巧用類比和對比，學好分式和分式方程

張偉俊

在生活和學習中，我們經常采用“類比”和“對比”的思想方法來研究問題、探求新知，在分式和分式方程的學習中更是如此。

一、在類比中遷移運用相同之處

所謂類比，就是由兩個對象的某些相同或者相似的性質，推斷出它們的其他性質也有可能相同或相似的推理形式。

再如，在分式運算的學習中，我們同樣可以采用類比的方式展開。兩個分式之間如何進行加減乘除運算呢？我們可以類比分數運算的學習經驗，形成對分式運算法則的推導過程，將分式的加減分成“同分母”和“異分母”兩種情形展開探究。由“異分母”聯想到利用“分式的基本性質”進行“通分”，從而轉化成“同分母”的情形進行加減；將分式除法轉化成分式乘法，然后進行“約分”等。這樣的探究過程，就是在類比中遷移運用分數基本性質和運算法則，構建起分式基本性質和運算法則，突顯了知識之間的內在聯系和類比思想方法的魅力。

當然，我們在借助類比探究新知的過程中，在“求同”的同時，也要關注新知與原有知識之間的不同之處，更好把握新知的本質特征。我們知道了分數基本性質和分式基本性質的相同之處，那么它們之間又有什么不同之處呢？

二、在對比中剖析把握不同之處

所謂對比，就是把兩個對象的某些性質進行對照比較，發現它們具有的不同之處或明顯差異的思想方法。

在分式方程的學習中，如何來解分式方程呢？首先從形式上看，它和解含分母的一元一次方程類似。因此，類比解一元一次方程的步驟，我們能得到解分式方程的步驟，即去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1等。它們解方程的步驟是一樣的，那么解分式方程與解含分母的一元一次方程有沒有不同之處呢？這就需要我們去比較兩者每一步的變形及其依據有何不同。

通過比較，我們不難發現，在去分母時，方程兩邊同時乘各分母的最簡公分母，其中一元一次方程的最簡公分母是一個整數，而分式方程的最簡公分母是一個整式。更重要的是，去分母后，分式方程轉化成了整式方程（比如一元一次方程），這樣我們就忽略了分式分母不為0這種情況。如此一來，轉化后的整式方程的根，有可能使原分式方程中的分母為0，這便是產生增根的原因。因此，解分式方程必須增加驗根的過程。

總的來說，類比是基于兩種不同事物或道理的類似，由此及彼，引發猜想，指引探究；對比是將兩種不同事物或者同一事物的不同方面放在一起進行對照比較，辨別是非，把握本質。綜合運用類比和對比，是我們學習數學的重要方法。

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）