水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學機理與能量演化研究*

王賀元, 肖勝中, 梅鵬飛, 張 熙

(1.廣東科技學院 通識教育學院, 廣東 東莞 523083;2.沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034;3.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學院, 廣州 510507)

0 引 言

混沌研究的歷史最早可追溯到Poincare對三體問題的研究.1963年美國的氣象學家Lorenz在研究局部區(qū)域小氣候的數(shù)值實驗時發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象,開啟了混沌研究的先河,引發(fā)了后續(xù)的大量研究,相關(guān)文獻非常豐富[1-12].受數(shù)值結(jié)果的啟發(fā),Lorenz設計了與我國古代的水車相似的混沌水輪實驗裝置,其轉(zhuǎn)動的示意圖如圖1所示.其主要組成部分為存在摩擦阻力的水平軸和豎直的與其相連的輪,水輪頂端連有水管,可以將速度可調(diào)節(jié)的水流注入到掛在輪邊緣的水杯中,每只水杯的底部均有一個能恒定漏水的小孔.如果注入水流的速度很慢,頂部杯中水量較少,因而不能克服輪軸摩擦力,水輪靜止不動.如果水流加大,杯中的水來不及漏出,隨著頂部杯中水的增多,產(chǎn)生力矩驅(qū)動水輪轉(zhuǎn)動.如果保持水流速度恒定,水輪開始勻速旋轉(zhuǎn),隨著水流繼續(xù)加大,水會不斷地注入其他水杯中,這些水杯來不及裝滿就轉(zhuǎn)到下側(cè),下側(cè)的水杯來不及漏空就轉(zhuǎn)到頂端,形成了反向力矩,從而導致轉(zhuǎn)速減小,甚至發(fā)生逆轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)逐漸變得無序混亂,發(fā)生非勻速旋轉(zhuǎn)、倒轉(zhuǎn)、周期反轉(zhuǎn)等現(xiàn)象,最終呈混沌狀態(tài),轉(zhuǎn)動的方向和速度會因系統(tǒng)內(nèi)在的非線性而顯現(xiàn)出非常復雜的運動特征,可以觀察到十分豐富的混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.1972年,Malkus改進了Lorenz混沌水輪實驗裝置,完成了通過實驗演示Lorenz方程混沌行為的這一挑戰(zhàn)性工作,引起了許多學者的廣泛關(guān)注,開展了分析和解釋水輪混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的一系列研究工作,具體見文獻[6,8,10].上述研究工作都是分析和解釋實驗中觀察到的水輪的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)及其相互演化的過程等,而對水輪為什么會混沌旋轉(zhuǎn)、混沌旋轉(zhuǎn)的生成機理、其能量轉(zhuǎn)換等問題目前還沒有文獻涉及,本文將在這方面展開研究與探索.

圖1 混沌水輪示意圖

探討混沌生成的力學機理及其能量演化方面的研究已取得了一些進展.文獻[13]利用Kolmogorov系統(tǒng)描述了具有Hamilton函數(shù)的不同強迫動力系統(tǒng)、流體動力系統(tǒng)等.文獻[14]對Lorenz系統(tǒng)進行了研究,給出了統(tǒng)一的Kolmogorov和Lorenz系統(tǒng).文獻[15]利用Casimir函數(shù)分析了Chen系統(tǒng)的動力學行為和能量轉(zhuǎn)換,揭示了能量轉(zhuǎn)換和軌道與平衡點間的距離,估計了混沌吸引子的邊界.文獻[16]分析了Chen系統(tǒng)的動力學機理與能量轉(zhuǎn)換.文獻[17]研究了Qi四翼混沌系統(tǒng)的力學機理與能量轉(zhuǎn)換,通過力矩的5種耦合模式分析了四翼混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的動力學機制.借助擴展的Kolmogorov系統(tǒng),文獻[18]研究了Lorenz系統(tǒng)的能量演化.文獻[15-17]中的混沌系統(tǒng)均為通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)的混沌系統(tǒng),沒有明確的物理意義.文獻[11-12]探討了同軸圓筒間旋轉(zhuǎn)流動的動力學機理,研究了具有明確物理意義的C-T流問題,分析了C-T流的動力機制、物理意義和能量轉(zhuǎn)換.

基于這些研究工作,本文探討Malkus水輪混沌旋轉(zhuǎn)的內(nèi)在機理.將Malkus水輪系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為Kolmogorov系統(tǒng), 分析和仿真了不同動力學模式下Malkus水輪模型的旋轉(zhuǎn)行為, 進而解釋了Malkus水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學機理.

因為Malkus水輪系統(tǒng)的軌道和平衡點之間的距離隨參數(shù)和時間變化,所以理論分析和數(shù)值模擬Malkus水輪系統(tǒng)的混沌吸引子是非常困難的.由于Casimir函數(shù)與距離息息相關(guān),本文借鑒文獻[18]關(guān)于Lorenz吸引子的研究思想,引入Casimir函數(shù)研究了Malkus水輪系統(tǒng)全局吸引子的邊界和能量演化問題.

1 Malkus水輪系統(tǒng)及其Kolmogorov系統(tǒng)

文獻[6]利用質(zhì)量守恒方程、動量矩方程結(jié)合Fourier展開等數(shù)學方法推導出 Malkus水輪的數(shù)學模型為如下三維非線性微分方程組(以下簡稱為Malkus水輪系統(tǒng)):

(1)

這里x,y,z是Fourier系數(shù),它們是時間t的函數(shù),x是與水輪旋轉(zhuǎn)角速度有關(guān)的物理量,y和z是與水杯中水的質(zhì)心坐標有關(guān)的物理量,σ是正的參數(shù),r為Rayleigh數(shù),它們是與漏水率和注水率有關(guān)的變量.由于系統(tǒng)(1)是著名的Lorenz系統(tǒng)的特例(b=1),其混沌現(xiàn)象是顯著的.經(jīng)數(shù)值仿真得當σ=5,5.45≤r≤210.51,212.07≤r≤301.53,348.13≤r≤510.53時,系統(tǒng)(1)存在混沌吸引子.其分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)如圖2所示.

(a)分岔圖 (b)最大Lyapunov指數(shù)

為探討水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學機理,我們引進如下的Kolmogorov系統(tǒng):

(2)

其中X=[x,y,z]T,反對稱括號{·,·}表示Hamilton函數(shù)H動能部分的代數(shù)結(jié)構(gòu),與cosymplectic矩陣J,或Lie-Poisson結(jié)構(gòu)[19],

{F,G}=Jik?iF?kG.

(3)

(4)

系統(tǒng)(4)與原系統(tǒng)(1)平衡點的數(shù)量和性質(zhì)相同,但位置發(fā)生了改變.系統(tǒng)(4)的平衡點如下:

下面采用線性穩(wěn)定性分析方法討論平衡點的穩(wěn)定性.

容易求得方程(4)線性化方程在平衡點O處的特征方程為

(λ+1)[λ2+(σ+1)λ+σ(1-r)]=0.

(5)

特征值為

(6)

相應的特征矢分別為

(7)

先看r=r1=1的情形,當rr1時,O變?yōu)椴环€(wěn)定的,系統(tǒng)分叉出另外兩個穩(wěn)定的定態(tài)P+和P-.故在r=r1=1時出現(xiàn)音叉分岔(圖3(a)),具體分析請參考文獻[2-5].

(a)r=r1處的音叉分岔 (b)P±點r=rh處的亞臨界Hopf分岔

下面討論定點P+和P-的穩(wěn)定性.

系統(tǒng)(4)具有反射對稱性:當(x,y,z)變?yōu)?-x,-y,z)時,方程不變.因此若(x0,y0,z0)是方程的解,則(-x0,-y0,z0)自然也是方程的解,而且此二解具有相同的性質(zhì),即P+(x0,y0,z0)和P-(-x0,-y0,z0)性質(zhì)完全相同,故只需分析其中之一即可,下面只分析P+.

系統(tǒng)(4)的線性化方程在P+處的特征方程為

λ3+(σ+2)λ2+(σ+r)λ+2σ(r-1)=0.

(8)

于是得到其Routh-Hurwitz判別行列式為

(9)

令Δ2=(σ+2)(σ+r)-2σ(r-1)=0時的r為rh,則

(10)

當σ<2時,rh<0,但r(表示無量綱Reynolds數(shù))取負值是沒有意義的,因此這種情形應摒棄,而只限于討論σ>2的情形.由式(10)可知:當r0,Δ3>0;反之,當r>rh時,Δ2<0,Δ3<0.因此根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知:當rrh時,P+和P-都是不穩(wěn)定的.

當r=rh時,特征方程化為

(λ+σ+2)[λ2+(rh+σ)]=0.

(11)

定義Hamilton能量H=K+U,其中動能K=(x2+2y2+2z2)/2,勢能U=σz.則系統(tǒng)(4)可描述為如下的Kolmogorov系統(tǒng):

(12)

其中

Λ=diag(σ,1,1),f=(0,0,-r(1+σ))T.

2 系統(tǒng)(4)的動力學機理分析

各種類型的力矩對Malkus水輪旋轉(zhuǎn)都具有不同程度的影響,本節(jié)從力矩的不同耦合模式展開討論,從而闡釋了水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學機理.

情形1 系統(tǒng)只包含由動能K產(chǎn)生的慣性力矩:

(13)

顯然系統(tǒng)(13)是保守系統(tǒng),其閉合的周期軌道如圖4(a)所示,狀態(tài)變量z的軌跡如圖4(b)所示.由于x是常量,系統(tǒng)(13)是線性系統(tǒng).

(a)周期軌道的3維視圖 (b)狀態(tài)變量z的軌跡

情形2 系統(tǒng)包含慣性力矩和內(nèi)力矩,即系統(tǒng)僅包含內(nèi)能,相應的方程為

(14)

由于沒有耗散,系統(tǒng)(14)也是保守系統(tǒng),其閉合的周期軌道如圖5(a)所示,狀態(tài)z的軌跡如圖5(b)所示.比較情形1和情形2,勢能U的出現(xiàn)使解更頻繁地振蕩.由于σ>0,系統(tǒng)是非線性系統(tǒng),并且勢能U的存在使產(chǎn)生的周期解頻率比情形1大得多,這意味著內(nèi)力矩使系統(tǒng)解移動的速度比情形1快得多.頻率取決于參數(shù)σ,由U釋放的內(nèi)力矩導致了軌道的拉伸和收縮,這對系統(tǒng)不穩(wěn)定和混沌的生成是潛在有效的.

(a)周期軌道的3維視圖 (b)狀態(tài)變量z的軌跡

情形3 系統(tǒng)包含慣性力矩、內(nèi)力矩和耗散力矩,即系統(tǒng)包含內(nèi)能和耗散因素,但不包含驅(qū)動因素,此時方程為

(15)

對于σ>0,容易獲得

其中V是系統(tǒng)相空間的體積,此時系統(tǒng)是耗散的[20].Hamilton函數(shù)的導數(shù)為

與文獻[14, 18]不同,無法通過Hamilton能量的變化來確定能量耗散.圖6(a)給出了Hamilton函數(shù)H的時間演化,顯示能量是耗散的,由于V收縮從而能量減少,如圖6(b)所示.

圖6 能量函數(shù)的時間演化

情形4 系統(tǒng)在慣性力矩、內(nèi)力矩和外力矩作用下,此時系統(tǒng)包含內(nèi)能和驅(qū)動因素,但不包含耗散因素,方程為

(16)

(a)螺旋狀軌道的3維視圖 (b)狀態(tài)變量z的軌跡

圖8 能量的演化

為了分析比較各種力矩對Malkus水輪轉(zhuǎn)動的影響,上面構(gòu)造的4種力矩缺失模式均為虛擬的狀態(tài),下面的全力矩模式5才具有真實的物理意義.

情形5 系統(tǒng)包括全部力矩,此時系統(tǒng)包含內(nèi)能、耗散因素和驅(qū)動因素,方程為

(17)

當r=32時系統(tǒng)(17)的混沌吸引子如圖9(a)所示.情形3缺少外力矩,Malkus水輪系統(tǒng)的解趨于平衡點O.情形4的Malkus水輪系統(tǒng)的解由于沒有耗散而無限增長.因此,外力和耗散耦合是Malkus水輪系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件.當外力矩與耗散力矩不匹配時,耗散并不能保證Malkus水輪系統(tǒng)的能量衰減.雖然外力和耗散是產(chǎn)生混沌的基本因素,但外力和耗散簡單的耦合并不足以保證系統(tǒng)產(chǎn)生混沌,例如,大參數(shù)r可以使系統(tǒng)具有周期性或無窮大,如圖9(b)所示.圖10(a)繪制了當r=376時,系統(tǒng)的準周期吸引子.只有當參數(shù)r在一定范圍內(nèi)取值(σ=5,5.45≤r≤210.51,212.07≤r≤301.53,348.13≤r≤510.53),也就是外力與耗散相匹配時,系統(tǒng)才會產(chǎn)生混沌.圖10(b)繪制了動能和勢能的時間演化(r=30),其中上曲線表示動能,下曲線為勢能,當動能接近波峰時,勢能到達波谷,說明兩種能量相互轉(zhuǎn)化.

(a)r=32 (b)r=34

(a)擬周期軌道的3維視圖 (b)動能和勢能

3 系統(tǒng)(4)的全局穩(wěn)定性分析

混沌系統(tǒng)解的邊界性質(zhì)在混沌系統(tǒng)研究中是至關(guān)重要的,確定混沌吸引子的邊界通常是困難的.本文利用Lagrange乘數(shù)法和Casimir函數(shù)法分析了Malkus水輪系統(tǒng)混沌吸引子的邊界,數(shù)值模擬給出了清晰的邊界.Casimir函數(shù)C由括號(3)的內(nèi)核定義,即

{C,G}=0, ?G∈C∞(g*),

這意味著在Lie-Poisson括號下Casimir函數(shù)與每個函數(shù)交換[19].對于Malkus水輪系統(tǒng)來說,Casimir函數(shù)定義為

由方程(3)和文獻[19],我們有

{C,G}=-X·(?C×?G)=-X·(X×?G)=0,

其中X=[x,y,z]T.根據(jù)方程(4)得

令

定理1 Casimir函數(shù)被限制在如下集合內(nèi):

Ξ={(x,y,z)|x2+y2+z2≤(r+σ)2}.

證明根據(jù)上述分析,C(t)的最大最小值點均位于集合Ξ0內(nèi),因此,可由如下條件極值問題來獲得C(t)的上界:

(18)

定義Lagrange函數(shù):

其中λ是Lagrange乘子.

經(jīng)計算得到如下偏導數(shù):

(19)

得到兩個解

(x,y,z,λ)=(0,0,0,0) or (0,0,-(r+σ),-1).

所以,C的最大值為(r+σ)2/2,即

定理1給出了Malkus水輪系統(tǒng)混沌吸引子邊界的精確估計.Casimir函數(shù)的值如圖11(a)(r=40)所示,可見函數(shù)C(t)以C(t)<(r+σ)2/2為上界振蕩.混沌吸引子被包圍在矩形邊界內(nèi),如圖11(b)所示.為了顯示Casimir函數(shù)與平衡點P±之間的關(guān)系,定義兩種距離:

(a)Casimir能量時間演化 (b)混沌吸引子的邊界

D1(t)=|X(t)-P+|,D2(t)=|X(t)-P-|,

(20)

這表示系統(tǒng)(12)的軌道與平衡點P±之間的距離.在圖12(a)(r=30)中,實線是Casimir函數(shù),虛線是D1(t)和D2(t).圖12(a)表明,當軌線遠離平衡點P+或P-時,Casimir函數(shù)達到最大值.當軌線同時接近平衡點P±時,Casimir函數(shù)達到最小值.圖12(b)(r=31)顯示了更緊密的關(guān)系,在這個圖中,虛線是D1(t)與D2(t)之和,它與Casimir函數(shù)具有類似的動態(tài).其極值點幾乎在同一時刻,而且有相同的上升和下降趨勢.

圖12 函數(shù)與距離D1,D2的關(guān)系

當注水率(參數(shù)r)增大時,系統(tǒng)(4)的動能增加,如圖13所示,外力矩主要增加了動能,導致水輪失穩(wěn)而出現(xiàn)混沌旋轉(zhuǎn).圖14顯示了距離D1和D2的總和與Casimir函數(shù)隨參數(shù)r的變化趨勢.

(a)能量 (b)Casimir函數(shù)

(a)D1與D2的距離和 (b)Casimir函數(shù)

根據(jù)以上理論分析和仿真結(jié)果,得出如下結(jié)論,當r<1時,系統(tǒng)(4)僅存在平衡點O,這種定常的狀態(tài)表明水輪處于靜止狀態(tài).當r>1時,系統(tǒng)(4)存在以下3個平衡:O,P+,P-,平衡點O從穩(wěn)定結(jié)點變成鞍結(jié)點,新平衡點P±是穩(wěn)定的,這種穩(wěn)定的狀態(tài)代表水輪勻速的旋轉(zhuǎn),如圖1(a)所示.新的平衡點隨著r增加逐漸喪失其穩(wěn)定性,它們從穩(wěn)定結(jié)點發(fā)展到穩(wěn)定焦點,最后變成了鞍結(jié)點.同時,系統(tǒng)(4)的軌線趨于P±,在P+和P-之間來回跳躍,這對應水輪的實際狀態(tài)是出現(xiàn)倒轉(zhuǎn)現(xiàn)象,依次正向或反向旋轉(zhuǎn)如圖1(b)、1(c)所示.距離D1與D2之和隨r增大而單調(diào)遞增.動能從最小值逐漸增加,Casimir函數(shù)也有類似的增加趨勢.隨著水輪穩(wěn)定性的喪失(圖1(a))正向或反向旋轉(zhuǎn)相繼出現(xiàn)(圖1(b)、1(c)),在耗散和驅(qū)動的內(nèi)稟作用下,系統(tǒng)的內(nèi)能不斷增大,從分岔經(jīng)由暫態(tài)混沌最終到達混沌,對應水輪從正向或反向的勻速旋轉(zhuǎn),然后到不穩(wěn)定的非勻速旋轉(zhuǎn),進而到達混沌旋轉(zhuǎn).表1給出了相關(guān)結(jié)論的細節(jié).

表1 σ=5,r取不同值時,水輪系統(tǒng)(1)的動力學行為與能量演化及其相應的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)

4 能 量 轉(zhuǎn) 換

系統(tǒng)(12)的首項是由Hamilton能量傳遞的力矩,其似乎與耗散和外力矩無關(guān),但從圖13中發(fā)現(xiàn)能量與這兩項有關(guān).由于每種力矩是耦合的線性或非線性的矢量,其作用于質(zhì)點上,因此很難研究系統(tǒng)(12)的力矩.由于能量是一個標量,所以通過研究能量來發(fā)現(xiàn)力矩特征是很容易的.下面討論能量與這兩種力矩的關(guān)系.文獻[22]通過Lyapunov函數(shù)將Hamilton動力學的Lie-Poisson括號擴展為

(21)

(22)

其中

方程(22)解釋為整個混沌系統(tǒng)包含動能、勢能、耗散能和外力能,這些能量轉(zhuǎn)換為慣性力矩、內(nèi)力矩、耗散力矩和外力矩.對于水輪系統(tǒng),包含注水能量和源自于水重力、摩擦損失以及漏水的耗散能量,作用于水輪上的總力矩產(chǎn)生角加速度.

根據(jù)方程(3)和(22),有

(23)

那么

{K,H}+〈K,L〉+〈K,G〉={K,U}+〈K,L〉+〈K,G〉-

σxy-[σx2+2y2+2z2+2(r+σ)z],

(24)

其中{K,U}=-σxy.因此,動能的變化率與勢能、耗散能、外能量有一定的關(guān)系.同理,也有

(25)

這意味著勢能的變化率等于它與動能、耗散能量和外部能量的交換.

-(2L+G)[21].Casimir函數(shù)是熱力學能,則Casimir函數(shù)變化率為耗散與供給能量之間的交換率.類似的有

-[2σ2-2σ+(r+σ)]xy+2σ2x2+2y2+2z2+3(r+σ)z+(r+σ)2.

(26)

然后,水輪系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換為

(27)

這考慮了在K,U和W交換項中的耗散和力.方程(24)—(27)表明參數(shù)r對水輪系統(tǒng)的能量演化有顯著影響.

在上面的公式中,當xy<0時,{K,U}是正數(shù),因而有勢能轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽艿膬艮D(zhuǎn)換.相應地,當xy>0時,{K,U}為負數(shù),有動能變?yōu)閯菽艿膬艮D(zhuǎn)換.

Malkus水輪系統(tǒng)有螺旋式軌道,它的軌道從一個不穩(wěn)定的平衡點移動到另一個不穩(wěn)定的平衡點.當軌道遠離不穩(wěn)定的平衡點之一時,D1與D2的距離和因參數(shù)r增大而逐漸增大,如圖14所示.也就是r增大,使得驅(qū)動與耗散相匹配,二者共同作用導致系統(tǒng)內(nèi)能增大,水輪不穩(wěn)定最終出現(xiàn)混沌旋轉(zhuǎn).因此,軌線在兩個不穩(wěn)定的平衡點之間頻繁跳躍導致了D1與D2的距離和逐漸增大.

Malkus水輪混沌系統(tǒng)作為Lorenz系統(tǒng)的特殊形式,其能量轉(zhuǎn)換時間演化與文獻[18]的結(jié)果相似,能量、Casimir函數(shù)及D1與D2的距離和與外力矩(Rayleigh數(shù)r)間的演化關(guān)系是本文的重要發(fā)現(xiàn).

5 結(jié) 論

本文研究了Malkus水輪混沌系統(tǒng)的力學機理和能量演化問題,揭示了水輪混沌旋轉(zhuǎn)的力學機制.首先,探討了Malkus水輪的數(shù)學模型作為Kolmogorov系統(tǒng)的物理意義.研究了水輪混沌系統(tǒng)4種力矩耦合的5種情形,分析了導致水輪不穩(wěn)定和混沌旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵因素.保守情形下,Hamilton能量為常量,對應的方程有周期解.外力矩或耗散力矩加入到保守系統(tǒng)中,Hamilton能量趨于無窮或零,對應的系統(tǒng)不可能產(chǎn)生混沌.只有全力矩模式下,水輪系統(tǒng)才產(chǎn)生混沌,并且動能和勢能相互轉(zhuǎn)化.對于水輪混沌系統(tǒng),內(nèi)能、耗散和驅(qū)動因素并存是產(chǎn)生混沌的必要條件,而且,只有當耗散與驅(qū)動相匹配時,系統(tǒng)才能生成混沌.注水為水輪系統(tǒng)提供能量,增加的動能導致水輪不穩(wěn)定,依次發(fā)生正向穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)、反向穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)等經(jīng)過暫態(tài)混沌旋轉(zhuǎn),最終到達混沌旋轉(zhuǎn).其次,將水輪混沌系統(tǒng)作為擴展的Kolmogorov系統(tǒng),引進Casimir函數(shù)來分析系統(tǒng)動力學行為和能量轉(zhuǎn)換.經(jīng)分析獲悉:平衡點的距離和與Casimir函數(shù)的時間演化是一致的.作為內(nèi)能的Casimir函數(shù)的變化率是耗散與供給能量間的交換率,起著能量轉(zhuǎn)換的作用,平衡點距離的時間演化也是類似的.利用Lagrange乘數(shù)和Casimir函數(shù),分析仿真獲得了混沌吸引子的邊界.