DOK視角下的余弦定理、正弦定理復習課教學實踐與思考

【摘要】DOK理論指導下的復習課教學通過教學活動和任務的設計，推動學生深度學習和積極參與，培養學生高階思維和綜合能力.本文以余弦定理、正弦定理復習課為例，依據DOK的4個層級水平制定學習目標，設計教學活動，讓學生深入了解數學知識學習所需的數學方法、思維與思想，挖掘數學知識所蘊含的數學精神與文化價值，提升數學素養.

【關鍵詞】DOK理論；正弦定理；余弦定理；復習課

1基于DOK理論的復習課教學分析

1997年，美國學者諾曼·韋伯博士提出DOK（Depth of Knowledge）理論.在美國課堂聚焦學生思維和能力的改革推進中，DOK逐漸從評價領域中延伸和拓展到課堂教學領域，成為美國課堂教學設計的重要理論和方法[1].DOK理論和方法主要指向教學任務、活動和任務的設計，是推動學生深度學習和積極參與的學習工具，成為培養學生高階思維的教學設計工具[2].

DOK通過不同的活動、任務和問題檢測學生的認知水平，強調的不是內容的難度，而是學習的復雜度 [2].DOK將學生的認識水平分成：回憶與重現、技能與概念、策略性思維和拓展性思維四個等級，具體每個等級的認知水平如表1[1].

從DOK理論和活動看，教學活動的最終目標是培養學生的高階思維和綜合能力.實現這一目標需要教師從教學內容和學生特點出發，結合學科內容本身梯度設計具有不同認知水平要求的活動，促進學生深度學習，進而培養學生用知識解決問題的能力[3].用全面的、聯系的、整體的眼光處理數學知識，學生在充分參與學習過程中經歷運用數學的過程和數學再創造過程.積極建構與遷移運用，深入了解數學知識學習所需的數學方法、思維與思想，體會數學知識所蘊含的數學精神與文化價值，從而提升數學素養，這體現出DOK理論指導復習課教學是可行的，也是具有重要意義的.

2教學內容、目標與核心素養分析

余弦定理、正弦定理是2019版人教A版教材必修第二冊第六章第6.4.3節的內容，是平面向量應用的呈現和示范.學生通過余弦定理、正弦定理的學習進一步領悟向量法所蘊含的數學思想（教材中余弦定理、正弦定理的證明都運用了向量方法），掌握用向量運算解決幾何問題的基本要領和方法的同時，完善三角形的認知結構.余弦定理和正弦定理是刻畫三角形邊角關系最為重要的兩個定理，本節復習課旨在學生初步掌握余弦定理和正弦定理的基礎上完善認知結構，形成整體性知識體系，提升分析問題和解決問題的能力，獲得思維發展.

本節課旨在通過4個教學環節（如表2）實現如下目標：（1）掌握余弦定理、正弦定理；（2）從余弦定理、正弦定理互相推導的過程中建立學生研究幾何問題的認知系統，使學生逐步形成解決問題的基本方向和視角；（3）回歸數學的內涵和本質，把握知識本質，構建知識體系，思考深層結構，發展學生思維能力，提升數學核心素養，著眼于學生的長期發展.

學生通過理解和掌握余弦、正弦定理，獲得“四基”，增強“四能”，提升數學抽象、邏輯推理、數學運算核心素養.

3教學過程設計

3.1DOK1（回憶與再現）

情境1在三角形中，給出哪幾個條件（邊、角），可以唯一確定三角形的形狀？如何確定？

任務1敘述余弦定理、正弦定理.余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

a2=b2+c2－2bccosA，

b2=c2+a2－2accosB，

c2=a2+b2－2abcosC.

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.

asinA=bsinB=csinC=2R（R為△ABC外接圓半徑）.

任務2結合已知條件如何選擇定理？

學生討論得出結論.

任務3短平快練習.

例1△ABC的三邊分別為a，b，c，試解決下面的問題：

（1）cosC=15，a=1，b=5，求c；

（2）a=7，b=2，A=60°，求sinB和c；

（3）a=4，b=5，c=6，求cosA.

設計意圖本環節對應的是 DOK1 層級水平.通過情境一“在三角形中，給出哪幾個條件 （邊、角），可以唯一確定三角形的形狀？如何確定？”和任務1“敘述余弦定理、正弦定理”，教師帶領學生回顧余弦定理和正弦定理定義，從數學語言到符號語言，梳理總結方法，幫助學生重塑知識框架，實現知識回憶與重現．教師提出任務2“結合已知條件如何選擇定理？”，引發學生進行深入思考，進入本節課的學習.進一步使用任務3例1的短平快練習，有助于學生對定理進行簡單直接的應用，形成掌握基礎知識和方法的普通思維．

3.2DOK2（技能與概念）

情境2回顧用向量法證明余弦定理、正弦定理.

設計意圖教師在學生回顧用向量法證明后，總結在1981年全國卷和2011年陜西卷都考查了余弦定理的證明，余弦定理、正弦定理的證明可謂是“歷史名題”，歷史上，各個年代、各個國家的數學家對正余弦定理的證明展開了不懈地研究，證法多達幾十種.余弦定理、正弦定理的歷史（包括不同的證明方法、科學家的創新精神和思維方法）為教學提供了豐富的教學素材和思想養料.

任務4用正弦定理能證明余弦定理嗎？

解析以證明a2=b2+c2－2bccosA為例，即證sin2A=sin2B+sin2C－2sinBsinCcosA，而sin2B+sin2C－2sinBsinCcosA=sin2B+sin2C+2sinBsinCcos（B+C）=sin2B+sin2C+2sinBsinC（cosBcosC－sinBsinC）=sin2B+sin2C+2sinBsinCcosBcosC－2sin2Bsin2C=sin2B（1－sin2C）+sin2C（1－sin2B）+2sinBsinCcosBcosC=（sinBcosC+cosBsinC）2=sin2A，得證.

任務5用余弦定理能證明正弦定理嗎？

解析以證明asinA=bsinB為例，即證a2sin2A=b2sin2B，即證a21－cos2A=b21－cos2B，即證a21－b2+c2－a22bc2=b21－a2+c2－b22ac2，即證4b2c2－（b2+c2－a2）2=4a2c2－（a2+c2－b2）2，即證4b2c2－4a2c2=（b2+c2－a2）2－（a2+c2－b2）2，成立，此式顯然成立，原命題得證.

任務6兩個定理可以有哪些變形？

學生討論得出結論如下.

任務7可以有哪些化簡方法？

學生總結有三角恒等變換、平方、降次、因式分解等方法.

設計意圖本環節對應是DOK2層級，學生能通過任務4“用正弦定理能證明余弦定理嗎？”和任務5“用余弦定理能證明正弦定理嗎？”這個余弦定理和正弦定理的互推過程中，深入理解正弦定理和余弦定理的結構與特點，更好地實現三角形邊角互化．用不同的思路和方法證明正弦定理與余弦定理，能更好地體會聯想、轉化、分類討論等數學思想方法，能激發研究與探索的樂趣.正弦定理和余弦定理不僅可以相互導出，并且各自的三個關系式中的任何兩個都可以推出第三個[4].從這兩個定理與相關知識的聯系來看，可以解釋有些題目可以用兩個定理分別求解，不僅解決了學生的疑惑，也能促使學生更深入地思考.通過任務6“兩個定理可以有哪些變形？”和任務7“可以有哪些化簡方法？”，超越知識回憶和重現的思考、觀察深度，升華了對知識和方法的認識，提升了技能.

3.3DOK3（策略性思維）

例2△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求C；（2）若a+b=5，△ABC的面積為332，求c.

解析（1）視角1：正弦定理；由2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=2cosCsin（A+B）=2cosCsinC=sinC，得cosC=12.視角2：余弦定理；由2cosC·aa2+c2－b22ac+bb2+c2－a22bc=2cosC·2c22c=2c·cosC=c，得cosC=12.

視角3：射影定理，可得cosC=12；

由acosB+bcosA=c，得cosC=12.

（2）由余弦定理和正弦定理，得c2=a2+b2－2abcosC=a2+b2－ab，c=3.S=12absinπ3=3ab4=332，c2=（a+b）2－3ab，ab=6.

設計意圖例2一題多解，從不同的角度入手，有不同的研究方法和證明方法.

探究1△ABC中，若（1）C=π3；（2）a+b=5；（3）ab=6，三角形確定了嗎？

若分別減少（1），（2），（3），△ABC還能確定嗎？減少（1），即知a+b=5，ab=6，可求嗎？

減少（2），即知C=π3，ab=6，可求嗎？

減少（3），即知C=π3，a+b=5，可求嗎？

本探究以學生為主體，讓學生發現問題，讓基本數學活動經驗在學習過程中得到有效運用；以問題為主線，提出問題展開研究，讓基本知識和技能在學習過程中自然凸顯；以討論為引導，給學生思考的空間，讓基本數學思想在學習過程中融會貫通.

設計意圖本環節對應的是 DOK3 層級，學生從例2到探究1，開啟學生對題目的加工和改編，學生提出問題、分析問題、解決問題，學生在問題的分析與解決過程中進一步完善認知結構，觸碰問題本質，發展科學思維[5].這一環節中學生運用策略性思考和推理，包括復雜和抽象、邏輯推理，激發了連續多步的思維過程.引導學生深化數學思想方法，形成知識網絡體系，達到深度學習的目標.

3.4DOK4（拓展性思維）

探究2△ABC中，若已知C=π3，c=7，求a+2b的取值范圍.

設計意圖 本環節對應的是 DOK4 層級，探究2中非對稱結構的研究性任務，需要學生分析、綜合、反思，對學生應用所學知識解決問題的能力提出更高要求．學生在抽象概括所求結構特點和尋找解決方案的過程中能夠提高分析綜合能力，有效訓練學生抽象概括及科學推理能力，激發學生探究熱情并引起學生思維活動，開展拓展性思考，逐步升華到高階的認知行為.

4教學反思

本節復習課依據 DOK理論將學生的認識水平分成四個等級，根據其不同等級的思維要求設計和開發相應的活動、任務和問題.在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的7個任務和2個探究，積極參與、體驗探究、獲得發展，實現了深度學習.教師通過4個層級的活動設計將學生的思維一步步引向縱深，助推學生從普通思維→技能性思維→策略性思維→拓展性思維，促進學生高階思維和綜合能力的提升，助力教師改進教學，引領學生發現數學之美，領略方法之妙，拓展數學思維，感受數學文化，落實立德樹人，培育學生核心素養.

參考文獻

［1］王雪.基于DOK理論的高中化學隱性分層教學實踐研究［D］．延吉：延邊大學，2020：7．

［2］安續續.基于互動理論的小學生深度學習評價指標體系研究[D] .武漢：華中科技大學，2019：4-5.

［3］李桂旺.基于DOK理論的單元目標水平分級的嘗試 ——以人教版“牛頓運動定律”單元為例[J].物理教學探討，2018（10）：14-16.

［4］李昌官.“正弦定理和余弦定理”單元教學[J].中國數學教育（高中版），2018（09）：11-15.

［5］汪生，余建國.正余弦定理復習課教學新視角[J].中學教研（數學），2020（05）：4-6.

作者簡介

龐海燕（1981—），女，四川廣元人，中學高級教師；市教壇新秀，區骨干教師，獲省教學論壇一等獎、省優質課二等獎；研究方向為高中數學教育教學.