考慮變流速及尺度效應的一維溶質運移模型及半解析解

李艷芳

(鄂爾多斯市國能神東監理有限責任公司,內蒙古 鄂爾多斯 719315)

0 引言

地下水溶質運移理論一直受到水文地質學者的廣泛關注,主要原因是溶質在多孔介質運移過程中涉及復雜的物理、化學和生物過程[1-3]。許多學者基于對流-彌散方程(Advection-Dispersion Equation,ADE)構建了大量的解析和數值的溶質運移理論模型,預測污染物在含水層的運移特征。例如,在均質含水層中建立了考慮常系數的一維、二維、三維ADE解析模型[4-5]。然而,傳統的常系數ADE模型在室內和野外應用過程中受到了廣泛的質疑,主要是由于受到變流速、尺度效應及非均質等因素的影響,無法有效地解譯溶質的穿透曲線,尤其是很難刻畫非費克溶質運移現象(如拖尾、提前穿透及多峰等現象)[6-7]。

國內外學者開展溶質運移解析模型研究時,為了避免地下水流速變化導致ADE模型難以求解,通常假定地下水流是穩定的,即為常數。而實際含水層由于受到補、徑、排模式與地表水體水位及地下水開采量變化等因素的影響,含水層中地下水流速會隨時間發生變化。例如,河流和湖泊水位季節性變化或洪水會導致沿岸附近地下水位隨著地表水的變化而變化[8]。此外,物理、化學和生物堵塞也會導致室內土柱試驗地下水流速不斷衰減,進而導致實驗的參數反演出現偏差。例如,Zaheer[9]等針對低滲透介質進行了一系列土柱溶質運移實驗發現,地下水流速隨時間呈指數下降。許多學者針對變流速溶質運移問題開展了變流速條件下的溶質運移理論研究。Jaiswal[10]等提出了線性、漸近及指數等形式來刻畫隨時間變化的流速,并利用時間-空間變換方法獲得變流速條件下的一維ADE解析解。提出的線性及指數函數的流速將分別趨近于無窮和零,而實際地下水流速應當趨近于某個有限值。為此,Li[11]等提出了指數變化的地下水流速漸進方程,并利用積分變換獲得變流速淋濾作用下的一維溶質運移的解析解。

除了地下水流速隨著時間變化外,彌散度與遷移尺度有著密切聯系[12-14]。Gelhar[15]等通過分析59個不同現場的觀測數據得到,含水層的彌散度具有尺度效應。Wang[6]等進行土柱示蹤試驗,研究表明,尺度效應在溶質運移過程中發揮了重要的作用。大量野外與室內實驗分析認為,多孔介質的非均性是導致彌散度尺度效應的主要原因。目前,許多學者綜合多方面的實驗數據,總結了遷移距離和彌散度之間的經驗關系,包括線性、指數及拋物線等多種形式[16-17],構建了相應的尺度效應理論模型。例如,You和Zhan[18]利用Laplace變化推導了考慮線性漸近和指數變化的一維半解析解,擬合了Huang[19]等土柱試驗數據,擬合效果優于傳統的ADE模型。

圖1 一維溶質運移示意圖Fig.1 Schematic diagram of one-dimensional solute transport

在溶質運移理論中,變流速和彌散度的尺度效應是不容忽視的。通過文獻研究發現,同時考慮變流速與尺度效應的研究較少,為此構建了考慮變流速及尺度效應的一維溶質運移模型,利用指數變化的地下水流速方程來刻畫多孔介質中地下水流速的變化,并耦合彌散度隨著距離指數變化的函數。利用積分變換及Laplace變換方法獲得變流速及尺度效應溶質運移的半解析解,探究指數變化的地下水流速及彌散度對溶質運移的影響機理。

1 數學模型構建

關于多孔介質中溶質運移模型中的地下水流速通常設定為常數,但實際過程中地下水流速是隨時間變化的,時常表現出指數增加或指數衰減趨勢[11]。例如,當含水層受到生物、化學及物理堵塞時會導致滲透性減小,使得地下水流速表現出指數衰減[20-21]。河岸帶及海岸帶的松散含水層由于地表水位的波動(如洪水、潮汐等作用)會引起含水層地下水流速呈指數增或減的趨勢[8]。因此考慮地下水流速可以表示為指數增或指數減的形式[11]:

v(t)=v0τ(t)=v1+(v0-v1)e-λt

(1)

式中:v0為多孔介質地下水初始的流速[L/T];v1為最終穩定的地下水流速[L/T];λ為流速變化指數[1/T]。當v0>v1時,式(1)表示地下水流速為指數減的情況;當v0

(2)

為了概化為溶質運移距離與彌散度之間的函數關系,許多學者提出多種經驗方程,目前常見的經驗方程主要有線性、指數、拋物線及漸進方程[16]。室內實驗及野外試驗研究表明,指數方程更符合實際情況[18],因此選取彌散度隨溶質運移距離為指數變化方程,可表示為:

α(x)=α0(1-e-bx/L)

(3)

D(x,t)=α(x)v(t)

(4)

式中:α0(x)為隨溶質運移距離為指數變化的彌散度[L];α0為遷移距離足夠大時漸進的彌散度[L];b/L為彌散度變化指數[1/L];L為多孔介質的空間距離[L]。

在建立流速及尺度效應的一維溶質運移模型之前,為了簡化數學模型,假定:①多孔介質地下水流動為非穩定流,流速為指數變化。②多孔介質彌散度遷移隨遷移距離的變化而變化,彌散度為指數變化。③溶質為惰性溶質,僅考慮吸附作用。考慮變流速及尺度效應的對流-彌散方程(ADE),可表示為:

(5)

式中:C為溶質的濃度[M/L3];x為距離[L];t為時間[T];D(x,t)為隨時間和空間變化的彌散系數[L2/T],且v(t)為隨時間變化的地下水流速[L/T];R是遲滯系數[M/L3]。將式(3)、(4)帶入式(5)可得:

(6)

初始及邊界條件為:

C(t=0,x)=0

(7)

(8)

(9)

式中:C0為x=0處的給定濃度[M/L3];t0為脈沖注入的時間[T]。將該模型簡稱為EE模型(Advection-dispersion equation with exponentially time-dependent flow velocity and distance-dependent dispersivity)。

2 數學模型求解

為了化簡上述的數學模型,式(6)兩邊同除以τ(t),可得:

(10)

為了獲取模型的解,引入一個新的積分變換:

(11)

則式(6)可表示為:

(12)

邊界條件及初始條件在相同的積分變化下可表示為:

C(T=0,x)=0

(13)

(14)

(15)

(16)

C(TD=0,xD)=0

(17)

(18)

(19)

對式(16)～(19)分別對TD作Laplace變換,得:

(20)

(21)

(22)

定義新的變量z=e-bxD,則式(20)可以表示為:

(23)

式(23)可表示為超幾何函數的形式:

(24)

式中:Q= 0

(25)

(26)

(27)

求解式(25)～(26),可得:

(28)

(29)

式(24)的通解為:

(30)

若T0

(31)

X[m(e-bm)F(m+1,m+1;m-n+1;e-b)]+Y[n(e-bn)F(n+1,n+1;n-m+1;e-b)]=0

(32)

根據函數F(m,m+1;m-n+1; 1)的性質,當m-n+1-(m+m+1)>0(Gao et al., 2010),可得:

(33)

(34)

式中:Γ(·) 為Gama函數。解式(31)～(32),可獲得系數X及Y(表1):

表1 式(30)的系數表達式Tab.1 Coefficient expression of Equation (30)

(35)

(36)

若T0>TD0,利用相同的計算方法可得式(30)的系數X及Y為:

(37)

(38)

上述推導的EE在Laplace空間的解析解包含Gama函數等特殊函數,很難利用解析逆變換的方法進行求解。因此采用數值逆變換的方法來獲得實空間下的徑向溶質遷移的解,利用Stehfest數值逆變換方法即可得到EE在實空間的解。

3 結果與討論

根據以上模型的推導和計算,利用脈沖注入邊界的解析模型來計算討論表皮區域的彌散度、孔隙度及厚度對徑向溶質遷移的影響。對于以下分析,默認的模型參數見表2。

表2 模型中參數取值Tab.2 Parameter value in the model

3.1 不同模型對比分析

為了研究變流速與尺度效應耦合作用對多孔介質中溶質運移的影響,分別對比分析了ADE、Li[11]等及You和Zhan[18]的解(圖2)。Li等的模型考慮地下水流速是指數衰減的,彌散度是定值。You和Zhan的模型考慮指數變化的彌撒度,地下水流速是定值。ADE模型中地下水流速v及彌散度α為定值,分別設置為1 m/day、2 m,同時Li等與You和Zhan及EE模型相同參數設置是相同的,見表2。由圖2可知,ADE的穿透曲線在早期溶質濃度高于其他模型,而后期的濃度低于其他模型。這是由于ADE模型中的地下水流速和彌散度為常數,而Li等的模型地下水流速為指數衰減,逐漸衰減到v1=0.5 m/day,地下水的流速小于ADE,而You和Zhan的模型彌散度隨著遷移距離逐漸增大至α=2 m,其彌散度也小于ADE,故ADE相比其他模型表現出提前穿透現象。此外,EE解的穿透曲線表現出明顯的滯后現象,主要是由于該模型的地下水流速指數減小趨近于1 m/day,且彌散度指數增加趨近于2 m,故其穿透曲線早期濃度最低,后期濃度高于其他模型。說明地下水流速的衰減與尺度效應耦合作用會對溶質運移產生較大影響。

圖2 不同模型的溶質穿透曲線Fig.2 Solute penetration curves for different models

通過對比不同模型結果發現,EE和Li等的解相比于ADE表現出明顯的拖尾現象,說明地下水流速的減小會導致穿透曲線表現出拖尾現象。而拖尾現象(非費克運移)通常被認為是由于多孔介質的非均質性導致的,忽視地下水流速的衰減也會導致非費克運移現象,這為非費克運移研究提供了新思路。尤其是低滲介質溶質運移時常表現出拖尾現象,其中地下水流速由于受到物理、生物、化學堵塞及固結作用,導致地下水流速衰減,這可能是引起非費克運移的影響因素之一。

3.2 尺度效應對溶質運移的影響

圖3為變流速條件下不同b/L值時在x=10 m的溶質穿透曲線。彌散度變化指數b/L分別為0.1、0.2、0.4,模型其他參數設置為L=50 m,v0=1 m/day,v1=0.5 m/day,α0=2 m 且λ=0.1。將EE模型的計算結果與Li等的結果進行對比分析發現,Li等的解計算溶質的穿透曲線早期濃度高于EE解,說明尺度效應會減緩溶質遷移。這是由于Li等解的彌散度是定值α=α0=2 m,而EE解的彌散度是隨著遷移距離逐漸增大到α0= 2 m。因此Li等解的彌散度大于EE解。此外,隨著b/L值的增大,EE解的穿透曲線早期濃度增大,后期濃度減小,且峰值不斷減小。表明變流速條件下彌散度尺度效應會進一步導致產生穿透曲線削峰及拖尾現象。

圖3 變流速條件下不同取值的彌散度變化指數b/L 在x=10 m處所對應的溶質穿透曲線Fig.3 Dispersion change index b/L with different values corresponding to the solute penetration curve at x=10 m under the condition of variable flow velocity

3.3 變流速對溶質運移的影響

圖4為彌散度尺度效應下不同λ值時在x=10 m的溶質穿透曲線。地下水流速衰減指數λ分為0.1、0.2、0.5,模型其他參數設置為L=50 m, b/L=0.1/m,v0=1 m/day,v1=0.5 m/day,α0=2 m。將EE解的計算結果與You和Zhan的解進行對比分析發現,You和Zhan解的計算的穿透曲線表現出提前穿透現象,說明地下水流速的衰減會減緩溶質遷移。這是由于You和Zhan解的地下水流速是定值v=v0=1 m/day,而EE解的地下水流速是隨著遷移時間逐漸由v0=1 m/day衰減到v1=0.5 m/day。因此You和Zhan解的地下水流速大于EE解。隨著λ值的增大,EE解的穿透曲線早期濃度減小,后期濃度增大,溶質遷移的速率不斷減小,表明彌散度尺度效應下地下水流速的變化對溶質運移遷移規律產生了較大的影響,其影響結果不容忽視。

圖4 彌散度尺度效應下不同取值的地下水流速衰減指數λ在x=10 m處所對應的溶質穿透曲線Fig.4 Attenuation index λ of groundwater velocity with different values corresponding to the solute penetration curve at x=10 m under the diffusivity scale effect

圖5為尺度效應下不同穩定流速v1在x=10 m的溶質穿透曲線。根據式(1)可知,不同的v1值表示地下水流速指數降低或增加,若v1>v0表示指數增加,若v1

圖5 尺度效應下不同穩定流速v1在x=10 m的溶質穿透曲線Fig.5 Solute penetration curve at x=10 m at different stable velocity v1 under scale effect

4 結論

基于對流彌散方程,構建了考慮隨時間和空間指數變化的地下水流速及彌散度的一維溶質運移模型,通過積分變換及Laplace變換獲得了模型的半解析解,分析了指數變化的流速及彌散度對溶質運移的影響,得到的結論如下:

變流速條件下,隨著彌散度增長速率的增大,溶質穿透曲線的拖尾現象明顯且峰值逐漸減小。因此多孔介質溶質運過程中的尺度效應因素不能忽視。

在尺度效應影響下,多孔介質中指數變化的地下水流速對溶質運移有較大影響,流速的衰減指數越大,地下水流速衰減越快,穿透曲線早期濃度減小,后期濃度增大,導致穿透曲線拖尾現象的產生。

穩定地下水流速在溶質運移過程中起到了關鍵作用,其大小反映了地下水流速增加或減小的幅度,變化幅度越大,溶質運移快慢表現得越明顯。穩定速度的增加會增大對流作用,導致穿透曲線峰值高,拖尾現象減弱。