“以終為始，評(píng)價(jià)先行”的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐研究

李俊 張祖蘭

［摘 要］基于“教、學(xué)、評(píng)一致性”原則設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)、學(xué)習(xí)任務(wù)、評(píng)價(jià)任務(wù)，讓評(píng)價(jià)始終貫穿各教學(xué)環(huán)節(jié)，可以有效診斷教學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)教學(xué)生成，激勵(lì)學(xué)生保持學(xué)習(xí)的動(dòng)力，促進(jìn)教師和學(xué)生的共同發(fā)展。文章以“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為例，為核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的“教、學(xué)、評(píng)”深度融合的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供實(shí)踐參考。

［關(guān)鍵詞］教、學(xué)、評(píng)一致性；教學(xué)評(píng)價(jià)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

［中圖分類號(hào)］ ? ?G633.6 ? ? ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ ? ?A ? ? ? ? ?［文章編號(hào)］ ? ?1674-6058（2023）03-0029-06

評(píng)價(jià)能幫助教師實(shí)時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，是教師對(duì)后續(xù)教學(xué)做出調(diào)整的依據(jù)；評(píng)價(jià)能幫助學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，為學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)提供方向。評(píng)價(jià)作為促進(jìn)教與學(xué)的要素應(yīng)貫穿在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中。

傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)主要是依據(jù)教材和教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，一般模式是“制訂目標(biāo)→組織教學(xué)→實(shí)施評(píng)價(jià)”，將完成課程標(biāo)準(zhǔn)既定的教學(xué)內(nèi)容當(dāng)作目標(biāo)，以教學(xué)結(jié)束后的終結(jié)性檢測(cè)（如課后測(cè)驗(yàn)或考試）為評(píng)價(jià)依據(jù)。這樣的做法存在兩大弊端：第一，教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展之前，教師并不清楚目標(biāo)達(dá)成的標(biāo)志是什么，也不清楚學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和目標(biāo)之間的距離，使得評(píng)價(jià)的診斷作用得不到發(fā)揮。第二，在教學(xué)過(guò)程中，教師無(wú)從判斷教學(xué)效果和學(xué)生掌握知識(shí)的情況，課堂變成教師傳授知識(shí)和完成教學(xué)任務(wù)的工具，學(xué)生的課堂主體性得不到突顯，違背了“教學(xué)應(yīng)為學(xué)生服務(wù)”的本質(zhì)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)往往因缺乏目標(biāo)導(dǎo)向、評(píng)價(jià)反饋、教學(xué)改進(jìn)而使得課堂低效或無(wú)效。因此，傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)方式面臨變革的迫切要求。

美國(guó)課程研究專家格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格在《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)》一書(shū)中提出了針對(duì)性的設(shè)計(jì)方法——“逆向設(shè)計(jì)”。這種教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)習(xí)結(jié)果開(kāi)始逆向思考，共分為三個(gè)階段：第一階段，確定預(yù)期結(jié)果；第二階段，確定達(dá)到預(yù)期結(jié)果的證據(jù)；第三階段，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。這種教學(xué)設(shè)計(jì)的特征是：教師在思考如何開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)之前，先思考通過(guò)教學(xué)要達(dá)到怎樣的目標(biāo)，哪些證據(jù)能夠表明學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到了目標(biāo)，在教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)之前就確定好要達(dá)到的目標(biāo)和證據(jù)，把評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)提到教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的前面，使評(píng)價(jià)嵌入教學(xué)過(guò)程中，成為診斷和驅(qū)動(dòng)教學(xué)的工具。這樣一來(lái)，教師可先通過(guò)評(píng)價(jià)活動(dòng)診斷學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和目標(biāo)之間的距離，再安排相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)，讓教學(xué)成為發(fā)現(xiàn)證據(jù)、接近目標(biāo)的過(guò)程，使教學(xué)的指向性更明確。教師在教學(xué)中可以根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的證據(jù)判斷學(xué)生的知識(shí)掌握情況，進(jìn)而檢驗(yàn)自身的教學(xué)效果，并做出調(diào)整。學(xué)生能及時(shí)發(fā)現(xiàn)、反思學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，從而改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)方法。如此，評(píng)價(jià)不再是教學(xué)結(jié)束后的終結(jié)性檢測(cè)，而是在“教學(xué)—評(píng)價(jià)—改進(jìn)—教學(xué)”反復(fù)循環(huán)的過(guò)程中不斷促進(jìn)目標(biāo)的達(dá)成。這種“以終為始，評(píng)價(jià)先行”的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)，能讓教師基于課程標(biāo)準(zhǔn)，明確學(xué)生要“到哪里去”，通過(guò)評(píng)價(jià)診斷目前學(xué)生“在哪里”，思考設(shè)計(jì)怎樣的教學(xué)活動(dòng)才能讓學(xué)生“到那里”，再通過(guò)評(píng)價(jià)證據(jù)判斷學(xué)生是否已經(jīng)“到那里”。不斷地對(duì)預(yù)設(shè)與目標(biāo)進(jìn)行回望，可促進(jìn)教師對(duì)教學(xué)活動(dòng)的有效設(shè)計(jì)和思考。“以終為始，評(píng)價(jià)先行”的教學(xué)理念符合教育評(píng)價(jià)改革的時(shí)代要求，有利于我們落實(shí)立德樹(shù)人的課程目標(biāo)。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

如何在教學(xué)過(guò)程中秉承并落實(shí)“以終為始，評(píng)價(jià)先行”的教學(xué)理念？如何基于教學(xué)評(píng)價(jià)來(lái)精準(zhǔn)設(shè)計(jì)教學(xué)？如何在教學(xué)中進(jìn)行全面系統(tǒng)的教學(xué)評(píng)估？這些都是廣大一線教師關(guān)心的話題，也是教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵點(diǎn)。接下來(lái)，筆者將分享“以終為始，評(píng)價(jià)先行”教學(xué)設(shè)計(jì)思路。

教師的教、學(xué)生的學(xué)以及對(duì)教與學(xué)的評(píng)價(jià)均基于明確的教學(xué)目標(biāo)，三者之間具有緊密的關(guān)聯(lián)性。課前，教師應(yīng)先根據(jù)預(yù)設(shè)目標(biāo)構(gòu)思教學(xué)評(píng)價(jià)框架，再基于“教、學(xué)、評(píng)一致性”原則圍繞目標(biāo)設(shè)計(jì)并實(shí)施精準(zhǔn)教學(xué)，科學(xué)地進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生高效學(xué)習(xí)。

首先，預(yù)設(shè)課前評(píng)價(jià)，實(shí)施定位性評(píng)價(jià)。制訂教學(xué)目標(biāo)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析，確定教學(xué)與評(píng)價(jià)思路，進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)方案的預(yù)設(shè)，利用評(píng)價(jià)引導(dǎo)教學(xué)、監(jiān)測(cè)教學(xué)。其次，課中實(shí)施過(guò)程性評(píng)價(jià)。通過(guò)課堂導(dǎo)入進(jìn)行診斷性評(píng)價(jià)，明晰學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況；及時(shí)對(duì)學(xué)生的課堂表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié)，總結(jié)教學(xué)成果與不足，并持續(xù)跟進(jìn)。最后，基于后測(cè)結(jié)果、評(píng)價(jià)反思和評(píng)價(jià)量表等對(duì)“教、學(xué)、評(píng)一致性”的達(dá)成度進(jìn)行診斷。具體教學(xué)設(shè)計(jì)思路如圖1所示。

下面筆者以“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例，探索并分析高中數(shù)學(xué)課堂中的評(píng)價(jià)先行教學(xué)策略，以期達(dá)成精準(zhǔn)評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)，落實(shí)立德樹(shù)人。

二、教學(xué)實(shí)踐過(guò)程

（一）課前評(píng)價(jià)預(yù)設(shè)

1.制訂教學(xué)目標(biāo)

“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是人教版教材選擇性必修第一冊(cè)第二章的內(nèi)容。筆者根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)）將本課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：能根據(jù)圓的定義確定圓的幾何要素，并利用坐標(biāo)法探索及推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 能根據(jù)圓的方程，研究圓的相關(guān)幾何性質(zhì)； 能用曲線方程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題以及實(shí)際問(wèn)題。

在初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的概念與基本性質(zhì)，知道了直線與圓有三種位置關(guān)系。在高中階段，學(xué)生需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從解析幾何的角度繼續(xù)研究圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系等問(wèn)題。研究方法發(fā)生了明顯的改變，從純粹的平面幾何研究變成了運(yùn)用解析幾何的思想進(jìn)行探究，即將曲線圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)用有序數(shù)對(duì)刻畫(huà)曲線中的點(diǎn)，進(jìn)而建立其曲線方程，再運(yùn)用代數(shù)的符號(hào)運(yùn)算將曲線圖形的空間元素以及元素間的關(guān)系表達(dá)出來(lái)；通過(guò)曲線方程定量研究曲線的性質(zhì)，對(duì)曲線進(jìn)行“運(yùn)算”，找出運(yùn)算結(jié)果背后蘊(yùn)含的幾何特征。但解析幾何的研究方法對(duì)學(xué)生而言比較抽象，因此多數(shù)學(xué)生會(huì)感到比較困難。下面根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平要求和學(xué)業(yè)質(zhì)量水平要求，制訂“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)目標(biāo)。

目標(biāo)1：能夠類比直線方程的建立過(guò)程推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

目標(biāo)達(dá)成的標(biāo)志：學(xué)生能夠?qū)A的定義轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系中圓上點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式，并推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

目標(biāo)2：能夠靈活分析題意，求解出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

目標(biāo)達(dá)成的標(biāo)志：學(xué)生能靈活地選用直接法、待定系數(shù)法、幾何法等方法求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

目標(biāo)3：能利用圓的方程研究圓的幾何性質(zhì)，提升應(yīng)用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

目標(biāo)達(dá)成的標(biāo)志：學(xué)生會(huì)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并能借助圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問(wèn)題。

2.確定教學(xué)與評(píng)價(jià)思路

通過(guò)上述對(duì)教材、課程標(biāo)準(zhǔn)以及學(xué)情的分析，我們已經(jīng)確定了課時(shí)目標(biāo)以及評(píng)價(jià)的依據(jù)，接著需從目標(biāo)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)合適的學(xué)習(xí)情境，提出課時(shí)學(xué)習(xí)核心問(wèn)題，發(fā)布課時(shí)關(guān)鍵任務(wù)，并通過(guò)一系列的學(xué)習(xí)活動(dòng)幫助學(xué)生解決問(wèn)題，同時(shí)跟蹤檢測(cè)課時(shí)目標(biāo)的達(dá)成情況，及將檢測(cè)效果作用于教學(xué)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)“以終為始”的良性教學(xué)循環(huán)。

3.預(yù)設(shè)教學(xué)評(píng)價(jià)方案

（1）導(dǎo)入階段

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)1：以問(wèn)題情境為學(xué)習(xí)出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的深度思考，感悟?qū)W習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的必要性。

教師教學(xué)評(píng)價(jià)方案預(yù)設(shè)1：讓學(xué)生采用小組合作探究的方式進(jìn)行討論，各小組代表上臺(tái)展示解決實(shí)際情境問(wèn)題的方法，教師對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)給予肯定和鼓勵(lì)。

（2）授課階段

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)2：回顧研究直線方程的過(guò)程，類比研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師教學(xué)評(píng)價(jià)方案預(yù)設(shè)2：讓學(xué)生歸納研究解析幾何問(wèn)題的路徑和方法，通過(guò)提問(wèn)啟發(fā)其他學(xué)生補(bǔ)充、評(píng)議。

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)3：從圓的定義中找到唯一確定圓的幾何要素，通過(guò)坐標(biāo)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，并化簡(jiǎn)推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師教學(xué)評(píng)價(jià)方案預(yù)設(shè)3：讓學(xué)生板書(shū)分享圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，教師對(duì)學(xué)生書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，給予激勵(lì)性評(píng)價(jià)，讓學(xué)生保持學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)4：分析圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵點(diǎn)，明確求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是求出圓心和半徑。

教師教學(xué)評(píng)價(jià)方案預(yù)設(shè)4：投影學(xué)生的計(jì)算結(jié)果，引發(fā)討論，基于計(jì)算結(jié)果收集證據(jù)，以學(xué)生作為評(píng)價(jià)主體完成對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)任務(wù)。

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)5：從判斷特殊點(diǎn)與圓的位置關(guān)系入手，推廣到判斷平面內(nèi)任意一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)用“由特殊到一般”的思想研究數(shù)學(xué)對(duì)象。

教師教學(xué)評(píng)價(jià)方案預(yù)設(shè)5：讓學(xué)生及時(shí)總結(jié)，積極思考與推廣，感悟數(shù)學(xué)思想方法，教師給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥。

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)6：學(xué)以致用，將所學(xué)知識(shí)用來(lái)解決新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)中提出的實(shí)際問(wèn)題，首尾呼應(yīng)，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的。

教師教學(xué)評(píng)價(jià)方案預(yù)設(shè)6：讓學(xué)生自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)，教師觀察學(xué)生是否具備數(shù)學(xué)建模的思想。

（3）總結(jié)階段

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)7：學(xué)生自發(fā)主動(dòng)地總結(jié)、分享課程學(xué)習(xí)的收獲與不足，完成自我評(píng)價(jià)與反思。

教師教學(xué)評(píng)價(jià)方案預(yù)設(shè)7：通過(guò)師生交流、提問(wèn)等方式，對(duì)學(xué)生在本節(jié)課中的學(xué)習(xí)表現(xiàn)進(jìn)行總結(jié)性評(píng)價(jià)。

（二）課中評(píng)價(jià)實(shí)施

1.導(dǎo)入階段

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)1：體驗(yàn)生活中的圓，發(fā)現(xiàn)圓的美。

【創(chuàng)設(shè)情境】圓與我們的生活息息相關(guān)。有一種中式美學(xué)叫中國(guó)圓，如蘇州園林的月洞門(mén)，巧思妙境，令人陶醉；北京天壇的皇穹宇也融入了眾多圓形設(shè)計(jì)，宏偉大氣，非常壯觀；號(hào)稱中國(guó)第一圓樓的客家土樓花萼樓美得像一朵花。在這些建筑中我們都能發(fā)現(xiàn)圓的美。

學(xué)生行為表現(xiàn)1：賞析 “中國(guó)圓”古建筑，激發(fā)民族文化認(rèn)同感，增強(qiáng)民族自信、文化自信，提升學(xué)習(xí)動(dòng)力。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)1：在教學(xué)中滲透美育，觀察學(xué)生是否會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)、欣賞生活中的美。

問(wèn)題1：日常生活中圓的應(yīng)用十分廣泛，如一條通車(chē)隧道，在隧道口我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)限高的標(biāo)志。那么這個(gè)限高的數(shù)據(jù)是如何得到的？如何從數(shù)學(xué)的角度給出合理的解釋呢？

【小組探究】如圖2所示，已知隧道的截面是半徑為5米的半圓，車(chē)輛只能在道路中間線的右側(cè)行駛。一輛寬為3米、高為4.3米的貨車(chē)能不能駛?cè)脒@條隧道？

學(xué)生行為表現(xiàn)2：積極參與小組互動(dòng)，熱烈討論，得到三種可能，并抽象出如圖3所示的數(shù)學(xué)模型，提出不同解決方案。

生1：我們可以構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)AC的長(zhǎng)度比半徑大，因此貨車(chē)不能駛?cè)胨淼馈?/p>

生2：我們可以嘗試用圓的方程來(lái)進(jìn)行研究。如果用方程表示圓，并知道點(diǎn)[C]的坐標(biāo)，那么只需判斷點(diǎn)[C]是在圓的內(nèi)部還是外部即可知道貨車(chē)能不能駛?cè)脒@條隧道。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)2：通過(guò)提問(wèn)、補(bǔ)充、自評(píng)、互評(píng)等方式，鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察世界，解構(gòu)問(wèn)題，并進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，自然過(guò)渡到本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

2. 授課階段

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)2：回顧直線方程的建立過(guò)程，確定建立圓的方程的研究思路。

問(wèn)題2：直線方程是如何建立的？

追問(wèn)1：如何通過(guò)直線的幾何要素構(gòu)建代數(shù)方程？

追問(wèn)2：如何類比直線方程的建立過(guò)程建立圓的方程？

追問(wèn)3：圓的幾何要素是什么？

學(xué)生行為表現(xiàn)3：通過(guò)回憶直線方程的推導(dǎo)過(guò)程，類比研究圓的方程。由于圓的幾何要素——圓心和半徑較易確定，因此研究過(guò)程比較順暢。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)3：觀測(cè)學(xué)生能否遷移直線方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，類比推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

【數(shù)學(xué)史】圓的定義是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。定點(diǎn)（圓心）確定圓的位置，定長(zhǎng)（半徑）確定圓的大小，因此確定一個(gè)圓的幾何要素有兩個(gè)：圓心和半徑。這是希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給出的定義，但早在兩千多年前我國(guó)數(shù)學(xué)家墨子就用樸素簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言刻畫(huà)出了圓的本質(zhì)：“圓，一中同長(zhǎng)也。”這比歐幾里得早了100年，說(shuō)明中華民族不僅是一個(gè)有著五千年光輝燦爛文化的民族，還是一個(gè)有數(shù)學(xué)天賦的民族。

學(xué)生行為表現(xiàn)4：感受中華民族的數(shù)學(xué)成就，產(chǎn)生強(qiáng)烈的民族自豪感，提升文化自信。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)4：通過(guò)數(shù)學(xué)史進(jìn)行史料育人，讓學(xué)生了解中國(guó)古代燦爛輝煌的數(shù)學(xué)歷史，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家勤奮鉆研、勇于創(chuàng)新的優(yōu)秀品質(zhì)。

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)3：將幾何問(wèn)題代數(shù)化，推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

問(wèn)題3：若圓心為A（a，b），半徑為r，則圓上任意一點(diǎn)[M（x，y）]的坐標(biāo)滿足怎樣的關(guān)系式？

學(xué)生行為表現(xiàn)5：如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圓[A]的圓心[A]的坐標(biāo)為（a，b），半徑為[r]，[M（x，y）]為圓A上的任意一點(diǎn)，圓[A]就是以下點(diǎn)的集合[P=MMA=r]。根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)[M]的坐標(biāo)[（x，y）]滿足的條件可以表示為[（x-a）2+（y-b）2=r]，兩邊平方，得到[（x-a）2+（y-b）2=r2]。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)5：留足時(shí)間給學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并鼓勵(lì)學(xué)生上臺(tái)分享展示。教師在旁觀察、診斷學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，幫助學(xué)生解決困難；關(guān)注學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程，診斷學(xué)生是否能調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比探究，是否了解應(yīng)用坐標(biāo)法研究解析幾何問(wèn)題的基本步驟，是否積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得“四基”、提高“四能”；在學(xué)習(xí)過(guò)程中是否順利發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

問(wèn)題4：方程[（x-a）2+（y-b）2=r2]是否是圓的方程？

學(xué)生行為表現(xiàn)6：一開(kāi)始不太理解為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念，不理解數(shù)量關(guān)系與空間形式之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的內(nèi)在含義。通過(guò)思考之后發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)[M（x， y）]在圓[A]上，則點(diǎn)[M]的坐標(biāo)滿足方程[（x-a）2+（y-b）2=r2]；反過(guò)來(lái)，若點(diǎn)[M]的坐標(biāo)[（x ，y）]滿足方程[（x-a）2+（y-b）2=r2]，則點(diǎn)[M]與圓心[A]的距離為[r]，即點(diǎn)[M]在圓[A]上。因此，方程[（x-a）2+（y-b）2=r2]可稱為以[A（a ，b）]為圓心、半徑為[r]的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)6：“曲線的方程”與“方程的曲線”概念比較抽象，學(xué)生不易理解。教師可通過(guò)提問(wèn)、追問(wèn)等方式了解學(xué)生的理解程度。讓學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題4的思考與分析，明確解析幾何中圓與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解正是因?yàn)橛辛丝臻g形式與數(shù)量關(guān)系的這種一一對(duì)應(yīng)，才可以利用方程來(lái)表示曲線，對(duì)曲線進(jìn)行“運(yùn)算”，以及建立方程的幾何直觀表達(dá)，把方程“形象化”。

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)4：明確圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)行求解運(yùn)算。

練習(xí)1：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出圓心和半徑。

[①（x-3）2+（y-4）2=4;]

[②（x+3）2+（y-1）2=2]。

變式：[（3x-2）2+（3y-6）2=27。]

練習(xí)2：求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

①圓心為A（2，-3），半徑為5；②圓心為A（2，-3），且過(guò)點(diǎn)（1，-1）。

練習(xí)3：求過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

學(xué)生行為表現(xiàn)7：對(duì)于練習(xí)1和練習(xí)2，學(xué)生能快速準(zhǔn)確地回答。由于變式中的圓的方程為非標(biāo)準(zhǔn)形式，部分學(xué)生在判斷圓心和半徑時(shí)存在一定的困難。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)7：觀察學(xué)生是否掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)并能根據(jù)方程快速判斷圓心和半徑，反過(guò)來(lái)已知圓心和半徑能否熟練求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教師在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)及時(shí)糾正。

學(xué)生行為表現(xiàn)8：對(duì)于練習(xí)3，學(xué)生能熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，但對(duì)三元二次方程組的求解感到困難，較少學(xué)生想到用幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)8：觀察學(xué)生能否根據(jù)題意靈活選擇適合的方法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。針對(duì)學(xué)生解三元二次方程存在的困難，教師詳細(xì)板書(shū)運(yùn)算過(guò)程，幫助學(xué)生突破運(yùn)算難點(diǎn)，掌握運(yùn)算方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。讓學(xué)生通過(guò)展示分享、交流互評(píng)，體會(huì)不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)5：通過(guò)特殊到一般的思維模式學(xué)會(huì)判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系。

練習(xí)4：[△ABC]的三個(gè)頂點(diǎn)分別是[A（5 ，1）]，B（7，-3），[C（2 ，8）]，求△[ABC]的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)M1（-1，-7），M2（6，-5）是否在這個(gè)圓上。

學(xué)生行為表現(xiàn)9：有了練習(xí)3的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生解答練習(xí)4的過(guò)程比較順利。學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法和幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解三元二次方程的能力也有所提高。對(duì)于判斷特殊點(diǎn)是否在圓上，基本上所有學(xué)生都知道若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，則說(shuō)明該點(diǎn)在圓上，否則就不在圓上，或者通過(guò)計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離是否等于半徑來(lái)判斷點(diǎn)是否在圓上。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)9：診斷學(xué)生是否已熟練掌握求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法，并觀測(cè)學(xué)生是否會(huì)運(yùn)用代數(shù)法或者幾何法判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系。投影幾位學(xué)生的解答過(guò)程讓全班學(xué)生交流討論，采用自評(píng)、互評(píng)、教師做答題規(guī)范指導(dǎo)的方式進(jìn)行評(píng)價(jià)。

【小組探究】點(diǎn)[P（x0，y0）]與圓[C：（x-a）2+（y-b）2=r2]的位置關(guān)系（設(shè)[PC=d]）。

學(xué)生行為表現(xiàn)10：比較容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)幾何條件，且能轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)形式。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)10：觀測(cè)學(xué)生能否歸納出判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的一般方法，是否會(huì)運(yùn)用“從特殊到一般”的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。

3.總結(jié)階段

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)6：學(xué)以致用，解決新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)中提出的實(shí)際問(wèn)題。

解：如圖5所示，半圓所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2+y2=25]，將點(diǎn)[C（3 ，4.3）]代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得[32+4.32=27.49>25]，因此點(diǎn)[C]在圓外，故貨車(chē)不能駛?cè)胨淼馈?/p>

學(xué)生行為表現(xiàn)11：能準(zhǔn)確書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程，正確率高，情況良好。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)11：觀測(cè)學(xué)生能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)中提出的實(shí)際問(wèn)題，診斷學(xué)生是否具有知識(shí)遷移能力，以此促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，建立圓的模型；運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)解析幾何的魅力，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)7：歸納小結(jié)，完成知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)與學(xué)習(xí)方法的提煉。

問(wèn)題5：本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？掌握了哪些方法？

學(xué)生行為表現(xiàn)12：

①知識(shí)層面：學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[（x-a）2+（y-b）2=r2]，知道此圓的圓心為[（a， b）]，半徑為[r （r>0）]。

②方法層面：歸納求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的常見(jiàn)方法（直接法、待定系數(shù)法、幾何法），學(xué)會(huì)判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的方法（幾何法與代數(shù)法）。

③思想層面：研究解析幾何問(wèn)題的基本思想方法是坐標(biāo)法，核心是幾何問(wèn)題代數(shù)化。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)12：教師通過(guò)學(xué)生的歸納總結(jié)與對(duì)話交流，檢查課堂教學(xué)是否達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，學(xué)生是否掌握了本節(jié)課的基本知識(shí)、基本技能、基本方法，積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)了知識(shí)的遷移應(yīng)用，診斷學(xué)生得到了哪些發(fā)展，提升了哪些核心素養(yǎng)。

（三）課后評(píng)價(jià)反思

目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)：

①求以C（2，-3）為圓心，且過(guò)點(diǎn)B（5，-1）的圓的方程。

②求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1）和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線[2x+3y+1=0]上的圓的方程。

教師評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)：通過(guò)學(xué)生的紙筆作答收集數(shù)據(jù)，了解學(xué)生知識(shí)的理解和掌握程度，反饋本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況，診斷學(xué)生存在的問(wèn)題并進(jìn)行教學(xué)反思和改進(jìn)。

三、教學(xué)實(shí)踐反思

目前基于課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)評(píng)價(jià)模式比較少，本課嘗試“以終為始，評(píng)價(jià)先行”的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，首先在課前基于教學(xué)目標(biāo)預(yù)設(shè)評(píng)價(jià)方案，以學(xué)習(xí)任務(wù)為抓手，以評(píng)價(jià)任務(wù)為主線，實(shí)施教學(xué)實(shí)踐和評(píng)價(jià)。其次，觀察每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中學(xué)生的真實(shí)表現(xiàn)，有助于教師及時(shí)評(píng)價(jià)、點(diǎn)撥、糾正，而問(wèn)題串的提問(wèn)形式可驅(qū)動(dòng)學(xué)生不斷思考、回應(yīng)，符合新課改關(guān)于評(píng)價(jià)方式要多樣化、評(píng)價(jià)主體要多元化的理念。本課將評(píng)價(jià)貫穿在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，突出了評(píng)價(jià)的診斷功能，同時(shí)也充分發(fā)揮了它的激勵(lì)功能。在每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行及時(shí)的評(píng)價(jià)，讓學(xué)生不僅得到肯定和鼓勵(lì)，還能及時(shí)糾正不足，這對(duì)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成起到了積極的作用，體現(xiàn)了“素養(yǎng)為本，科學(xué)評(píng)價(jià)”。當(dāng)然，“評(píng)價(jià)先行、及時(shí)評(píng)價(jià)、評(píng)價(jià)多元”等對(duì)教師要求極高，需要教師深度解讀課程標(biāo)準(zhǔn)的精神，全局把握教材和學(xué)情，靈活選用教學(xué)方法和手段，全面關(guān)注學(xué)生的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)過(guò)程，準(zhǔn)確識(shí)別評(píng)價(jià)觀測(cè)點(diǎn)并抓住評(píng)價(jià)時(shí)機(jī)。雖然在這次教學(xué)嘗試中還有一些不足，但是這樣的研究對(duì)教師的專業(yè)發(fā)展、教學(xué)質(zhì)量的提高、學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展具有十分重要的意義。一線教師必須更新觀念，緊跟教育評(píng)價(jià)改革步伐，在今后的教學(xué)實(shí)踐中不斷努力探索和研究更科學(xué)、更完善的教學(xué)評(píng)價(jià)模式，使其在教學(xué)中發(fā)揮更大的作用。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［Ｍ］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?威金斯，麥克泰格.追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)：第二版［Ｍ］.閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

［3］ ?張茜， 翟雷厚. 基于“教學(xué)評(píng)一致性”要求的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（1）：13-14.

［4］ ?李方方. 教學(xué)評(píng)一致性，讓數(shù)學(xué)課堂走向靈動(dòng)深刻［J］. 課程教育研究， 2020（19）：151-152.

［5］ ?葉海龍.逆向教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)論［J］. 當(dāng)代教育科學(xué)，2011（4）：23-26.

（責(zé)任編輯 ? ?羅 ? 艷）