面向淺海水聲通信的TB-GOMP信道估計算法

孟熹亞,劉增力

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動化學(xué)院, 昆明 650504)

0 引言

隨著人類對海洋不斷地開發(fā)利用,水下通信技術(shù)也得到不斷提高。水聲通信是水下高速、高可靠數(shù)據(jù)傳輸?shù)奈ㄒ煌緩?如今水聲通信已廣泛應(yīng)用于科研、軍事和商業(yè)等領(lǐng)域,如海底數(shù)據(jù)收集、國家安全防御和海上石油遠(yuǎn)程遙控等[1-2]。水聲信道被認(rèn)為是最復(fù)雜的信道,其中淺海水聲信道受邊界條件(海面和海底)以及海水溫度分布的影響非常大,使得淺海信道環(huán)境更為復(fù)雜,是具有較大時延的典型多徑傳播信道[3]。在復(fù)雜的淺海環(huán)境下實現(xiàn)水聲通信的前提是通過信道估計獲得準(zhǔn)確的信道狀態(tài)信息(channel state information,CSI),信道估計也是發(fā)送端自適應(yīng)調(diào)制、信道均衡技術(shù)、接收機設(shè)計的關(guān)鍵,更是信號高質(zhì)量恢復(fù)的基礎(chǔ)和衡量水下通信系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)[4]。

OFDM系統(tǒng)采用多載波調(diào)制方式提高了頻譜利用率和抗多徑干擾的能力,因此被廣泛應(yīng)用于水聲通信[5],但由于水下信道的時變和高噪聲特性,使得傳統(tǒng)的最小二乘(least square,LS)法、最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)法等信道估計方法需要大量的子載波來傳輸導(dǎo)頻信息以保證信道估計的準(zhǔn)確性,嚴(yán)重占用頻譜資源[6],且插值類信道估計方法不能有效消除由多徑引起的頻域選擇性衰落信道的影響,無法準(zhǔn)確估計出數(shù)據(jù)處信道頻域響應(yīng),估計性能較差。研究表明,水聲信道是在時域響應(yīng)中具有大量零抽頭的稀疏信道,壓縮感知類算法能夠充分利用信道稀疏性,用較少的導(dǎo)頻獲得更好的信道估計效果[7-8]。壓縮感知算法對稀疏信號重構(gòu)的本質(zhì)是l0范數(shù)優(yōu)化問題,該問題是NP-hard的非凸優(yōu)化問題。基追蹤(basic pursuit,BP)算法[9]和最小絕對收縮選擇算子(least absolute shrinkage and selection operator,LASSO)[10]用l1范數(shù)代替l0范數(shù),將上述問題轉(zhuǎn)化成便于求解的凸優(yōu)化問題。上述2種算法提高了估計精度,但計算復(fù)雜度較高,且未充分考慮噪聲影響。基追蹤去噪(basis pursuit denoising,BPDN)算法是BP算法在有噪聲情況下的改進,通過求解擾動線性規(guī)劃問題重建原信號,但由于其算法復(fù)雜度受信道多徑時延影響較大,且運行時間過長無法對復(fù)雜多變的水聲信道進行及時有效的估計[11]。貪婪迭代算法估計精度高、運算速度快、硬件實現(xiàn)簡單,且對噪聲具有魯棒性,被廣泛應(yīng)用于水聲信道估計中。匹配追蹤(matching pursuits,MP)算法[12]是最早被提出的經(jīng)典貪婪算法,該算法通過多次迭代逼近原始信號,如果殘差在已選擇的原子進行垂直投影后是非正交的,則每次循環(huán)得不到最優(yōu)解。基于MP算法改進的正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法[13]保證了殘差和已選取原子的正交性,因避免相同的原子被重復(fù)選中,從而提高估計精度和收斂速度。此后,一些基于OMP改進的算法陸續(xù)被提出,壓縮采樣匹配追蹤算法(compressive sampling matching pursuit,CoSaMP)[14]和正則化正交匹配追蹤算法(regularized orthogonal matching pursuit,ROMP)[15]每次迭代選取多個原子,并且CoSaMP算法采用回溯思想,ROMP算法通過正則化標(biāo)準(zhǔn)對原子進行二次篩選,二者在估計精度和速度上相較于OMP算法有所提高。GOMP算法[16]同樣在每次迭代中選取多個原子減少運算時間,在無噪聲環(huán)境下效果優(yōu)于OMP算法,但在噪聲較大、信噪比(signal noise ratio,SNR)偏低的水聲信道中估計性能較差。

針對GOMP算法的不足,本文提出的TB-GOMP從多角度對GOMP進行了改進,首先提出合理的原子門限,對原子精細(xì)篩選,提高支撐集的可靠性,減少的原子數(shù)降低了最小二乘的計算量,相對提高了運算速度,且原子二次篩選降低了原子選取數(shù)S對算法性能的影響。其次,TB-GOMP算法中引入回溯思想消除GOMP算法中包含的誤選原子。最后迭代條件的設(shè)定充分考慮噪聲因素,提高了算法綜合性能。為驗證所提算法,在稀疏水聲信道下從算法運行時間、信道估計歸一化均方誤差和誤比特率對比CoSaMP、ROMP、GOMP和本文中所提算法性能,并通過選取不同導(dǎo)頻數(shù)和原子數(shù)驗證所提算法的穩(wěn)定性,實驗表明在多個指標(biāo)下所提算法在稀疏水聲信道估計應(yīng)用中均具有優(yōu)越性。

1 系統(tǒng)模型

在水聲通信中,水聲時變信道沖激響應(yīng)一般定義為如下[17]:

(1)

式中:hi(t)和τi(t)分別為t時刻第i條路徑的復(fù)增益和時延,L為信道長度,對于稀疏水聲信道,只有K條路徑攜帶信道信息,且K<

考慮一個具有N個子載波的OFDM系統(tǒng),并且假設(shè)信道的相干時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于OFDM符號周期,在OFDM符號周期中,信道響應(yīng)是時不變的。則公式(1)可以寫為:

輸入的數(shù)據(jù)流經(jīng)過調(diào)制、串并轉(zhuǎn)換和快速傅里葉逆變換得到時域信號x(n),再通過水聲信道:

y(n)=x(n)*h(n)+g(n)

式中:h(n)為h(τ)離散后的時域信道沖激響應(yīng),x(n)和h(n)進行卷積后加入高斯白噪聲g(n)最終得到輸出信號y(n),為避免碼間干擾,在OFDM符號前面加入循環(huán)前綴(cyclic prefix,CP),CP長度大于最大時延擴展τmax。

經(jīng)過去CP并對y(n)做N點快速傅里葉變換得到:

則頻域接收信號為:

Y=XH+G=XDh+G

(2)

其中,X= diag (X0,X1,…,XN-1)為OFDM符號中攜帶的有用數(shù)據(jù)和導(dǎo)頻數(shù)據(jù),維度為N×N,H為N×1的信道頻域響應(yīng),通過對時域信道沖激響應(yīng)做N點離散傅里葉變換(discrete fourier transform,DFT)得到,具體展開表示為H=Dh,即DFT矩陣D和時域信道沖激響應(yīng)h的乘積。

在壓縮感知OFDM框架下,先用導(dǎo)頻定位矩陣R得到收發(fā)雙方都已知的P個導(dǎo)頻子載波,并用其恢復(fù)完整信道沖激響應(yīng),則式(2)可以寫為:

YP=XPDPh+GP

(3)

其中,YP=RY為包含導(dǎo)頻數(shù)據(jù)的接收信號,這里稱為測量向量,XP=RXRT為包含導(dǎo)頻數(shù)據(jù)的發(fā)送信號,稀疏矩陣Dp是維度為P×L的DFT矩陣,GP=RG為導(dǎo)頻處的噪聲信號,令傳感矩陣M=Xp×Dp,則式(3)可以寫為:

YP=Mh+GP

(4)

為了使式(4)獲得唯一的稀疏解,M應(yīng)滿足有限等距性質(zhì)(restricted isometry property,RIP):

其中,δ2k是與稀疏度K有關(guān)的常數(shù),如果δ2k≤1,則M有較大的概率穩(wěn)定重構(gòu)出K稀疏信號h[18]。

2 GOMP算法和TB-GOMP算法

2.1 GOMP算法

文獻[16]中提出了OMP算法的推廣算法,即GOMP算法。OMP每次只篩選與殘差最相關(guān)的一個原子,而GOMP算法則是篩選出S個與殘差最相關(guān)的原子,但迭代次數(shù)減少、算法復(fù)雜度降低、運行時間縮短,GOMP算法流程如算法1所示:

算法1GOMP

輸入:測量向量YP,傳感矩陣M,稀疏度K,原子選擇數(shù)S。

初始化:殘差r0=YP,迭代次數(shù)t=1,支撐集Λ0=?;

1) 計算內(nèi)積并取絕對值:u=|〈rt-1,mj〉|, 1≤j≤L,mj為矩陣M的第j列;

2) 挑選原子:選擇u中最大的S個值,并將其對應(yīng)于M的列序號j構(gòu)成集合J0;

3) 擴容支撐集:Λt=Λt-1∪J0,MΛt=MΛt-1∪mj,j∈J0;

4) 通過最小二乘運算估計信道:

6)t=t+1,當(dāng)t≤min(K,P/S)時返回到第1)步;否則終止迭代。

由算法原理可知,GOMP算法僅是針對OMP原子選擇上的改進,多選的原子雖會減少迭代次數(shù),但增加了算法1中第(4)步的計算負(fù)擔(dān),同時降低算法重構(gòu)精度。此外,S值選取的偏差會導(dǎo)致估計結(jié)果相差較大,且該算法未體現(xiàn)在有噪聲情況下的處理,針對以上問題提出TB-GOMP算法。

2.2 TB-GOMP算法

TB-GOMP算法對GOMP算法提出以下3個方面的改進:

1) 原子篩選門限。通過算法1中的第(1)步得到內(nèi)積后進行排序,取內(nèi)積最大的前2個值ut1和ut2設(shè)計原子選擇門限α:

(5)

從式(5)可以看出,門限值的選取采用了在2個原子間取折中的思想。其中μ是折中因子,取值過大,會篩除有效原子,估計誤差偏大;取值過小,相關(guān)度低的原子無法濾掉,導(dǎo)致算法2第(6)步計算量過大,運行時間長,故所提算法μ值范圍在設(shè)置在[0.2,0.4],3.1節(jié)中的實驗測試表明了在這個范圍內(nèi)從運行時間和估計精度方面都表現(xiàn)出較好的效果。每次迭代時ut1和ut2都會隨更新殘差的變化而變化,而μ在實驗時取固定值,故式(5)中所提α在算法的迭代過程中是一個動態(tài)變化的門限,由此可以保證在每次迭代時都能通過門限篩選出相關(guān)度更高的原子。

從S個原子中重新篩選出大于門限α的Sα個原子有3方面改善:其一是原子選擇更精確:計算內(nèi)積的本質(zhì)是計算原子相關(guān)度,原子選擇門限由內(nèi)積值最大的前2個原子確定,保證了二次篩選的原子的準(zhǔn)確度,提高了支撐集的可靠性;其二是降低運算復(fù)雜度:Sα列組成的矩陣進行最小二乘法運算時涉及矩陣的偽逆運算,由于Sα≤S,因此減少了此步的計算量;其三是提高算法穩(wěn)定性:淺海水聲信道環(huán)境惡劣且未知,會導(dǎo)致信道稀疏度的多變,水聲信道估計之前一般先對稀疏度進行估計,稀疏度估計的偏差導(dǎo)致原子選取個數(shù)的偏差,選擇過多或過少都會影響估計精度,而二次篩選會降低原子選擇數(shù)S對估計結(jié)果的影響和對稀疏度的依賴性,從而提高算法的穩(wěn)健性。

2) 加入回溯。對于GOMP,當(dāng)完成K次迭代時,最終選擇的原子數(shù)為KS個,而對于改進算法TB-GOMP,完成迭代過程最終選出的原子數(shù)在K和KS之間,仍有誤選原子數(shù)擴大支撐集的問題。引入CoSaMP算法的回溯思想,每次迭代時用最小二乘法恢復(fù)稀疏信號后,只挑選前K個最大值和其對應(yīng)位置傳感矩陣的列進行殘差計算,采用最后一次迭代的K個最大值對應(yīng)的原子去求稀疏解,以此提高稀疏解的可靠性。

3) 迭代停止條件。算法迭代停止條件會影響重構(gòu)精度,停止條件過高無法對信道進行完整精確的估計,過低會造成收斂速度慢,由于式(4)是從噪聲中恢復(fù)信道沖激響應(yīng),因此在改進算法中用噪聲的l2范數(shù)作為迭代停止條件:

(6)

其中,Gp是導(dǎo)頻處的頻域噪聲,有些情況下無需迭代min(K,P/S)次,達(dá)到迭代條件式(6),即可從噪聲中較準(zhǔn)確地恢復(fù)出稀疏信道,從而提高算法收斂速度,TB-GOMP算法步驟如算法2所示:

算法2TB-GOMP

輸入:測量向量Yp,傳感矩陣M,稀疏度K,原子選擇數(shù)S。

初始化:殘差r0=Yp,迭代次數(shù)t=1,支撐集Λ0=?;

1) 計算內(nèi)積并取絕對值:u=|〈rt-1,mj〉|, 1≤j≤L,mj為矩陣M的第j列;

2) 挑選原子:選擇u中最大的S個值uS,保留S個值對應(yīng)于M的列序號;

3) 通過式(5)計算原子門限α;

4) 對原子進行二次篩選:從這S個原子中選出uS≥α的Sα個原子,并將其對應(yīng)于M的列序號j構(gòu)成集合J0;

5) 擴容支撐集:Λt=Λt-1∪J0,MΛt=MΛt-1∪mj,j=1,2,…,Sα;

6) 通過最小二乘運算估計信道:

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 實驗參數(shù)設(shè)置

仿真實驗中所用水聲OFDM符號含512個子載波,調(diào)制方式為16QAM,由于OFDM的信號功率譜是很多頻移后的sinc函數(shù)的總和,具有較大帶外功率,會造成鄰道干擾,用虛擬載波(即傳輸帶寬兩端不使用的空載波)可以抑制鄰道干擾。考慮頻譜效率因素,本實驗中OFDM符號兩端一共設(shè)置52個空載波。導(dǎo)頻數(shù)據(jù)采用梳狀方式隨機插入信號子載波中,為避免碼間干擾,CP長度大于信道長度。

本實驗中均采用BELLHOP水聲信道模型仿真稀疏水聲信道沖激響應(yīng),使用一個聲源和一個接收器,深度分別為12 m和15 m,聲源與接收器之間的距離為1 000 m,聲線掠射角為[-80°,80°],圖1(a)的聲速剖面為某淺海海域水深60 m處的實測數(shù)據(jù),按照上述環(huán)境下仿真出稀疏度為12的水聲信道沖激響應(yīng),歸一化后去掉幅值小于0.1的沖激后得到如圖1(b)所示的稀疏度K為8的信道,用該信道作為仿真所用信道,橫軸為相對時延,縱軸為歸一化幅度,由圖1(b)可知該水聲信道具有明顯的稀疏性。

圖1 BELLHOP水聲信道仿真

在上述環(huán)境下,通過實驗證明TB-GOMP算法中μ值范圍選取[0.2,0.4]的合理性,設(shè)置導(dǎo)頻數(shù)為34,原子選擇數(shù)S為4,對比μ值取0.1、0.2、0.3、0.4和0.5時的歸一化均方誤差(normalized mean square error,NMSE)和所用時間,每種信噪比下NMSE的定義如下:

其中T是每種信噪比下仿真的次數(shù),本次實驗中每種算法都進行了1 000次仿真,信噪比是0～20 dB,μ取不同值時的NMSE如圖2所示,所用時間如表1所示。

通過圖2可以看出,當(dāng)μ值選取偏大時(即μ=0.5時),導(dǎo)致原子門限設(shè)置過大,無法對原子進行有效篩選,當(dāng)信噪比增大時,NMSE較大且曲線趨于平滑,信道估計結(jié)果偏差較大,同時表1也說明了取值偏大時挑選原子過少導(dǎo)致迭代次數(shù)增加,從而運行時間變長,當(dāng)μ值選取偏小時(即μ=0.1時),信道估計的NMSE和μ=0.2時接近,但增加的計算量需要耗費更多時間。通過實驗權(quán)衡估計精度和運算速度兩個指標(biāo),可以將μ值取在[0.2,0.4],以此為依據(jù),3.2節(jié)的仿真實驗均取μ=0.3。

圖2 不同μ值下信道估計的NMSE

表1 不同μ值下的運行時間

3.2 實驗結(jié)果和性能分析

仿真1主要對比ROMP 、CoSaMP、GOMP和改進算法TB-GOMP的NMSE和誤比特率(bit error ratio,BER),為了更客觀地驗證各種算法的實驗效果和本文中所提算法的有效性,采用控制變量法,仿真時除所用算法不同外,OFDM的參數(shù)和水聲信道環(huán)境同3.1中的設(shè)置相同,導(dǎo)頻數(shù)量均為34個。4種算法每次迭代都選取多個原子,首先計算傳感矩陣各列與殘差的內(nèi)積,然后實驗中不同算法按照各自提出的方式進行原子篩選,其中ROMP算法最大的改進是提出通過正則化對原子2次選擇,每次迭代時選出內(nèi)積最大前K個值,從K個值中篩選出不大于其最小值2倍且能量最大的原子,CoSaMP算法每次迭代時選出內(nèi)積最大的前2K個值進行支撐集擴充,GOMP和TB-GOMP算法每次迭代時選出內(nèi)積最大前3個值(即S=3),并且TB-GOMP算法按照式(5)所提出的原子選擇門限進行2次篩選。不同算法下的NMSE和BER如圖3和圖4所示。

由圖3和圖4可以看出壓縮感知類算法都可以用較少的導(dǎo)頻從噪聲中恢復(fù)出整個信道,且NMSE和BER曲線走勢相同。4種算法的NMSE和BER都隨著信噪比的增加而變小,相比之下,TB-GOMP算法在2個指標(biāo)下的仿真結(jié)果都優(yōu)于其他算法。GOMP算法每次迭代時挑選S個值擴充支撐集,并用它們支撐集所對應(yīng)于傳感矩陣的列進行最小二乘運算,進而更新殘差,故每次迭代的殘差受所挑選原子的影響,原子挑選不夠精細(xì)降低了每次迭代中殘差值的準(zhǔn)確性,上一次迭代的殘差參與下一次迭代中的內(nèi)積運算,造成誤差累積,并且由于沒有引入回溯思想,誤選原子數(shù)變多,所以相較其他算法效果更差。CoSaMP算法進行支撐集擴充時同樣存在誤選原子問題,相較于GOMP算法,CoSaMP算法采用了回溯的思想,所以估計效果優(yōu)于GOMP。ROMP算法所用的正則化方式與TB-GOMP算法中原子門限相比,篩選出來的原子相關(guān)性較低,由于正則化每次挑選的原子多于一個,最終得到原子數(shù)多于K個,沒有進行回溯刪除誤選原子,影響了估計效果。從圖3可以看出當(dāng)信噪比達(dá)到10 dB后,該算法的NMSE下降得很平緩,信噪比較大時效果低于其他算法。

圖3 不同信道估計方法的NMSE比較

圖4 不同信道估計方法的BER比較

導(dǎo)頻數(shù)目也會影響算法的重構(gòu)精度,為了探究改進算法在不同導(dǎo)頻數(shù)目下的估計效果,仿真2中GOMP算法和TB-GOMP算法的原子選擇數(shù)S均取3,用導(dǎo)頻數(shù)為44的GOMP算法和導(dǎo)頻數(shù)分別為24、34和44時的TB-GOMP算法進行仿真實驗對比,NMSE結(jié)果如圖5所示。其中導(dǎo)頻數(shù)注于圖例算法名稱后。

圖5 不同導(dǎo)頻數(shù)信道估計的NMSE

由圖5可以看出,導(dǎo)頻數(shù)越多,改進算法的估計性能越好,并且TB-GOMP能用更少的導(dǎo)頻獲得比GOMP更好的效果,相比于導(dǎo)頻數(shù)為44的GOMP,僅用34個導(dǎo)頻的TB-GOMP算法在整個過程中的估計效果要比GOMP好3～5 dB,并且在10 dB之前的低信噪比下,44個導(dǎo)頻數(shù)的改進算法可以獲得5dB的性能增益,并且性能增益隨著信噪比的增加變大,當(dāng)信噪比為20 dB時,改進算法可以有10 dB的增益。即使TB-GOMP算法僅選用24個導(dǎo)頻(約占有用載波數(shù)的5%),在4 dB之前的低信噪比下,仍然要好于使用44個導(dǎo)頻的GOMP算法。

為了驗證改進算法對原子選擇數(shù)S的依賴性,仿真3分別對S為3、6和9時的TB-GOMP算法和GOMP算法進行對比仿真,GOMP算法和TB-GOMP算法的導(dǎo)頻數(shù)均為34,仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 選取不同原子數(shù)信道估計的NMSE

由圖6可知,原子選擇數(shù)S值選取的不同造成GOMP算法估計效果的差異,由于GOMP未進行回溯,當(dāng)S取值偏小時估計出的沖激響應(yīng)的個數(shù)更接近稀疏度,所以S=3時的估計效果比S=6和S=9時相對較好,而TB-GOMP算法在S取不同值時估計性能受原子選擇數(shù)的影響很小,NMSE曲線比較接近,由此可以說明TB-GOMP算法的穩(wěn)定性更高,并且在S值大于稀疏度時改進算法依然適用。

表2 不同算法運行時間

如表2所示,仿真4對比了不同算法在0～20 dB信噪比范圍內(nèi),每種信噪比下仿真1 000次所用總時間,小數(shù)部分精確到百分位,參數(shù)設(shè)置與仿真1相同。這幾種算法計算量主要集中在最小二乘法中矩陣的偽逆運算,由于ROMP和TB-GOMP都進行二次原子篩選,原子數(shù)的減少降低了矩陣偽逆的運算量,故相較于其他算法運行時間更短,由表2可知,TB-GOMP算法的時間比GOMP少了近1.8倍,比CoSaMP少了近2.5倍,在時間方面呈現(xiàn)顯著效果。

4 結(jié)論

本文分析了GOMP算法由于篩選的原子相關(guān)性不高、誤選原子數(shù)過多且未考慮噪聲情況的問題,提出TB-GOMP算法,該算法通過設(shè)置合理的原子門限進行原子2次篩選、引入回溯步驟并設(shè)置噪聲下的迭代條件,應(yīng)用于稀疏淺海信道OFDM系統(tǒng),實驗表明提高了信道估計精度,通過降低算法計算量縮短了估計時間,使用較少導(dǎo)頻提高了頻譜利用率,并且該算法原子選擇數(shù)受稀疏度影響較小,同時算法的魯棒性也得到提升。

該算法雖然降低了對稀疏度的依賴性,但實際水聲信道稀疏度是未知參數(shù),因此下一步針對稀疏度估計方式和自適應(yīng)信道估計算法展開研究,結(jié)合淺海水聲信道的時變性,信道估計準(zhǔn)確性和時效性也有待進一步提高。