運用整系數多項式理論判斷無理數

趙汝菊　梁佳銘　羅潔

關鍵詞：整系數多項式；無理數；有理根

1概述

由于同一個一元多項式在不同數范圍內的解有所不同，從而有了域論的發展。隨著數的發展，多項式理論的完善得到了許多求解多項式根式解的有效方法。首先，在一個非空集合中定義一個滿足結合律、交換律、具有零元和每個元素具有負元的加法運算，則該非空集合在加法運算下構成一個加群。進而，在該非空集合上定義一個滿足結合律、乘法對加法相容的乘法運算，則該非空集合在加法運算和乘法運算下構成一個環。最后，在該非空集合上定義數乘運算，且乘法運算與數乘運算要相容，則該非空集合在加法運算、乘法運算和數乘運算下構成一個結合代數。因此，數域上的一元多項式全體構成的集合在定義的加法運算、數乘運算和乘法運算下構成具有單位元的交換的結合代數，稱為一元多項式代數。

對于數域上的一元多項式，在中學數學學習階段，我們已經學習了二次一元多項式的求根公式。在高等代數的學習過程中，我們常常會遇到三次以及更高次的一元多項式，三次和四次的一元多項式同樣也有公式解（分別稱為Cardano公式和Ferran法），但是一元五次多項式未必有公式解，詳見參考文獻。數域上的一元多項式有根式解當且僅當這個多項式的伽羅瓦群是可解群。數域上的多項式的根式解的研究比較復雜，考慮到大學生的學前背景，在高等代數課程中只研究了一元整系數多項式的根。

求解任意一個一元整系數多項式在給定的數集范圍內的所有根還是非常困難的。眾所周知，一個整系數多項式在給定的數域范圍內無解，但是在包含給定數域的一些數域范圍內可能有解，并且在復數域上是完全可解的。由于有理數域是最小的數域，復數域是最大的數域，因此可以研究一元整系數多項式在有理數域上的根，即有理根。Gauss引理和Eisenstein判別法通過一元整系數多項式的最高次項系數和常數項系數給出了所求解的一元整系數多項式可能存在的有理根，詳見參考文獻。進而，把可能存在的有理根代入所求解的一元整系數多項式進行驗算，如果等式成立，則為有理根，反之則為無理根。然而，隨著所求的一元整系數多項式的最高次項系數和常數項系數的因數越多，驗算過程中計算量會增大。

一元整系數多項式在日常生活中有很多應用，也可以應用于其他學科領域。例如，平分圓周和三大尺規作圖古典問題：三等分角問題、立方倍積問題和化圓為方問題。把n等分圓周的問題，轉化成一個n次的一元整系數多項式的求根問題，把求得的根轉化成平面上的點坐標，坐標上的點把圓進行了n等分。關于三大尺規作圖問題，利用倍角公式和已知條件的關系式，把尺規作圖問題轉化成一元整系數多項式的根式解問題，運用域論理論證明三等分角問題、立方倍積問題和化圓為方問題都是尺規作圖不能問題。

一元整系數多項式理論不僅可以求解多項式的根和解決幾何中的相關問題，也可以用來判斷一個實數是否為無理數。參考文獻給出了√2無理數的幾種證明方法，參考文獻給出了根式和對數無理數的一些判定。根式無理數、對數無理數和三角函數無理數都是我們常見的幾類無理數，如何去判斷這些無理數，也有很多方法，例如定義法、數論理論法和多項式理論法等。

以上三類無理數的判定中，如果運用定義法，很大程度需要借助計算器，并且不具有數學的邏輯嚴謹性，因此一般不采用定義法去判斷一個實數是否為無理數。如果運用數論理論法，對于一些結構復雜的根式或者對數無理數，需要很強的邏輯思維，學生往往很難理解和掌握。運用一元整系數多項式有理根法，首先要構造一個以該實數為根的一元整系數多項式，運用一元整系數多項式有理根的理論，判斷所構造的一元整系數多項式是否有有理根，如果沒有有理根，則該數即為無理數，反之則為有理數。相比前兩種判斷方法，一元整系數多項式有理根法是一種非常有效的方法，并且容易讓學生理解和掌握，但對于結構復雜的無理數，如果構造的一元整系數多項式次數高，計算量也會有所增大。

由于多項式理論是中學數學與高等代數課程的銜接內容，對學生后繼的學習起到引導和啟發的作用，因此在教學過程中，應該把抽象的數學問題簡單化，并且歸納總結，使學生容易理解和接受。不僅要把抽象的數學問題簡單化，還要用來解決實際問題，體現數學學習的實際意義，讓學生在掌握知識和提高邏輯思維能力的同時，體驗學習數學的樂趣。

本文主要運用一元整系數多項式有理根的理論，判斷根式無理數、自然對數無理數和三角函數無理數。這為以上三種無理數的判定提供了一種可行性的方法，并且容易使學生理解和掌握。一題多解，通過方法的比較，提高學生邏輯思維能力和探究式學習的能力，從而激發學生學習數學的興趣。

本文所研究的整系數多項式都為一元整系數多項式。為了判斷一個實數是否為無理數，下面首先給出兩個一元整系數多項式有理根的相關定理。

2無理數判定

在實數中不是有理數，就是無理數，即無理數的小數部分為無限不循環小數。然而，運用無理數的定義來判定一個實數是否為無理數比較困難，因此可以借助多項式有理根的理論來判定。首先，構造一個一元整系數多項式，使得所判斷的實數是其的一個根，進而運用一元整系數多項式有理根判別法證明該實數不是所構造的一元整系數多項式的有理根，因此該實數只能是所構造的一元整系數多項式的無理根，即該數為無理數。

基于參考文獻[4]和[5]的研究結果，下面通過具體的案例分析，首先給出根式無理數的判定方法。

例1：證明√2是無理數。

一個根式無理數可以運用數論理論、一元整系數多項式有理根存在性定理和Eisenstein判別法三種方法進行判斷。然而，對于一個含有兩個及以上的根式實數，運用定義法和數論理論法進行判斷，隨著根式的個數越多，判定就越困難，因此可以運用一元整系數多項式有理根判別法進行判斷，下面給出具體的例子。

綜上可得，判斷一個根式實數是否為無理數，可以運用數論理論或整系數多項式有理根判別法，且這兩種方法相差不大。判斷含有兩個及以上根式的實數是否為無理數時，運用數論的方法證明過程比較復雜，而運用一元整系數多項式有理根判別法比較容易。因此，對于判斷根式實數是否為無理數時，更傾向于選擇較簡單的一元整系數多項式有理根判別法。

接下來，給出自然對數無理數的判斷方法。

例4：證明ln2是無理數。

該問題來源于經典的三等分角尺規作圖難題，因此一元整系數多項式有理根的理論不僅可以解決實數的有理性和無理性問題，也可以用來解決幾何上的尺規作圖問題。三角函數無理數的判斷中，主要運用倍角公式或者半角公式，將三角函數無理數的證明轉化為以該三角函數為根的一元整系數多項式的有理根的判定，為三角函數無理數的判定提供了一種可行性的方法。

3總結

在根式無理數、對數無理數和三角函數無理數的判斷中，運用數論理論的方法往往需要很多技巧。然而，運用一元整系數多項式有理根判別法進行判斷，只須構造一個以所判斷的實數為根的一元整系數多項式，再判斷這個實數是否為所構造的一元整系數多項式的有理根即可。因此，在根式、對數和三角函數的有理性和無理性判斷中，使用一元整系數多項式判別法更為簡便。通過一題多解、方法對比，讓學生更容易理解和掌握該類問題，從而激發學生學習數學的興趣。

作者簡介：趙汝菊（1990— ），女，漢族，廣西欽州人，博士，講師，主要從事廣義逆理論、Hopf代數和矩陣方程理論研究，以及高等代數和高等數學等學科教學。