從表象認知走向本質理解

孫麗卿

圓是學生在小學階段要認識的最后一個平面圖形，對他們而言，圓既熟悉又陌生。學生在生活中的很多地方都能看見形形色色的圓，但大部分學生對圓的認識均處于表象認知階段，對圓的本質屬性很陌生。人教版教材六年級上冊《圓的認識》的編排，要求學生結合已有的知識經驗，用多種方法畫圓，并在畫圓的過程中認識圓心、半徑、直徑，以及半徑、直徑的關系等。教學時，教師應關注學生對圓的本質的理解，以培育學生的核心素養。

一、初步表征，喚醒經驗

（一）觀察“靜態圓”

師：今天我們來認識一種大家既熟悉又陌生的圖形——圓。

（板書：圓的認識）

師：課前，我已經讓大家觀察過生活中的圓，哪位同學來說一說，生活中哪些地方有圓？

生：硬幣、球、茶杯的一個底面……

（教師用課件出示生活中形形色色的圓）

師：看著這些圓，誰能說說圓長什么樣？

生：彎彎的，胖胖的，不是凹凸不平的（用手比畫平面圖形）。

師：同學們對圓的描述都很形象。圓其實是人們從現實生活中抽象出來的一種平面圖形。

師：剛才有個同學說球也是圓，你們同意嗎？球與圓有什么不同？

生：不同意，球是立體圖形。

生：圓是一個平面圖形，而球是立體圖形。

師：我們已經學過哪些平面圖形了？

生：長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形。

（教師用課件出示圖1）

師：以前學過的這些平面圖形和圓有什么區別？

生：以前學過的平面圖形是有角的，線是直的；圓沒有角，線是彎的。

師：以前學的平面圖形都是直線圖形，而圓是曲線圖形。

設計意圖：教師課前布置學生觀察生活中的圓，讓學生結合生活中的圓，交流“圓長什么樣”，引導學生思考、討論球與圓、以前學過的平面圖形與圓之間的區別，讓學生在比較中感悟圓是曲線圍成的平面圖形，經歷圓概念的初步抽象過程。

（二）觀察“動態圓”

（教師用課件出示“滴水成圓”和“操場畫圓”的準備狀態）

師：這樣能形成圓嗎？

生：能形成圓。

師：請大家想象一下形成圓的過程。

（教師用課件分別動態展示圓的形成過程）

師：觀察圓的兩種形成過程，大家有什么發現？

生：它們都有一個中心。

師：“滴水成圓”是如何由中心形成圓的？“操場畫圓”呢？

生：“滴水成圓”是從中間一點向外慢慢擴散形成一個圓，“操場畫圓”是以繩子的一個端點為中心，把繩子拉直，用繩子的另一個端點繞一周形成一個圓。

生：“滴水成圓”形成了好多個圓，這些圓是按從小到大的順序出現的；“操場畫圓”只形成了一個大小固定的圓。

（教師板書：中心均勻擴散、端點旋轉一周。如圖2）

師：圓中有很多奧妙，今天我們就來一起探索圓的神秘世界。

設計意圖：教師呈現圓的動態形成過程，讓學生在觀察與思考中進一步體會什么是圓，為后續理解圓的本質特征奠定基礎。

二、建立聯系，探究本質

（一）聯系“一中同長”畫圓

任務一：根據“滴水成圓”現象，不用圓規（可用刻度尺），選擇圖3中的一個正方形，在里邊畫出一個最大的圓。

（教師出示任務一，提出活動要求：①獨立完成；②小組交流；③展示匯報。學生根據要求完成任務一后，教師引導學生進行反饋交流）

師：請第一組小組代表來匯報。

（學生代表出示小組作品，如圖4）

生：我們先經過原圖中虛線的交點，用尺畫一些線，再用尺量出虛線一半的長度，在我們所畫的每條線上找到距離交點同樣長度的位置并描上點，最后把這些點按畫曲線的方法連起來，就形成了圓。

師：說得很好，你是受到“滴水成圓”過程的啟發吧，由一點均勻向外擴散能形成圓，所以你從正方形的中心位置出發，畫了一些長度相等的線段，用曲線把這些線段的端點連起來，就畫出了圓。

師：我剛才還收集了另外兩名同學的作品（如圖5），他們基本也是按照第一小組的思路畫的圓，可為什么右邊的作品看起來明顯不夠圓呢？

生：圖中這個圖形從中心點到四周的距離不相等，所以圖形就不圓了。

生：我也同意這樣的說法。我還想補充一點，他畫的線比較少，所以畫起來有難度。

師：我國古代著名思想家、教育家墨子在 2400 年前就說過一句話：“圓，一中同長也。”你能理解這句話的意思嗎？

生：這句話的意思是說，圓的中心點到圓上的距離處處相等。

師：我也做了一個“一中同長”的圖形，我是這樣做的。

師：如果要形成一個完整的圓，你們覺得要畫多少條同樣長度的線段？

生：無數條。

師：對，無數條同樣長度的線段就會在四周形成無數個點，當點無限多的時候，這些點就構成了一條曲線，也就形成了圓。

（教師板書：同長、無數個點、曲線）

師：你們知道形成圓最關鍵的要素是什么嗎？

生：中心和同長。

師：數學上把圓中心的一點叫作圓心，用大寫字母O表示；把連接圓心與圓上任意一點的線段長度叫作半徑，用小寫字母r表示。

師：現在大家知道圓的圓心和半徑有什么用了嗎？

生：圓心確定圓的位置，半徑決定圓的大小。

設計意圖：教學設計要架起學生已有經驗和知識本質之間的橋梁，讓學生從現象感悟本質。教師設計“用刻度尺在正方形中畫出最大的圓”的活動，在交流中借助“滴水成圓”的現象引發學生對同長的感悟。通過這樣的數學活動，幫助學生理解形成圓的兩個關鍵要素：圓心和半徑。

（二）聯系“操場畫圓”，用圓規畫圓

任務二：①請根據“操場畫圓”的方法用圓規畫一個圓，并在圓中標出圓心和半徑。②把所畫的圓剪下來，折一折，說說你有什么發現。

師：剛才同學們借助“一中同長”畫出了圓，接下來請大家根據“操場畫圓”的方法，試一試用圓規畫圓。

（學生獨立操作，教師巡視指導）

師：你們覺得用圓規畫圓和“操場畫圓”有什么聯系？說說你們的想法。

生：圓規的針尖相當于皮尺固定的端點，筆尖相當于皮尺的另一個運動端點。

（教師板書：同長、軌跡、曲線）

師：圓規畫圓有同長嗎？

生：圓規針尖到筆尖的距離就是同長，也就是半徑。

師：請大家把用圓規畫出的圓剪下來，折一折，你們有什么發現？

（學生動手操作，教師巡視指導）

生：我把圓對折，發現它能夠完全重合，說明圓是軸對稱圖形，并且有無數條對稱軸。我還發現折痕都經過圓心。

師：這個同學真了不起，有這么多發現。數學上把通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫作圓的直徑，用 d 表示。

師：請大家想一想，圓內有多少條直徑？直徑和半徑之間有什么關系？

生：圓內有無數條直徑，因為圓有無數條對稱軸。直徑是半徑的 2 倍；半徑是直徑的 [12]。

設計意圖：任務二是在任務一的基礎上，讓學生完整地經歷從現象認識到本質理解，再根據本質尋找數學中的圓的全過程。學生通過用圓規作圓、折圓等操作活動，理解了圓的對稱性以及半徑與直徑的關系。

三、聯系生活，內化本質

師：有四個小朋友排成一排玩投球游戲，你覺得他們這樣玩公平嗎？如果不公平，應該如何調整？

生：排成一排玩不公平，他們應該排成圓形。因為圓形從圓心到圓上的距離處處相等，也就是說，小朋友們距離投球的球框距離都相等，這樣才公平。

師：有同學說圍成正方形也可以，你們覺得可以嗎？

生：可以，如果讓四個小朋友站在正方形的四個角上，那么游戲也是公平的。

師：我們一起來看一看。如果五個、六個或者更多個小朋友玩這個游戲，他們站在哪兒才公平呢？

（教師用課件逐一呈現圖7）

師：大家有什么發現嗎？

生：我發現正多邊形的邊越多，圖形越接近了圓。

師：如果正多邊形的邊無限多會怎么樣？

（引發學生思考，初步滲透極限思想）

設計意圖：數學源于生活，又應用于生活。學生用圓的本質解釋生活中一些現象的過程，就是他們對圓的本質進一步內化的過程。在應用過程中，學生可深入感悟一些數學思想方法，如“正多邊形的邊越多，正多邊形就越接近于圓”這樣的極限思想。

（浙江省杭州市臨平區臨平第一小學）