自由板干縮應力的差分算法

張 杰 楊 洋

（河南水利與環境職業學院水利工程系，河南 鄭州 450008）

自由板屬于典型的薄壁水工結構，其厚度遠遠小于長度和寬度。研究結果表明，干縮應力是水工薄壁自由板混凝土結構裂縫產生的重要影響因素，是薄壁結構混凝土及大體積混凝土產生表面或者貫穿性裂縫的必須重點預防的因素之一[1-2]。在實際工程中，由于自由板厚度很小，和閘墩、閘底板等結構相比，自由板內外溫差較小[3]。混凝土內部濕度的傳遞性能低于溫度傳導性能且因為自由板厚度小，中心點熱量聚集現象不明顯，而混凝土表面濕度不斷與外界進行交換，所以自由板中濕度梯度變化要大于溫度梯度變化，干縮應力危害也要遠大于溫度應力[4]。

為了提高濕度場計算效率，尋找一種準確且簡便的干縮應力計算方法很有必要。該文結合混凝土濕度場理論，采用差分代替微分的方式，大大降低了濕度場理論求解程序。并結合濕度場差分算法，進行干縮應力求解。該方法可以快速高效求解自由板干縮應力，較適合常規工程人員使用，也便于自由板澆筑過程中結構安全性評估和裂縫治理。最后通過實例對自由板濕度和干縮應力進行求解，計算結果與實際情況較為吻合，可以為類似工程提供參考。

1 工程概況

該文選定鴨河口水庫閘底板工程為分析實例，主要建筑物級別為2 級。其校核洪水位181.50m，相應庫容為13.39億m3[5]。該工程對其水閘進行重建，新閘共設4 孔，閘單孔凈寬為12m。設2 中墩，其厚度為2.4m。2 邊墩，其厚度為1.5m。新建閘底板長度和寬度尺寸較大，厚度較薄，均為薄壁混凝土工程。該工程選擇在溫度較低的冬春季節進行閘底板施工，為加快施工進度，同時適應閘墩施工，經過設計方和施工方討論論證，底板混凝土施工最終確定分層澆筑厚度為2.4m。根據現場試驗和設計要求，確定底板混凝土強度等級為C50。

2 計算參數選取

2.1 混凝土熱力學參數

混凝土熱學參數見表1[6]。

表1 混凝土熱學參數

2.2 基巖熱力學參數

基巖熱學參數見表2[7]。

表2 基巖熱學參數

2.3 混凝土等效放熱系數

對多層保溫材料βs，可按公式（1）計算[8]：

式中：β為放熱系數；λi為其導熱系數；hi為保溫層厚[9]。

根據公式（1）計算得到混凝土表層βs系數為397.8kJ/（m2·d·℃）。

3 混凝土濕度場理論

3.1 濕度擴散方程

混凝土中濕度的擴散滿足公式（2）。

式中：D為濕度擴散系數；h為結構的相對濕度；為混凝土自干燥時，其內部相對濕度的損失速率；t為時間；x、y、z為混凝土內部點的位置坐標。

3.2 邊界條件初始條件

求解濕度場應先確定定解條件，即其初始濕度狀態與邊界條件。具體邊界條件如如公式（3）～公式（5）所示。

第一類邊界條件：

第二類邊界條件：

關于邊界為絕濕條件的工況，?h/?n=0。

第三類邊界條件：

式中：hd為邊界相對濕度；f為結構外表面的水分交換系數；he為外界介質相對濕度；n為法向方向。

4 自由板濕度場差分計算方法

4.1 自由板濕度場擴散有限差分格式

一維濕度場擴散方程如公式（6）所示。

式中：h為結構的相對濕度；D為濕度擴散系數；t為時間；z為混凝土內部點的位置坐標。

設混凝土板厚度為L，將其在厚度方向等分為n-1 層，則每層厚度如公式（7）所示。

設hi，t為第i點在時刻t的濕度，用中心差分法可得公式（8）、公式（9）。

聯立公式（7）、公式（8）、公式（9）可得公式（10）。

式中：r=DΔτ/h2；Δτ為時間差值。

4.2 邊界條件有限差分格式

自由板示意圖如圖1 所示，自由板2 個邊界條件如公式（11）、公式（12）所示[8]。

當z=0 時，

當z=l時，

式中：β為表面濕度交換系數；hl為自由板表面濕度；hb為空氣濕度。

帶入公式（9）、公式（10）可得公式（13）、公式（14）。

5 自由板干縮應力公式

根據混凝土應力應變關系定義，干縮應力可按照公式（15）進行計算[9]。

式中：σ為干縮應力；E為彈性模量；ω為收縮變形系數；μ為泊松比；A、B、C為系數。

6 鴨河口水庫自由板算例分析

該工程中混凝土板厚2m，根據朱伯芳院士《大體積混凝土溫度應力與溫度控制》一書中的參數設置進行求解，具體取值為h0-hb=1%，D=0.044m2/d。

6.1 自由板濕度場計算結果與分析

為了滿足計算精度，混凝土板網格劃分為0.1m，計算時間取值為30d。這是因為基本30d 后混凝土水化熱已經完成，混凝土強度已經滿足設計要求，可以抵抗干縮應力的作用，不會產生明顯裂縫。根據澆筑時間和外界環境，濕度取值為59%，時間計算間隔為0.05d。自由板中心點濕度變化規律如圖2 所示。由圖2 可以看出濕度變化曲線下降速率先增加、后減緩，從60%降至59%需要30d 時間且30d 后混凝土濕度與外界環境基本一致，沒有發生變化。

圖2 自由板中心界面濕度歷時曲線

自由板計算值與理論值見表3。由表3 數據可知，自由板的計算濕度值與理論值最大誤差為0.16%，最小誤差為0%，均在0.2%之內。且隨著時間的增加，誤差呈降低趨勢。該結果驗證了差分方法的準確性，可以滿足工程中初步評估干縮應力安全性的需求。

表3 自由板計算值與理論值

選取距離外表面不同位置中心點進行研究，分別為10cm、20cm 和30cm。不同位置中心點的濕度變化曲線如圖3 所示。由圖中可以看出距離混凝土板外表面越近，濕度值越小。而且不同位置濕度值下降速率均是不斷降低，30 天后降低幅度幾乎為0，此時已經與環境濕度保持一致。相鄰位置濕度差值先增加、后減少，由此可知干縮應力呈現先增加、后變小的趨勢。同時10cm 與20cm 兩層間的濕度差值大于20cm 與30cm 兩層間的濕度差值，由此可知距離外表面越近，干縮應力數值越大，距離中心位置越近干縮應力越小。可見混凝土保濕有以下2 個關鍵點：第一，前期要保證養護質量；第二，養護位置要集中在混凝土外表面。

圖3 不同厚度濕度變化對比

6.2 自由板干縮應力分析

選取混凝土板上表面、10cm 層中心點、20cm 層中心點和中心位置的干縮應力進行分析。4 個位置混凝土干縮應力歷時曲線如圖4 所示。由圖4 可以看出，干縮應力由拉應力逐漸轉變為壓應力，這是因為外表面濕度值小于內部濕度值，外表面拉應變造成中心位置受壓。

圖4 干縮應力變化對比

圖4 中外表面的拉應力值最大，出現時間也最早。在澆筑完成第一天就產生了1.1MPa 的拉應力。距離外表面越遠，應力值越小且極值出現時間越晚。10cm 層最大干縮應力值為0.6MPa，出現時間為1.5d；20cm 層最大干縮應力值為0.38MPa，出現時間為2.1d。所有位置應t 力極值均在5 天前產生，由此可見澆筑完成的前5 天是混凝土養護的重點。

7 結論

該文結合鴨河口閘墩自由板結構，通過差分算法計算混凝土板濕度場及干縮應力，采用實例對比驗證了該方法的準確性，得出下列結論：1）該文提出的干縮應力差分算法不僅計算效率大大提高且與實測數據誤差較小，適合工程人員操作。2）距離混凝土板外表面越近，干縮應力值越大，應力極值出現時間越早。3）自由板厚度與長度、寬度相差越大，越容易產生干縮應力，對尺寸有量級差別的混凝土結構，需要時刻關注其干縮應力變化。