例談高中數學微課的設計與制作

張青松

【摘 ?要】微課由于短小精悍，教學直觀、生動，同時具備進度自定、反復瀏覽的特點，教學時更能突出學習目標、精練學習內容，能使學生的學習效率得到有效提高。微課使傳統的教與學發生改變，為了讓學生個性化的學習需求得到滿足，意味著中學教師有必要掌握微課的設計與制作。

【關鍵詞】數學微課；橢圓教學；光學性質

隨著移動終端的普及，為應用微課提供了更廣泛的空間，尤其在疫情背景下，更是成為優化教學的重要手段。然而，多數一線教師對微課的設計和制作過程卻知之甚少。除了畏懼多媒體技術的操作，可供查閱的學科類微課設計案例少，也是多數教師不敢嘗試微課制作的主要原因。微課技術方面的問題，市面上的相關書籍較多，不再贅述。本文針對第二個問題，以在全國比賽中獲獎的微課“橢圓的光學性質”文本設計為例，從錄制工具及方法、教材分析、學情分析、教學設計、創作反思等重要環節逐一呈現，使讀者對微課的設計與制作有一個整體直觀的認識，進而制作出符合新課程理念的微課，更好地運用于教學中。

如果讀者想了解更多關于高中數學微課的實例，可以參見筆者的另外一篇拙文《以“指數函數的概念”教學設計為例談微課的設計與制作》。正如著名教學家陶行知所說：“思想與行為結合而產生的知識是真知識，真知識的根是安在經驗里的。從經驗里發芽抽條開花結果的是真知灼見，真知灼見是跟著智慧走的。”讀者若能在閱讀文章過后，結合教學實際親自制作微課，對教學能力的提升可能更有效。具體內容

如下：

一、教學分析

微課名稱及時長：橢圓的光學性質及應用，8分03秒。

錄制工具及方法：電腦、錄音話筒，PowerPoint 2003、Camtasia Studio、愛剪輯等軟件；方法是對PPT演示進行屏幕錄制，輔以錄音和視頻剪輯。

適用對象：新人教A版選擇性必修一及其他版本橢圓知識初學者。

教材分析：本微課內容出自2019年新人教A版選擇性必修一第三章的閱讀與思考。本課內容是橢圓知識的進一步拓展，既是數學與物理知識的綜合，也是高考命題的重要題源。

學情分析：從知識生成的角度看，經過初中物理的學習，學生已經知道光的反射定律，高中對橢圓的概念和性質進行了學習，對橢圓的光學性質的理解有一定的基礎。

教學目標：了解橢圓的光學性質，知道橢圓光學性質的解題應用和生活應用。

教學重點：了解橢圓的光學性質，知道光學性質在解題和生活中的應用。

教學難點：光學性質的數學證明。

二、教學過程

（一）情境引入

你好，本節微課講解“橢圓的光學性質”。平時看到的臺球桌都是矩形的，橢圓形的球桌你見過嗎？請觀察橢圓形球桌有什么特別之處。（展示視頻）

【設計意圖】 數學其實沒有想象的難，換個角度看問題就不一樣。視頻展示一種與眾不同的臺球玩法，既能激發學生的學習興趣，又能使其了解光學性質的背景。

（二）探究新知

如圖1所示，橢圓形臺球桌，玩的其實是橢圓的光學性質：從焦點發出的光線經橢圓反射后過另一焦點。借助一些小工具，很容易驗證這條性質，請看（如圖2所示，利用小鏡子、激光筆和硬紙片等常見工具進行實驗驗證）。

【設計意圖】 對橢圓的光學性質進行實驗驗證，進一步感受光學性質的真實性。

說到光學性質，眼前浮現出初中物理課本上的反射定律，還有那些曾經畫過的光路圖。已知AO是入射光線，請作出法線和反射光線。過入射點O作鏡面的垂線得到法線，入射光線AO上任取一點P作鏡面的對稱點P1，再連接P1O就得到反射光線，光路圖就完成了。

如果反射鏡面是曲面又如何作光路圖呢？對，先過入射點作鏡面的切線，再過入射點作切線的垂線就是法線，入射光線AO上任取一點A作切線的對稱點A，再連接AO就得到反射光線，光路圖也完成了（圖3）。

【設計意圖】 通過對初中物理復習，回憶光的反射原理，深化對橢圓光學性質的認識以及為探究證明提供依據。

（三）拓展提升

如圖4所示，請思考活動1的光路圖怎樣完成。

（稍作停頓后） 來看完成后的光路圖，從圖4中可看出從焦點發出的光線F1P經橢圓反射后過另一焦點F2。可以看出，光學性質等價于在P處的法線平分P對焦點F1，F2所張的角∠F1PF2。雖然實驗和光路圖都能直觀地驗證橢圓的光學性質，然而實際操作時均存在一定誤差，缺乏嚴謹性，那么如何證明橢圓的光學性質呢？

仔細觀察光路圖，能聯想到一些熟悉的東西。由橢圓定義可知與之和為定值，而切線是線段的中垂線，與相等，所以與之和為定值，即是在以為圓心的圓上運動，在圓內。問題就轉化為一道處理過的習題。

一道習題如圖5所示，圓O的半徑為r，定點A在圓O內，P是圓上的動點，直線l是線段AP的垂直平分線，l與半徑OP交于點Q。當P在圓O上運動時，Q點的運動軌跡是什么？請說明理由。

解：連接QA，由已知得|QA|=|QP|，所以|QO|+|QA|=

|QO|+|QP|=r，又因點A在圓內，故

|OA|＜|OP|，點Q的軌跡是以OA為焦點的，r為長軸的橢圓。

解決這個問題很簡單，但如果就這樣結束了，會有入寶山而空手回的遺憾，我們用幾何畫板來探索一下。

從動態演示中，我們可以看出中垂線與橢圓相切，怎樣證明呢？考慮到點是中垂線與橢圓的公共點，只需證明再無其他公共點就可以了。

【設計意圖】 學生在問題的轉化過程中實現了從感性認識到理性思維的飛躍，邏輯推理、數學運算等核心素養也相應得到提升。（本部分講解時應適當放慢語速。）

橢圓的光學性質1——從焦點發出的光線經橢圓反射后過另一焦點。等價于法線平分P對焦點F1，F2所張的角∠F1PF2。

建立平面直角坐標系，可以從運動的觀點處理切線斜率。

當P點在y軸上時，分子為0，切線斜率為0；當P點在y軸上時，分母為0，切線斜率不存在。橢圓焦點在y軸上時，可根據類似方法進行推導，這里就不再贅述。

【設計意圖】 要在解題中使用橢圓的光學性質，確定切線的斜率是很重要的一個步驟。從運動的角度處理斜率，能讓學生體會知識之間的聯系，也能進一步深化解析幾何設而不求的重要思想。

（四）應用示例

橢圓的光學性質也備受各地高考命題者的青睞，請看這道題。

【設計意圖】用所學知識解決高考題，既能讓學生體會光學性質在解題中的便捷性，又能提高他們學習解析幾何的信心，此外解題過程的詳細展示也有利于學生形成答題的規范性。

橢圓的光學性質在生活中有意想不到的應用，被譽為“二十世紀三大醫療新技術”之一的體外震波碎石術就是例證。醫學上對付腎結石的一種方案，就是讓人的腎結石位于橢圓的一個焦點的位置，碎石機在另一個焦點處釋放的高能沖擊波經橢圓面反射后集中于石頭上，將其擊碎，從而實現碎石的效果。

【設計意圖】學生感受數學知識與現實生活的緊密聯系，進而形成“數學有用，并且能用”的觀念。

（五）課后鞏固

最后，對微課“橢圓的光學性質及應用”作一個簡短的總結：

法線平分焦張角，切線斜率莫要忘，光學性質解題妙，數學好玩學得歡。謝謝你的認真觀看，再見！

【設計意圖】通過口訣形式總結所學知識，不但簡潔明了而且學生容易記住。

三、創作反思

微課正在改變著教師的教學，如何設計、制作和研究微課成為推動教學改革的重要路徑。本微課作品共設五個環節：情境引入、探究新知、拓展提升、應用示例、課后鞏固。五個學習環節層層遞進，盡可能增加學生自我學習、探究的時間和空間，微課以朗朗上口的順口溜形式對內容加以總結提升，激發了學生的學習興趣。微課的設計尊重了學生在自主學習時的獨特體驗，關注學生在解題過程中的心理，有效提升了學生觀察能力和解題能力，增強了學生應用數學的意識，落實了《普通高中數學課程標準（2020年修訂）》中“認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神”的目標。