交互式數值擬合與數值分析在大學物理實驗中的應用

杜海偉 曹浩源 朱泉水 吳濤 伏燕軍

摘 要：數據擬合和數值分析在科研、教學和工業生產中已被廣泛使用，包括用來分析實驗或工業生產中數據與理論結果的差別、分析實驗誤差、提高精度等。本文基于MATLAB圖形界面交互工具GUI結合數值擬合算法設計了一款交互式數值擬合和數值分析模塊，設計界面友好直觀、操作方便，能夠調用常用初等函數在后臺運算對實驗數據進行擬合，快速給出擬合函數和誤差，從而可以方便地分析實驗誤差大小，提供判別實驗是否合格的依據。該設計在大學物理實驗中能夠達到快速擬合實驗數據、提高數據處理精度、直觀分析實驗誤差的目標。采用兩個大學物理實驗的實例進行了驗證，經測試，該模塊實現了交互式數據擬合的功能，簡化了大學物理實驗中數值擬合和數值分析的過程。本項工作初步驗證了采用交互式數據擬合的思路用在判別驗證性實驗是否成功的可能性和優越性，對未來在便攜式智能工具（如智能手機或平板電腦）上采用相似的方法提高大學物理實驗教學質量和課堂管理效率提供了很好的思路。

關鍵詞：數值擬合；MATLAB；交互式；大學物理實驗

大學物理實驗是理工科大學生進行科學實驗基本訓練的一門完整的系統性的實踐性基礎課程，該課程通過學生實踐操作、親身體會實驗來加深對理論知識的理解，完成實踐動手能力和創新思維能力的培養［1］，是理工科學校人才培養的一個重要環節。如何提高大學物理實驗教學質量是高校物理教師必須考慮的問題。許多院校對目前的大學物理實驗進行改革，修訂課程標準和大綱，進行適當的添加或者刪減教學活動與內容，爭取提高教學效果，適應時代的發展，為學生后續的專業實驗課和專業實習培養扎實的基本功［2-3］。

傳統的大學物理實驗教學模式，包括自主預習、實驗操作、實驗報告、主體討論、課外探究與思考等內容。該模式下學生對基本實驗原理的理解和認識、興趣與愛好的培養等方面有一定的收獲，但是傳統的教學方法和評價對學生能力培養不夠突出，偏重于知識傳授，難以適應新經濟、新產業背景下對人才的培養要求，尤其是“新工科”專業的培養要求。與傳統工科相比，“新工科”更強調學科的實用性、交叉性和綜合性，注重信息通信、電子控制、軟件設計等新技術與傳統工業技術的結合，如人工智能、智能制造、機器人等［4-5］?！靶鹿た啤闭n程建設需要在授課中貫徹以學生為主體，并以其能力培養為導向，通過提高教師素養、改善實驗教學條件、細化評價體系以及開放的大學物理實驗演示實驗、課內外實踐教學平臺的改革等措施，優化大學物理實驗對理工科大學生的人才培養體系［6］。

虛擬實驗教學和遠程實驗教學的發展，在當代社會逐步顯示出其重要性，理工科實驗課程的教育不得不結合遠程實驗和虛擬實驗教學的形式［7-8］。由于線上開展虛擬實驗的各種限制，許多學生僅靠閱讀課本上的知識無法在規定時間內完全吸收實驗知識，也無法充分理解和思考實驗原理和實驗方法。因此，虛擬實驗平臺需要充分采用各種現代化信息手段，發揮遠程的虛擬實驗教學效果。在虛擬實驗操作過程中，學生通過虛擬實驗平臺進行多次實驗模擬，熟悉實驗的各個儀器和操作步驟，加深對實驗原理的理解［9-10］。虛擬實驗將線下實驗照搬到計算機上，與線下實驗相同，在大多數的虛擬實驗中，對實驗數據進行分析是必不可少的。通過數值擬合和數值分析后的結果來判斷實驗數據是否合理。如果這一過程能夠快速地實現，則可以迅速判斷學生是否需要重做實驗，以達到培養學生的目的。

本文根據實際教學需求，將數值擬合和數值分析方法引入大學物理實驗教學中，設計了一款交互式數據擬合和誤差分析工具，界面友好操作簡單，無須編寫程序，針對驗證性實驗的測量數據結合成熟的數值擬合算法在后臺運算給出擬合公式，并給出測量值和理論值的誤差，從而可以快速分析學生對實驗的操作是否可靠，評價學生對實驗的完成情況。該設計能夠提供一個考核學生實踐能力和“工匠”精益求精的工具，該思路對培養“新工科”建設的人才、實施多元化評價學生途徑以及豐富虛擬仿真實驗的課堂管理手段有一定的參考價值。

1 交互式數值擬合與數值分析模塊設計與測試

本節將介紹利用數值擬合算法——最小二乘法［11-12］和MATLAB及其圖形用戶界面GUI［13-14］設計具有友好界面的交互式數值擬合模塊的思路和各子模塊的功能，包括具體操作步驟，以及界面上各部分的功能。而后利用兩個大學物理實驗為實例來詳細介紹操作過程和該模塊的功能。

1.1 流程圖與子模塊功能介紹

本設計整體思路的流程圖如圖1所示：

如圖1所示，交互式數值擬合和數值分析各子模塊的具體操作步驟和功能如下：首先是準備數據擬合階段，在MATLAB軟件上運行主程序，進入選擇交互式界面，在界面上選擇合適的函數模型，本設計包含了常見的幾種初等函數模型：一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數、對數函數、三角函數。在主界面選擇函數模型后，進入選定的擬合函數界面。這里以一次函數模型界面為例（其他函數模型的擬合界面與一次函數模型界面基本相同），如圖2所示。界面上包括四個部分：數據框、擬合函數公式顯示框、擬合曲線圖和誤差圖，其功能分別為：“返回”按鈕點擊后將返回函數模型選擇界面；“擬合”按鈕點擊后顯示擬合結果，包括擬合曲線圖、誤差圖、擬合后的函數公式；“+”按鈕用于增加實驗數據輸入框；“清除最后一組數據”按鈕用于清空已有數據的最后一組數據和數據框。

選擇合適的函數類型后，進入數據輸入階段。該階段可以通過兩種方法進行實驗數據導入：通過界面上的“+”按鈕添加數據框，利用鍵盤在數據框內輸入實驗數據；通過菜單欄中“文件—導入數據”，選擇Excel文檔中的實驗數據導入該界面中，選擇的數據格式需要是兩列數據：第一列表示實驗設置的變量值，第二列表示對應的測量值。輸入實驗數據后進入數據擬合和作圖階段，直接點擊界面左上方“擬合”按鈕，則在后臺運行數值擬合程序根據輸入的數據對所選的公式采用最小二乘法進行擬合，在界面右側將從上到下分別顯示含擬合系數的函數公式、擬合曲線圖以及誤差圖，其中誤差值=擬合值-測量值。

最后進入判斷誤差大小階段，通過界面上顯示的擬合結果，根據實際實驗需求判斷擬合曲線的誤差大小，如果誤差值小于誤差范圍，則說明實驗成功；如果誤差較大，則返回實驗階段，重新測量實驗數據，重新進行擬合，重新判別實驗誤差。不同的實驗設備和不同的實驗項目，其誤差范圍要求不同，任課教師可根據誤差圖結合課堂實際狀況給出課程的誤差標準。

介紹完該模塊的流程和操作步驟后，下面結合兩個具體的驗證性物理實驗驗證上述流程的合理性和可行性。

1.2 實例一：光電器件特性測試實驗

第一個例子通過正比例函數例子對模塊進行測試。這里以大學物理實驗中的光電器件特性測試實驗為例演示上述的思路。該實驗的目的：了解光電器件電光轉換和光電轉換的原理、測試光電器件伏安特性和電光轉換特性［15］。實驗儀器有激光二極管、光敏電阻、電光器件特性測試儀、光電器件特性測試儀、激光功率儀及探頭。其中電光器件為激光二極管，光電器件包含光敏電阻和激光功率計探頭。實驗主要以激光二極管作為電光器件的代表，測試其電光轉換特性；以光敏電阻為光電器件的代表，測試其光電轉換特性。實驗內容有三個：（1）測試電光器件（即激光二極管）的電壓—電流特性和電流—功率特性；（2）測試光電器件（即光敏電阻）的電壓—電流特性，即光敏電阻在不同激光功率照射下的伏安特性；（3）測試光電器件的功率—電流特性曲線。這里測試以實驗內容（2）為主。

光敏電阻是一個基于光電導效應的、電阻依賴于光照強度的光電器件，即當不同光強的光照射到其表面時，光電材料內生成的光生載流子數目不同，從而使得其電阻依賴光強的改變而改變。本實驗中，采用任意一個功率的激光照射到光敏電阻上并保持功率不變，而后改變光敏電阻兩端的電壓，測出其電流并畫出伏安特性曲線。由歐姆定律可知，電阻的伏安特性曲線為一條直線，其斜率為電阻的倒數。本實驗中采用的光強不同，其電阻值會不同，直線的斜率不同。

令U為電壓，I為電流，R為電阻，則三者有如下關系：I=UR，以橫軸為電壓，縱軸為電流，電流與電壓成正比例函數關系（比例系數為電阻值倒數），此即為該器件的伏安特性曲線。實驗中電壓單位為伏特，電流單位為毫安。表1為所測的實驗數據，圖3為把上述數據帶入我們的軟件中顯示的擬合曲線和誤差曲線?？梢灾庇^看出，電流和電壓成較好的正比例關系，與驗證的理論模型符合，實驗誤差在10-2量級。若發現實驗誤差較大，則可重新操作實驗步驟、測試新的數據。

1.3 實例二：磁阻實驗

第二個例子為大學物理實驗中的磁阻傳感器及其應用實驗［15］。物質的電阻值在磁場中發生變化的現象為磁阻效應，利用磁阻效應能夠制作測量磁場和磁場變化的磁阻傳感器。本實驗主要利用各向異性磁阻傳感器測磁場的各項參數，實驗目的為了解各向異性電阻的原理并利用它測量磁場，實驗儀器主要有各向異性磁阻傳感器、磁場測量儀。

各向異性磁阻傳感器的磁感材料在外磁場中引起磁化，磁化的方向與外磁場一致，其電阻R與電流和磁化方向的角度θ有關：R=Rmin+Rmax－Rmincosθ。當電流的方向與磁化方向平行時，即θ為0度時，R=Rmax；當電流的方向與磁化方向垂直時，即θ為90度時，R=Rmin。因此該傳感器對方向靈敏。為了消除溫度等外界非磁場的因素對測量結果的影響，一般采用四個相同的測阻元件構成惠斯通電橋，電橋的工作電壓為Ub，輸出電壓為U，則二者有如下關系：U=Ub×ΔRR，ΔRR即為外磁場引起的電阻變化率。保持電橋的工作電壓Ub不變，則外磁場引起的電阻變化使得輸出的電壓發生變化。

這里測試各向異性磁阻傳感器的各向異性特性。在實驗中保持傳感器的方向不變，改變外磁場的方向，從而改變磁化方向與電流方向的夾角θ（單位為度），電橋輸出電壓U∝Ccosθ。表2為測得的角度與電壓數值。圖4為數據的擬合關系和誤差?？梢钥闯?，實驗數據擬合的公式為y=1.0039cosπx180+0.00073665，誤差值為10-2量級，誤差較小，因此可知實驗結果非常接近理論公式U∝Ccosθ。若實驗誤差較大，則可快速判斷實驗失敗，需要重新測量。

1.4 線上與線下模式的比較

采用本模塊在實驗課堂上對實驗數據進行現場分析，無須了解數值擬合的算法，無須編寫計算機程序，也可快速判斷實驗數據誤差大小，對驗證性實驗的理論公式的認識更直觀，擬合的曲線會使得印象更深刻，從而達到較好的教學效果。因此，在線下常規模式下的實驗教學可以借助本設計模塊開展教學活動。

對比線下教育，線上教學近年來得到較大發展，并日益受到各界的重視。目前線上教育活動含多種教學形式，擁有多元化的教學手段和教學內容，并從最初的網絡選課、慕課視頻，發展到現在的線上直播課、虛擬仿真實驗、遠程實驗教學等形式多樣的高科技教學手段［16］。學生進行線上的虛擬實驗，同樣需要對實驗數據和誤差進行分析，進而判別實驗是否成功。采用本設計模塊，學生能夠快速輸入實驗數據，實現結果分析和誤差分析，并通過實驗誤差分析實驗是否成功。教師從學生的實驗誤差上快速判斷該生的實驗效果，對判斷教學效果提供參考。教師和學生在這些過程中，不需要編寫數值擬合的源程序，不需要了解太多的數值擬合和處理的知識，就可對實驗數據進行分析，從而提高了學生上課的效率，便于教師的課堂管理。

2 討論與總結

大學物理實驗課程是理工科教育中至關重要的一門課程，在大學物理實驗課程中必然有數據處理這一環節。本文就此設計了界面友好的、交互式數值擬合和數值分析模塊，把數值擬合算法嵌入后臺程序中，可應用于對實驗數據進行快速擬合，得到精確的實驗誤差來判斷學生實驗是否成功。該模塊通過鍵盤或Excel表格將實驗數據導入界面中，無須編程，單擊“擬合”按鈕，經過后臺運算，一鍵快速得出曲線擬合圖、誤差圖和擬合函數公式，既能減少人工計算時的誤差，又能省略運用計算機語言編寫程序進行數值擬合的過程。本設計模塊根據實驗結果和擬合函數獲得實驗誤差，能夠通過判斷誤差的大小，判斷學生是否需要重做實驗，在這個過程中不斷糾正實驗中出現過的失誤和錯誤，減小實驗誤差，以此來培養學生實驗操作中“精益求精”的意識［17］。該模塊原理上也可推廣到其他專業實驗，如經濟學和金融學中具有固定函數模型的趨勢預判、電子信息專業中的光電子技術實驗和通信實驗等。

本文設計的交互式數值擬合和數值分析模塊是基于MATLAB語言，無法單獨成為一款APP軟件。設計的函數目前只能處理基本的初等函數，且只能擬合單變量函數，無法處理多變量函數。在未來的使用中，可通過Java語言或者其他語言編寫為一款獨立的手機APP程序，用于智能手機或者平板電腦上。

總之，本文針對大學物理中的驗證性實驗設計并編寫了一款界面友好、操作方便、無須編程的交互式數值擬合和數值分析模塊，針對驗證性實驗能夠精準快速地根據實驗數據給出擬合函數，得出誤差大小，判別實驗是否成功。通過兩個實例的測試，該模塊達到了上述目的且使用方便。未來，可以按照該思路采用其他計算機語言編寫使之成為一款單獨軟件或者手機APP，在智能手機或者平板電腦上進行運行，從而對大學物理實驗或者其他學科的驗證性實驗提供幫助，以及對判別實驗數據的精度和實驗是否成功提供依據，從而提高師生上課效率，豐富教師管理實驗教學手段。

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基金項目：本工作受到南昌航空大學的大學物理國家級實驗教學示范中心開放基金（SY1901）的支持

作者簡介：杜海偉（1980— ），男，漢族，河南安陽人，博士，副教授，研究方向：太赫茲技術與應用、高等教育。