提升推理能力 發展數學素養

林森

［摘? 要］ 在初中數學教學中應開展直擊課程本質的“深度教學”，以此讓學生學會思考、學會探索、學會發現、學會學習. 文章以問題為主線，引導學生通過類比確定研究新知的基本方法和基本路徑，另外借助不同問題引發學生進行深度思考，以此深化知識理解，有效提高學生的推理能力，促進“教”與“學”的全面提升.

［關鍵詞］ 深度教學；深度思考；推理能力

推理是學生學習數學常用的思維方式，是學生學好數學的前提和保障. 在數學課堂上要重視學生推理能力的發展和提升，使其成為提升學生數學學習能力的“助推器”和落實學生核心素養的“穩壓器”. 在初中數學教學中，大多教師也很關注學生推理能力的發展，只不過發展學生推理能力的主要途徑是“刷題”，從短期效果來看，學生可以通過模仿、復制的方法解決一些相似的問題，但從長遠發展來看，學生的思維方式和學習能力并沒有得到“質”的提升. 為了改變這一現狀，在數學教學中應實施“深度教學”，教學中不要局限于單一知識的講解、單一問題的解決，應從整體和全局的角度去思考問題，建構認知體系，引導學生從特殊中抽象出一般數學思維和策略，這樣學生不再是數學教學的盲從者，而是高質課堂的建設者，以此提高學習積極性，提升思維品質［1］.

教學“直角三角形斜邊中線的性質”時，筆者以學生已有認知為出發點，借助層層遞進的問題來誘發學生深度思考，提升教學品質.

教學分析

本章節教學目標是在研究圖形性質和運動過程中，發展學生的空間觀念. 學習本節課前，學生已經掌握了等腰三角形的相關性質和判斷定理，以及研究幾何圖形的基本方法，這為本節課開展自主探究活動提供了知識儲備和方法保障. 教學中教師要改變“以教為主”的教學方式，通過創設不同問題來調動學生應用已有知識和已有經驗，用“聯系類比”和“問題引領”的方式讓學生學會探索、學會發現、學會抽象，發展學生推理能力［2］.

教學設計

1. 回顧思考

師：等腰三角形是什么圖形呢？

生齊聲答：軸對稱圖形.

師：很好，現在我們結合下面兩個問題回顧一下研究等腰三角形的基本方法，得到了哪些結論. （教師用PPT給出問題）

問題1：說一說等腰三角形的性質定理和判定定理分別是什么.

問題2：回顧一下研究性質定理的主要步驟是什么，研究方法是什么.

對于問題1，其涉及的內容在課堂教學中重點研究過，在練習中靈活應用過，教師也讓學生熟練記憶過，因此學生很快就給出了準確的答案. 對于問題2，教師引導學生結合教材內容進行溝通交流，一致認為研究定理主要經歷了四個步驟，分別是操作、探究、歸納、證明. 研究方法：通過動手操作（折疊），引導學生觀察頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線的關系，從而引發數學猜想；接下來通過合情推理和演繹推理相結合的方式進行推理驗證，得到了等腰三角形的性質定理；同時又構造逆命題，運用演繹推理進行驗證，得到了等腰三角形的判定定理.

設計意圖 在問題的引領下，引導學生回顧具體知識的研究方法，從而推廣為研究幾何圖形的基本方法，強化了學生對方法策略的認識，為研究新的幾何圖形做好了鋪墊. 同時在教學中與舊知相關聯，引導學生用“聯系類比”的方法思考問題、分析問題，使學生的思維更具邏輯性，有助于學生認知體系的建構. 另外，借助“聯系類比”更易于引發學生的情感共鳴，是“深度教學”的重要環節，更易于學生理解和接受.

2. 探索新知

環節1：合情推理，發現結論.

合情推理是基于已有認知水平的一種推理，其本質是利用已經驗證過的知識或方法去推理和驗證那些未驗證過的知識和方法，體現了由特殊到一般的思維策略，展現了深度教學的一般過程.

師：通過剛剛的回顧，我們已經總結和歸納了研究幾何圖形的基本思想方法，今天我們就來應用它來研究直角三角形的斜邊上的中線.

師：現在就利用我們課前準備的直角三角形，開啟我們的探究之旅.

師：結合研究等腰三角形的基本方法，你認為我們的第一步應該做什么呢？

生1：動手操作. 先通過“折一折”得到中線，然后再“量一量”，看看它與哪條邊存在什么樣的數量關系.

師：很好，現在請大家動手做一做、看一看，猜想一下這條斜邊中線會與哪條邊存在一定的數量關系呢.

生2：折疊后感覺斜邊的中線與斜邊應該存在著數量關系.

師：很好，現在我們就動手“量一量”，看看有什么發現.

生3：經過測量我發現斜邊的中線正好是斜邊的一半.

師：現在我們不用折疊法了，通過畫一畫、量一量，看看能否得到相同的結論.

設計意圖 合情推理是基于已有現實的一種推理，其本質是利用已經驗證過的知識或方法去推理和驗證那些未驗證過的知識和方法，體現了由特殊到一般的思維策略，展現了深度教學的一般過程. 教學中教師引導學生通過“畫”“折”“量”等操作活動，提出了猜想，并應用不同方法進行驗證，培養了學生合情推理能力，同時又為后面的演繹推理做好了鋪墊. 在折紙、測量等實踐活動中，教師為學生提供了自由的、廣闊的探索空間，引導學生通過折疊發現了蘊含其中的數學規律，讓學生在“做”的過程中逐漸發現了數學本質，有利于發展學生的直覺思維，有助于培養學生的空間觀念，發展學生的合情推理能力［3］.

環節2：演繹推理，驗證結論.

師：剛剛通過測量和折疊我們發現了直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數量關系，接下來我們需要做什么呢？

生齊聲答：驗證.

師：很好，判斷一個命題是否為真命題需要進一步驗證，那么如何用已學過的知識進行證明呢？

師：根據以上結論，你認為其本質是證明什么？

生齊聲答：線段相等.

師：那么有哪些方法可以證明線段相等呢？（教師預留時間讓學生回顧、交流）

生4：等腰三角形中等角對等邊.

生5：還可以利用全等三角形.

師：很好. 如圖1所示，我們先嘗試用生4的方法證明，看看這個方法是否行得通. （證明略）

師：如圖2所示，你是否能通過生5的思路，利用“全等三角形”的思路證明以上結論成立？（證明略）

以上證明對于大多數學生來講可謂輕車熟路，不過也有個別學生一時沒有找到解題的突破口，教師鼓勵學生進行互動交流，很快大家完成了證明. 證明結束后教師引導學生分別用文字語言和符號語言總結歸納出直角三角形斜邊中線的性質定理，教師詳細板書.

設計意圖 在教學中，教師將證明過程拆分成了若干小問題，在問題的引領下從不同角度探索論證了結論. 這樣將合情推理的探索活動與演繹推理的驗證活動有機地結合在一起，體驗了研究幾何圖形的基本方法，讓學生知道證明是探索活動的自然延續，是必不可少的一環. 教學中教師并沒有讓學生急于證明，而是借助問題讓學生理解問題的本質，即證明線段相等，這樣巧妙地將證明性質轉化為學生熟悉的證明線段相等的問題，這樣從已有的知識、經驗出發，為演繹推理提供了知識保障，符合演繹推理的特點. 通過前面問題的鋪墊，學生給出了不同的證明線段相等的方法，接下來教師讓學生運用不同的方法進行證明，這樣既順應了學生的思維發展，又豐富了學生的解題思路，為學生的全面發展創造了良好的契機. 同時，教學中教師改變了傳統的灌輸式教學，通過師生和生生互動交流的方式，引導學生自主構造恰當的輔助線，學生通過互動交流順利地找到了問題的突破口，有效地提升了學生的演繹推理能力. 可見，“刷題”并不是提升學生演繹推理能力的唯一途徑，還可以滲透于公式、定理的證明活動中. 這樣以問題為導向，鼓勵學生獨立思考、合作交流，體現了深度教學的教學理念，提升了學生的數學學習能力. 同時，教學中教師鼓勵學生應用不同的策略進行證明，通過對已有知識、經驗的遷移和重組，不僅鞏固了學生原認知，而且探索學習了新知，提升了學生的解題技能.

環節3：逆向推理，完善認知.

師：在學習等腰三角形時，學習了性質定理后，接下來研究的是什么問題呢？

生齊聲答：判定定理.

師：很好，那么以上命題的逆命題應該是什么呢？

教師預留時間讓學生思考，學生順利地給出了逆命題.

師：這個逆命題是否成立呢？你能將逆命題轉化為符號語言并證明嗎？

生6：如圖1所示，在△ABC中，AD=BD，BD=CD，求證：∠ACB=90°.

這樣通過文字語言和符號語言的互化，深化了學生對逆命題的理解. 轉化為符號語言后，問題更加直觀，更易于學生理解，學生順利地應用已有知識證明了給出的逆命題.

設計意圖 在研究線段、角、等腰三角形等平面幾何圖形時，學習了性質定理后會對知識繼續拓展，引導學生繼續研究它的判定定理，以此深化理解，提升學生的演繹推理能力. 另外，經歷命題的正逆互化有效地發展了學生逆向思維. 眾所周知，數學知識是靈活多變的，有時候一個問題稍加改動就變成了另一個全新的問題，那么在面對這些靈活多變的問題時，學生難免會出現思維障礙，苦思冥想也不能獲解，此時若從反面出發可能會有一些意外的收獲. 從實踐反饋來看，大多學生在思考和解決問題時主要依賴的是正向思維，學生的逆向思維意識淡薄，這就要求在平時教學中多關注逆向思維的發展. 如在證明了命題后，引導學生思考逆命題，這樣不僅可以訓練學生的逆向思維，而且可以有效提升學生的推理能力，有利于“深度教學”目標的達成.

這樣在探索中，將命題與逆命題聯系起來，學生的思維更加嚴謹，對性質定理的記憶更加深刻，有助于學生完成認知體系的建構. 在課堂教學中，教師應多為學生營造一些機會進行探索和驗證，以此豐富深度教學的內容，助力學生推理能力的提升.

3. 應用新知

習題訓練在數學課堂教學中是必不可少的一環，能起到深化知識的理解、鞏固和內化的作用. 那么為了發揮習題訓練的價值，教學中要少一些“就題論題”，應將知識和問題有機地結合在一起，注重培養思維的邏輯性和縝密性.

例1 如圖3所示，在△ABC中，AD是高，E，F分別是AB，AC的中點，若AC=8，AB=10，求四邊形AEDF的周長.

在解題前，教師沒有讓學生直接證明，而是給出了如下問題.

問題1：圖3中你是否發現了本節課的新知呢？

問題2：根據本節課所學的內容，在Rt△ABD中，你能得到哪些線段間的數量關系？在Rt△ADC中，你又發現了什么？

例2 如圖4所示，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分別是AC，BC的中點. 求證：MN⊥BD.

同樣，在解答例2前，教師先讓學生思考如下問題.

問題1：如圖4所示，你能找到直角三角形的斜邊中線嗎？如果找不到是否能夠通過構造的方法得到呢？

問題2：運用本節課所學的定理，在Rt△ABC中，你能得到什么結論？在Rt△ADC中呢？

問題3：在圖4中，除了Rt△ABC和Rt△ADC，還有其他的特殊三角形嗎？

問題4：回顧特殊三角形的性質，可以得到哪些結論？

設計意圖 例1較為簡單，直接應用本節課所學的性質定理就能輕松地證明結論. 例2具有一定的綜合性，既考查了本節課所學的內容，又考查了等腰三角形的性質. 在例2的證明過程中，教師沒有直接給出輔助線，而且借助問題引導學生自己添加輔助線，繼而得到“直角三角形斜邊中線”的基本圖形. 接下來又引導學生尋找其他特殊三角形，學生通過觀察發現了等腰三角形，最后應用等腰三角形“三線合一”的性質解決了問題. 在應用環節，教師既通過問題為學生指引了方向，又提供了適宜的空間讓學生獨立思考，這樣借助層疊的問題將相關知識有效地串聯在了一起，讓學生的思維更有邏輯性.

教學反思

無論是學習還是生活，推理都有著重要的應用，那么數學作為基礎學科，要充分發揮其學科價值，關注學生推理能力的培養和提升. 教師要認識到，學生推理能力的提升是一個長期的過程，需要滲透于課堂教學中，并貫穿始終，進而通過潛移默化的引導促進學生全面發展，提高學生綜合素養.

教學中教師借助不同的問題，誘發學生深度思考，引導學生通過觀察、探索、分析、交流，找到解決問題的突破口，以此樹立學生學習數學的信心. 此外，教學中教師應放手讓學生去探索和驗證，讓學生真正地參與到課堂教學中來，充分展示學生的思維過程，巧妙地借助問題情境引導學生發現有價值的規律，體驗數學發現之美.

總之，實際教學中教師應將培養學生推理能力的思想融于課堂教學，通過“由淺入深”的問題，引導學生深度思考，從而將知識和技能內化為能力，助力學生綜合素質提升.

參考文獻：

［1］ 劉東升. 追求適合初中學生的教學深度［J］. 中學數學月刊，2014（09）：20-25.

［2］ 李其踴. 初中數學核心素養之推理能力培養［J］. 新課程（中學），2017（08）：181.

［3］ 汪祥艷. 基于數學核心素養的初中數學教學優化策略［J］. 數學學習與研究，2019（05）：93.