“怎樣解題表”應用一例

呂維

【摘? 要】著名的“怎樣解題表”能帶領我們完美解決較難的數學試題。按照“怎樣解題表”，筆者將解題過程劃分為四個階段：弄清題意；聯想擬計；嘗試實計；回顧反思。其中，聯想擬計和嘗試實計是可以反復實施的。嘗試于2022南京高一期末聯考試題之第12題。

【關鍵詞】怎樣解題表；解題四階段；弄清題意；聯想擬計；嘗試實計；回顧反思

數學解題的過程，最難之處是如何想到。蘇教版數學必修一第六章中第154頁安排了一個“閱讀”：怎樣解題表，恰好彌補了我們理論上的不足。仔細回想自己解決稍有難度的數學題目，其求解過程確實分為四個階段：弄清題意——審題階段，弄清條件和待求；聯想擬計——聯想知識方法類題，編擬計劃；嘗試實計——運用知識類題的方法，作出嘗試求解，可多次重復上述兩個步驟；回顧反思——既是總結又是改進，既是提煉又是推廣。

例題（2022南京高一期末聯考，12）（多選）設a，b∈（0，1），且a=b，則以下結論正確的是（?? ）。

A.a=b??? B.a=b??? ? C.a＞b????? ? D.a＜b

弄清題意

例題條件有兩個：①a，b∈（0，1）——a，b是介于0，1之間的兩個實數；②a=b——冪的等式。

例題的待求：有四個選擇支供選擇，且是多選題。多選題意味著正確答案至少兩個。

分析四個選擇支，A？圯B，C、D與B的邏輯關系不太清楚。A、C、D提示我們：例題是讓我們比較a，b的大小。

如何根據條件比較a，b的大小？

注：弄清題意的過程中已經有聯想知識：對條件的簡單解讀，對選擇支的簡單感受。

聯想擬計

見過類似的題目嗎？

想：例題涉及的知識有兩類類似的題目。

類題組1（對數計算）：①解關于x的不等式x＞100x；②設a，b，c都是不等于1的正數，且ab≠1，求證：a=b。

類題組2（連等式）：①設a，b，c都是不等于1的正數，x，y，z都不為0，且a=b=c，++=0，求

a，b，c的值。

②已知3= 4= 12，求+的值。

類題組1是以對數為工具，將冪積商轉化為對數的積和差運算。

例題與類題組1 類似之處是：它們都是冪的形式。嘗試取以e為底的對數。

擬定計劃：（1）等式兩邊取以e為底的對數；

嘗試執行：∵a=b，∴等式兩邊同時取以e為底的對數得lna=lnb，blna=alnb。

想：如何對“blna=alnb”作變形？就形式看，最自然的想法是分離兩個字母a，b。

擬定計劃：（2）分離a，b

嘗試執行：由blna=alnb及a，b∈（0，1）有=。

想：如何處理等式=？形式統一，自然引入函數f（x）=，條件化為方程f（a）=f（b）。先研究函數f（x）性質（單調性），再研究a，b大小關系。

擬定計劃：（3）引入函數，研究性質

嘗試執行：設函數f（x）=，0<x<1

想：如何研究f（x）的性質？作為高一學生的我們，只有兩種方法判斷函數的單調性：①函數圖像——觀察圖像的上升下降情況；②函數單調性定義。復合函數的單調性判斷，本例不用。

擬定計劃：（4）應用定義研究函數單調性

嘗試執行：設0<x1<x2<1，則f（x1）-f（x2）=-。

想：如何判斷f（x1）-f（x2）=的符號？又回到了比較x與x的大小上，基本同于例題原題。陷入思維和解題的回路，放棄。

只有由圖像觀察一途。而圖像法中的數據又不好處理——都是一些無理數。借助計算器。

擬定計劃：（5）應用圖像研究函數單調性

嘗試執行：列表（借助計算器）：

描點，連線，得到f（x）的圖像，如圖1，由圖知，f（x）在（0，1）上單調遞增，故由f（a）=f（b）得a=b。從而選擇A、B。

至此，例題得到解決。

將“想”“嘗試”的過程整理，得到“解”的過程。

例題之解法一：∵a=b，∴等式兩邊同時取以e為底的對數得lna=lnb，即blna=alnb，又a，b∈（0，1），∴=。

設函數f（x）=，0<x<1，列表：

描點，連線，得到的圖像，如圖1，

由圖知，f（x）在（0，1）上單調遞增，故由f（a）=f（b）得a=b。從而選擇A、B。

我們看到：對于復雜或有難度問題的求解，擬定計劃和執行計劃實際上一個反復嘗試的過程。

類題組2是解決連等式問題的常用方法。對例題的求解有幫助嗎？

想：例題與類題組2的相似之處是：它們都是等式。連等式問題的求解方法是引入新參數，將題設中的字母都用新參數表示，達到將多元問題轉化為一元問題的目的——實質是化歸思想的運用。

擬定計劃：（1）等式值設參——引入新參數m

嘗試執行：設a=b=m，則由a，b∈（0，1）有m∈（0，1），由指對互化得b=logam，a=logbm。

想：logam與logbm真數相同，換底統一底數。

擬定計劃：（2）換底公式化同底

嘗試執行：b=logam=，a=logbm=。

想：與形式統一，引入函數g（x）=，研究函數單調性。

擬定計劃：（3）引入函數g（x）

嘗試執行：設g（x）=，0<x<1，0<m<1，

想：如何研究函數g（x）的單調性？應用復合函數的單調性原則——同增異減。將g（x）拆為y=，u=logmx，兩個簡單函數的單調性都是易知的。

擬定計劃：（4）復合函數研究函數單調性

嘗試執行：設u=logmx，y=，則g（x）是由y=（u>0）與u=logmx（0<x<1，0<m<1）復合而成的。易知，當0<m<1時，u=logmx在0<x<1上單調遞減，當0<x<1時，u>0，y=在u>0上單調遞減，∴g（x）在（0，1）上單調

遞增。

想：有了函數g（x）的單調性，根據b=，a=就能解決a，b的大小關系了。如何用g（x）的單調性呢？先由a，b的大小得g（a）與g（b）的大小，進而得a，b的大小。

擬定計劃：（5）應用g（x）的單調性研究a，b的大小

嘗試執行：當a>b時，g（a）>g（b），即>，而b=，a=，∴b>a，矛盾；同理，當a<b時，g（a）<g（b），即<，而b=，a=，∴b<a，矛盾；故只有a=b。選擇A、B。

將上述“想”的過程整理，得“解”的過程。

例題之解法二：設a=b=m，則由a，b∈（0，1）有m∈（0，1），由指對互化得b=logam=，a=logbm=。

設g（x）=，0<x<1，0<m<1，

設u=logmx，y=，則當0<m<1時，u=logmx在0<x<1上單調遞減，當0<x<1時，u>0，y=在u>0上單調遞減，∴g（x）在（0，1）上單調遞增。

當a>b時，g（a）>g（b），即>，而b=，a=，∴b>a矛盾；當a<b時，g（a）< g（b），即<，而b=，a=，∴b<a，矛盾；故只有a=b。選擇A、B。

從聯想類題方法到擬定計劃、嘗試執行，到最后的完美求解，正是“如何想到”的心路歷程。

解題反思

解法一中的函數f（x）=（0<x<1）圖像難畫 ——無理數太多，能改進嗎？可以考慮取以2為底的對數，從而函數f（x）=（0<x<1），取x=0.125， 0.25，0.5，1，還是能作圖的——只是作圖的間隔不舒服。解法二中，通過自身矛盾來排除是不常用的方法。

突然發現解法一中也有等式=，應用解法二中的連等式引參，會發生什么呢？

擬定計劃：（仿解法一得=），（3）引參

嘗試執行：設==k，則lna=ka，lnb=kb，a，b∈（0，1），k<0，

想：兩個式子何其相似！從方程角度看，a，b是方程lnx=kx，x∈（0，1），k<0的兩個根（可能重根）；從函數角度看，y=lnx，x∈（0，1）與直線y=kx的交點的橫坐標為a，b。作圖，易；觀察（0，1）上的交點，易。

擬定計劃：（4）方程的解轉化為兩個函數交點的橫坐標

嘗試執行：設y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx，x∈（0，1），k<0，作出y1與y2的圖像，如圖2，由圖知y1與y2有且只有一個交點，故a=b。選A、B。

將上述“想”的過程整理，得到“解”的過程。

題之解法三：仿解法一得=，設==k，則lna=ka，lnb=kb，a，b∈（0，1），k<0，

設y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx，x∈（0，1），k<0，在同一坐標系內作出y1與y2的圖像。

如圖2，由圖知y1與y2在（0，1）內有且只有一個交點，∴關于x的方程lnx=kx在（0，1）內有且只有一個實根，故a=b。選A、B。

三種解法對比，高一的學生會更喜歡解法三——既沒有作圖的煩惱，又沒有理解的障礙。解法一中f（x）=（0<x<1）的圖像難以處理，解法二中歸謬法并不常用，解法三中的兩個函數y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx都是常見的函數，作圖和理解都不存在問題。

解題表，作用大，掌握它，打天下。