筆者認為2022年版教材的編排更為合理。究其原因有以下幾點：一是2001年版教材從口算乘法一下跨越到用估算解決問題顯得較為倉促，同時把估算作為唯一解題策略方法單一，不符合三年級學生的認知規律；二是筆算要用到整十、整百、整千數乘一位數和表內乘法，所以2022年版教材在一位數乘整十、整百、整千數的口算后緊跟兩位數乘一位數（不進位）的口算，更顯知識的連貫性；三是2022年版教材新增的兩幅小棒圖更具直觀操作、數形結合的優點，能有效幫助學生理解算理、算法。

基于以上分析，可知口算是學好筆算的前提，為了更好實現本課的教學目標，筆者在教學中利用小棒圖這一抓手，試圖讓學生通過數形結合、對比溝通等方式溝通多元表征背后的運算原理，在操作探究、遷移類推中總結算法，提升學生的運算能力。

二、四步實踐，聚焦問題理脈絡

（一）創設中喚起意義

情境創設是利用熟悉的參考物，幫助學生將要探究的概念與熟悉的經驗建立聯系，引導他們利用經驗來解釋說明，形成自己的科學知識。計算學習往往枯燥乏味，機械、公式化的學習更易使學生產生厭煩心理，進而導致對數學學習漸失興趣。創設怎樣的情境更入情呢？筆者特意選擇了貼近學生實際生活的游樂園情境，試圖以境引情，激起學生的學習興趣。

【教學片段一】

教學出示：游樂園情境圖。教師引導“瞧，秋天是游玩的季節，這是游樂園項目價格表，3個小朋友游玩”，讓學生提出用乘法解決的數學問題并列式。

當學生呈現“5×3=15，8×3=24，12×3=36，15×3=45，20×3=60”這幾種方法后，筆者提問為什么都能用乘法來計算，以此引出乘法的運算意義。

培養學生的運算能力，理解運算意義是前提，而讓學生在具體情境中體驗運算的意義可提高學習的實效性。故筆者選擇2022年版教材沿用的、學生熟悉的“游樂園”主情境，并適當修改價格表為后續教學服務。在學生得出一位數、整十數、兩位數乘一位數的算式后，以“剛才的問題為什么都能用乘法計算”來喚起學生對乘法意義的認知，讓學生在信息解讀、對比聯系中明白解決實際問題的依據是運算的意義。

（二）類推中深化模型

新課標倡導的新型學習方式之一是在推理、探究中學習。但由于家庭、條件等環境因素的影響，學生的現實起點存在明顯差異。因此，教師在教學時要根據學生已有的知識經驗借助教具進行直觀教學，引導學生在推理中展開新知學習，通過知識間的遷移類推建立多位數乘一位數的口算模型，從形式上降低學生學習的難度。

【教學片段二】

筆者讓學生嘗試在計數器上表示“20×3，200×3”，引導學生思考：“為什么兩次都撥了3個2？如果再撥3個2，可以怎么撥？用哪個算式表示？”

根據學生的回答，筆者呈現板書后組織學生觀察3道算式的相同之處和不同之處。

在討論中小結：雖然計數單位不同，但都是利用計數單位把整十、整百、整千數轉化成表內乘法解決。

前測數據表明學生的認知程度存在很大差異，所以很難直觀理解口算乘法的算理、算法。故筆者借助計數器這一直觀模型讓學生經歷從“20×3”到“200×3”再到“2000×3”的探究過程。同時讓學生在“2個十乘3是6個十，就是60”這一已有經驗的基礎上通過看數位、撥珠子、說意義等活動幫助學生厘清算理，逐步建立“整十、整百、整千數乘一位數”的口算模型。

（三）操作中勾聯算理

鄭毓信教授曾言：數學教學不應求“全”，而應求“聯”，運算教學也當如此。運算的問題解決通常有多種算法或表示方法，但由于學生認知差異導致的算理含混不清，已是教學的痛點所在。教學中，教師往往需要對學生多樣的表達方法進行勾聯，打通知識間的共性，化異求同以促進學生算理的結構化理解。

【教學片段三】

筆者讓學生嘗試通過畫一畫、寫一寫證明12×3=36。學生分別以加法算式（見圖1）、畫圖（見圖2）、分步計算（見圖3）來表述自己的想法。在學生發表見解后，筆者讓學生嘗試在圖中找到10×3（3個10），2×3（3個2）分別在哪一部分。

三年級學生還處于具象思維階段，對純文字算理的表述和理解存在困難。因此，筆者讓學生經歷“畫一畫、寫一寫、圈一圈”等操作，借助小棒圖幫助其理解多元表征背后的共性，特設計了三次勾聯：一是結合小棒圖將12+12+12=36和12×3=36進行聯系，回顧乘法是加法的簡便運算；二是將分步計算和小棒圖進行溝通，引導學生圈出小棒圖每一部分對應的算式，通過圖式一一對應幫助學生直觀理解算理；三是在理解小棒圖的基礎上，再次對多種方法進行勾聯和歸納。三次橫向勾聯都是聚焦多元表征背后的算理“把12看成幾個計數單位分別乘3”。在操作中建構兩位數乘一位數的多種算法，使知識形成一個結構化體系，便于學生對算理的理解。

（四）對比中抽象算法

算法是對計算過程的抽象和概括，算法和運算技能的形成不是一步到位的，教師需要給予學生充分的比較、思考、交流的時間和空間，讓學生在感受、討論的基礎上進行計算方法的對比溝通，進而抽象出算法。

【教學片段四】

師：觀察算式“20×3，200×3，2000×3”，這3道算式有什么異同點？組內討論比較得出整十、整百、整千數乘一位數的計算方法。

【教學片段五】

師：（口述）每人玩一次旋轉木馬5元、一次登月火箭8元，兩項共13元，3個人一共要多少錢？每人玩一次旋轉木馬5元、一次過山車12元，兩項共17元，3個人一共要多少錢？

讓學生試著口算13×3、17×3，思考兩位數乘一位數要注意什么，123×3該怎么算。對比“13×3，17×3，123×3”3題，小結多位數乘一位數的計算方法。

低年級學生不善于用數學術語來表述算法，總結、概括的能力也較弱。為此，筆者設計了三次對比：一是將整十、整百、整千數乘一位數進行縱向對比得出計算方法；二是將兩位數乘一位數口算（進位和不進位）進行橫向對比，讓學生在計算中注意進位、積累算法經驗；三是在“去情境”狀態下將兩位數乘一位數和多位數乘一位數進行對比，引導學生用數學術語抽象運算方法，即把多位數分成幾個百、幾個十和幾個一乘一位數，再把乘得的結果相加。三次對比讓學生經歷了從“分”到“合”的計算過程、從直觀理解到抽象理解的內化過程、從已經學的到將要學的遷移過程，不僅提升了學生對運算結構的認知，還使運算知識得以生長和內化。

三、回顧進程，梳理反思方致遠

（一）合理選材，促進整體建構

第一次試教時，利用2022年版教材中的游樂園情境圖教學，但5個游樂項目的價格使學生回答的算式多而雜，不利于后續教學展開。第二次嘗試精簡游樂項目，修改個別數據展開教學，算理、算法的建構呈現出比較好的效果。所以，筆者認為今后在選取材料時需要思考以下幾點：一是所選材料是否貼近學生生活；二是所選材料能否利于后續教學；三是所選材料是否有助于知識間的整體建構。

（二）注重感知，夯實算理算法

第一次教學“20×3，200×3，2000×3”時，要求學生觀察3個算式并歸納算理、算法，難度太大以致學生表達不到位，甚至含混不清。再次教學時，選用計數器這一模型讓學生在觀察操作、聯系對比中夯實算理、算法，效果明顯得到改善。因此，筆者認為今后在教學計算課時，可以從以下幾個方面著手：一是借助多元表征直觀地感知；二是借助觀察操作有目的地感知；三是借助聯系對比深入地感知。

綜上所述，算理的理解和算法的形成是一個循序漸進的過程。要想讓學生更好地明晰口算乘法的算理、算法，筆者認為教師要立足學生認知起點，以生活情境為背景、活動探究為腳手架，在類推、操作和對比中感知、建立運算模型，讓學生在理解運算意義和算理的過程中掌握算法。