基于Comsol的夾芯板聲學(xué)特性仿真分析

董 鵬，龔 強

(1.海軍裝備部裝備項目管理中心，北京 100071；2.中國船舶研究設(shè)計中心，湖北 武漢 430064)

0 引 言

為靈活調(diào)控聲波的透射和損耗，在單層板、雙層板、加筋板的基礎(chǔ)上，多層均勻材料復(fù)合結(jié)構(gòu)受到廣泛關(guān)注，研究其聲反射和透射特性具有重要意義。

對于板結(jié)構(gòu)的聲學(xué)計算，學(xué)者們已提出了多種方法，包括模態(tài)分析法、統(tǒng)計能量分析法、波傳遞法等[1]。此外，傳遞矩陣方法也是研究多層介質(zhì)聲學(xué)特性的一種主要理論方法[2 – 4]，以上這些方法對于結(jié)構(gòu)形式簡單的平板結(jié)構(gòu)是方便可行的，但也存在局限性，如板結(jié)構(gòu)的外形變得復(fù)雜或者邊界條件有了改變時，以上這些方法很可能不再適用。近年來，隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)值方法得到廣泛應(yīng)用，即采用有限元法和邊界元法計算板結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性。趙洪等[5]利用數(shù)值解法研究了由彈性薄板、彈性板及消聲材料組成的多層復(fù)合結(jié)構(gòu)，在斜入射時反射系數(shù)、透射系數(shù)的頻率響應(yīng)和角分布特性。使用數(shù)值方法計算板結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性具有很多優(yōu)點，對于結(jié)構(gòu)外形與邊界條件適用性很強，并且能夠同時考慮多個因素對聲學(xué)參數(shù)的影響規(guī)律等[6 – 7]。仿真方法也存在不足，對于大型結(jié)構(gòu)，當(dāng)計算頻率較高時耗時過長，但隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，關(guān)于計算效率的問題已不是一個主要的障礙[8]。

1 基本理論

1.1 聲學(xué)有限元仿真

對于彈性體的聲學(xué)分析是一個流固耦合問題，彈性體在流體載荷作用下將會發(fā)生變形和運動，與此同時固體的形變等反過來也將對流體產(chǎn)生影響。在流體域中，聲壓的分布滿足下式：

式中：c0c0為流體中的聲速；pp 為聲壓；?為梯度算子；為梯度算子的轉(zhuǎn)置。

式(1)稱為Helmholtz積分公式，是求解結(jié)構(gòu)聲學(xué)特性的理論基礎(chǔ)。根據(jù)變分原理，上述連續(xù)計算域可被離散為多個小的計算域，也就是完成了單元離散，此時原有的積分公式被轉(zhuǎn)換為了線性方程組，通過數(shù)值方法求解表征結(jié)構(gòu)聲學(xué)特性的各個參數(shù)。

在彈性結(jié)構(gòu)中，位移及其導(dǎo)數(shù)也需要滿足結(jié)構(gòu)的振動方程：

式中：{FS} 和{FP}分別為固體結(jié)構(gòu)受到的機械激勵載荷與流體作用載荷；{δ}為結(jié)構(gòu)位移矢量，包含3個方向分量；[Ms]和[Ks]分別為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣和整體質(zhì)量矩陣，可通過單元剛度矩陣、單元質(zhì)量矩陣組裝得到。

其中：ρs為材料密度；[D]為彈性矩陣，反映了材料的本構(gòu)關(guān)系；[Bδ]為應(yīng)變矩陣，表示應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系；[Nδ]為位移插值形函數(shù)矩陣。此外，在流體和結(jié)構(gòu)的交界面存在連續(xù)性條件，包括結(jié)構(gòu)法向應(yīng)力與流體聲壓大小相等，以及法向質(zhì)點位移連續(xù)。最后，在本問題中切向應(yīng)力與位移都為0。

1.2 基于無限大平板的反射透射系數(shù)

對于無限大平板問題（厚度為d，密度為ρ，楊氏模量為E，泊松比為σ），平板兩側(cè)為2種不同的流體，分別為流體1和流體2，其中流體1的密度和聲速可表示為ρ1和c1，流體2中則為ρ2和c2。當(dāng)平面聲波從流體1向平板入射時（入射角為θ1），平板的反射系數(shù)R和透射系數(shù)T此時都為復(fù)數(shù)，如下式：

其中：G和H為傳遞矩陣中相應(yīng)的元素；Z1和Z2分別為流體1和流體2的阻抗，Zc為板中的縱波阻抗，Zb為板中的橫波阻抗，Zc=θc為板中縱波的折射角；θb為板中橫波的折射角。

1.3 有限元模型驗證

在計算聲學(xué)問題時，利用Comsol中的聲學(xué)模塊，可以模擬聲學(xué)物理場的狀態(tài)，將壓力聲學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)2個物理場進(jìn)行耦合，準(zhǔn)確地模擬出彈性體聲學(xué)分析的流固耦合力學(xué)問題，再利用Comsol聲學(xué)模塊中壓力聲學(xué)模塊的頻域接口對Helmholtz方程進(jìn)行求解，得到反射聲壓pra和透射聲壓pta，進(jìn)一步根據(jù)反射系數(shù)與透射系數(shù)的定義式(6)和式(7)求得反射透射系數(shù)。

本文利用Comsol進(jìn)行計算分析，為了驗證本文計算所使用的計算模型以及有限元軟件的有效性，將利用Comsol對單層金屬板聲強透射系數(shù)計算結(jié)果與理論解進(jìn)行對比驗證。有限元計算模型中平面波沿Y軸負(fù)方向入射，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。該單元從上至下被分為5層，最上層為完美匹配層（PML層），其厚度設(shè)置為10 mm；第2層為厚度為20 mm的水域，第3層為厚度為30 mm的鋁板，第4層同樣為厚度為20 mm的水域，最下層為厚度為10 mm的PML層。其中水域的密度設(shè)置為1000 kg/m3，聲速設(shè)置為1500 m/s。鋁板的材料參數(shù)為：泊松比σ=0.34，楊氏模量E= 6.58×108Pa，密度為ρ= 2.7×103kg/m3。在二維模型的x方向的邊界上設(shè)置周期性邊界條件，模擬無限大平板的情況。由圖2可知，2種方法得到的結(jié)果吻合度較好，驗證了本文計算所使用的計算模型以及有限元軟件的有效性，表明本文計算的準(zhǔn)確性較高。

圖1 驗證模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the verification model’s structure

圖2 鋁板聲強透射系數(shù)仿真結(jié)果與解析結(jié)果對比Fig.2 Comparison between simulation and theoretical results

圖3 夾芯板計算模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of the sandwich plate′s compute model

2 數(shù)值結(jié)果

利用Comsol對于無限大三明治夾芯板的聲學(xué)反射以及透射系數(shù)進(jìn)行仿真計算，夾芯板計算模型的結(jié)構(gòu)與有限元模型結(jié)構(gòu)相似，僅僅將鋁層替換為夾芯板。夾芯板的結(jié)構(gòu)見圖1，包括3層：厚度為30 mm的中間芯層，以及芯層兩側(cè)厚度為5 mm的面板。各層的材料參數(shù)如表1所示，其中E1,ρ1,μ1,η依次表示芯層材料的楊氏模量、密度、泊松比和損耗因子，E2,ρ2,μ2表示夾芯板蒙皮材料的模量、密度、泊松比。

表1 夾芯板各層材料參數(shù)Tab.1 Sandwich plate′s material parameters

本文主要探討夾芯層的厚度、材料屬性的變化對于夾芯板反射透射特性的影響規(guī)律，這主要是考慮到夾芯層的改變對于整體特性的影響較大。從芯層厚度與材料屬性2個方面給出夾層板聲學(xué)特性（反射與透射）的仿真結(jié)果，從中可見2個要素的影響規(guī)律。

2.1 芯層厚度的影響

研究夾芯層厚度的改變對于結(jié)構(gòu)的反射透射系數(shù)的影響，芯層厚度分別取為20 mm，30 mm和40 mm。從圖4可以看出，隨著夾芯層厚度的增加，夾芯結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)在0~20 kHz頻段下有明顯下降，且隨著芯層厚度的增加，結(jié)構(gòu)透射系數(shù)峰值對應(yīng)的頻率不斷向低頻移動且幅值有明顯增加。從圖5可以看出，隨著夾芯層厚度的增加，在0~20 kHz頻段下夾芯結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)會逐漸增大，且隨著芯層厚度的增加，結(jié)構(gòu)反射系數(shù)峰值對應(yīng)的頻率不斷向低頻移動且幅值逐漸降低。對這種現(xiàn)象的解釋，可以類比考慮均勻中間層的情況，根據(jù)已有結(jié)論，最大透射發(fā)生時其入射波波長正比于中間層的厚度，也就是說中間層厚度增加，其對應(yīng)的入射波波長也增加，或者說對應(yīng)頻率將下降。

圖4 不同夾芯層厚度下的透射系數(shù)Fig.4 The transmission coefficient under different thickness of the core

圖5 不同夾芯層厚度下的反射系數(shù)Fig.5 The reflection coefficient under different thickness of the core

2.2 芯層材料彈性模量的影響

研究夾芯層材料楊氏模量改變對于結(jié)構(gòu)的反射透射系數(shù)的影響。從圖6可以看出，隨著夾芯層材料楊氏模量的增加，結(jié)構(gòu)透射系數(shù)峰值對應(yīng)的頻率不斷向高頻移動且峰值逐漸降低。從圖7可以看出，隨著夾芯層材料楊氏模量的增加，結(jié)構(gòu)反射系數(shù)的峰值對應(yīng)的頻率不斷向高頻移動且峰值逐漸升高。芯層的材料彈性模量變化主要通過楊氏模量的改變，這里楊氏模量分別取為0.45 GPa，0.55 GPa和0.65 GPa。對這種現(xiàn)象的解釋，同樣可以類比考慮均勻中間層的情況。因為當(dāng)中間層發(fā)生最大透射時，其波數(shù)與厚度乘積為一常數(shù)，所以當(dāng)中間層的厚度不變，而改變材料屬性進(jìn)而影響縱波波速時，為保持波數(shù)不變，其對應(yīng)的頻率將發(fā)生相應(yīng)改變。楊氏模量增加導(dǎo)致波速增加，此時對應(yīng)的峰值頻率也要增加。

圖6 不同夾芯層楊氏模量情形下的透射系數(shù)Fig.6 The transmission coefficient under different Young′s modulus of the core

圖7 不同夾芯層楊氏模量情形下的反射系數(shù)Fig.7 The reflection coefficient under different Young′s modulus of the core

2.3 芯層材料損耗因子的影響

研究夾芯層材料損耗因子的改變對于結(jié)構(gòu)反射透射系數(shù)的影響，芯層材料的損耗因子分別取為0.05，0.1，0.2，得到結(jié)構(gòu)的透射和反射系數(shù)分別如圖8和圖9所示。從圖8可以看出，隨著夾芯層材料損耗因子的增加，結(jié)構(gòu)透射系數(shù)峰值不斷降低，而對應(yīng)頻率未發(fā)生明顯改變。從圖9可以看出，隨著夾芯層材料損耗因子的增加，結(jié)構(gòu)反射系數(shù)峰值不斷升高，對應(yīng)頻率未發(fā)生明顯改變。對于這種現(xiàn)象的解釋，仍然可以類比考慮均勻中間層的情況，結(jié)構(gòu)的損耗因子增大，會對結(jié)構(gòu)的共振產(chǎn)生抑制，從而導(dǎo)致峰值的改變，而損耗因子的改變對共振頻率的影響不大，故曲線峰值對應(yīng)頻率未發(fā)生明顯偏移。

圖8 不同夾芯層損耗因子情形下的透射系數(shù)Fig.8 The transmission coefficient under different loss factor of the core

圖9 不同夾芯層損耗因子情形下的反射系數(shù)Fig.9 The reflection coefficient under different loss factor of the core

3 結(jié) 語

本文針對三明治夾芯平板結(jié)構(gòu)，根據(jù)平面波正入射基本理論，利用有限元軟件Comsol開展聲學(xué)特性仿真分析，研究三明治夾芯平板在聲波正入射下的結(jié)構(gòu)聲學(xué)特性，具體包括反射系數(shù)與透射系數(shù)。首先通過與單一平板結(jié)構(gòu)理論解的對比，驗證了該仿真模型的準(zhǔn)確性；討論了正入射條件下，平板厚度與平板材料參數(shù)等變化對于三明治夾芯平板反射性能與透射性能的影響。該方法同樣適用于斜入射的情況，相關(guān)研究將在后面的工作中開展，總之，聲學(xué)有限元方法對于研究結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性是方便可行的。