斐波那契數列原理在LOGO設計上的研究應用

楊雅茜

關鍵詞：斐波那契數列 Logo設計 秩序美 比例 規律

引言

斐波那契數列本是一個自然科學問題，通常被用在數學中。因其與黃金比例表現出驚人的相似，而受到從事美術工作者青睞，被廣泛地運用在了繪畫、雕塑以及藝術設計中[1]。斐波那契數列出了能給人帶來比例上的和諧以外，同時會賦予對象規律感與邏輯感，因此斐波那契數列既是一個自然命題，也是一個美學命題。除此之外，斐波那契數列同樣驚奇的出現在大自然中，遍布在生態自然界的各個角落，與人類的美學思維相呼相應，相得映彰。本文通過詳細的探討斐波那契數列規律與原理，分析自然界中的斐波那契數列，將自然界中的規律進行抽象提取，并能動地運用在Logo設計中，這對Logo設計來說，既是一個重大的理論課題，同樣也是一個重大的實踐課題[2]。賦予Logo設計和諧又美感的比例與豐富的內涵。

一、斐波那契數列原理與研究現狀

（一）斐波那契數列

斐波那契數列又被稱之為黃金分割數列，由中世紀的意大利數學家萊昂納多·斐波那契由一個叫作兔子實驗的構想而得出的一個數列，這個兔子實驗是這樣的：假如所有的兔子都長生不老，一個兔子需要經過一個月才能成熟，一個成年的兔子一個月只能生下一個幼年兔子，生下來的幼年兔子又必須經過一個月才能成年并繁殖。設月數為n，那么n個月后，一共有多少只兔子？將幼年兔子用○表示，將成年兔子用●表示，將這個實驗可視化得出以下規律，見圖1：

將兔子實驗作一個簡單的匯總：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...這個數列就是所謂的斐波那契數列。根據其數列特性，進行遞推：這個過程無限下去，就會發現兔子的數量構成了一個數列，這個數列從第三項開始，每一項數字等于前兩項相加，即：

文藝復興時期，黃金分割比例被阿拉伯人帶到了西方，并流行起來。斐波那契數列的發現，更加豐富了黃金比例的內涵與運用，在各個領域都受到了青睞，并得到了廣泛的運用[3]。

（二）研究現狀

斐波那契數列本為一個理學命題，由于其與黃金分割比例的緊密聯系，而被眾多藝術家、設計師運用在了藝術活動中。在金伯利伊拉姆的《設計幾何學》一書中，深刻地闡述了斐波那契數列、黃金分割比例以及其他與設計幾何學相關的原理，并系統而全面地從自然生態界中總結出了自然界中的斐波那契數列，并分析了大量的設計幾何學案例，為斐波那契數列以及設計幾何學理論研究打下堅實基礎，為后來的設計實踐起到了極其重要的指導作用[4]。斐波那契數列在設計中的應用在20世紀就掀起了一股潮流，著名的現代主義設計大師、設計理論家柯布西耶對幾何形態的設計產生了極其濃厚的興趣。柯布西耶在一生的設計實踐活動中，想要找到一種程式來指導設計活動。音樂有樂譜作為記錄工具，極大地方便了音樂家靈感的記錄與表達，而設計卻缺乏一種既定的度量工具來記錄與表達設計師的想法與創意。于是，柯布西耶基于斐波那契數列與黃金分割比例，從人體尺寸出發，創造了模度理論。該理論為人機工程學，為建筑與產品的尺寸制定提供了極大的幫助，成為了設計師的度量工具[5]。

而國內也有不少學者對斐波那契數列進行了相應的研究與運用。朱麗[1]基于斐波那契數列對Logo設計進行了研究與探討，分析斐波那契數列與Logo設計中產生的關聯性與互通性，總結了斐波那契數列對 Logo作品的影響，旨在能夠更加科學地設計出符合美學的Logo。孫重冰[2]等人結合斐波那契數列的規律特點，闡明了其與平面設計之間的關系，并進一步探究數列的應用在整個設計過程中的實用價值。 強墨[2]對存在于自然界中的數列與比例關系進行了研究，并描述了人類對這些規律的總結、掌握以及應用，特別是藝術設計領域的應用。并認為數列與比例的相關知識在藝術設計領域是一個極其重要的基礎。綜上所述，將斐波那契數列運用在設計中，是科學的、合理的，是符合客觀規律，滿足人類主觀視覺感受的方法論與工具[6]。

二、自然界中的斐波那契數列

仔細想一想，人有一張嘴巴，一個鼻子，兩只手，一根手指有3個關節，一只手有5根手指頭。這里的1、1、2、3、5正好吻合斐波那契數列。自然界中的花朵的花瓣數，最常見的花瓣數目是5枚，例如薔薇科的桃、李、杏、蘋果、梨。其他的有：鳶尾花、百合花有三片花瓣（看上去六枚，實際上是兩輪三枚）；飛燕草有八片花瓣；瓜葉菊有十三片花瓣；在向日葵中，有的花瓣為二十一片，而有的向日葵為三十四片；雛菊的花瓣有的是三十四片，有的是五十萬片，而有的為八十九枚，而其他數目的花，則很少。這些花瓣數分別為：3、5、8、13、21、34、55、89，吻合了斐波那契數列的規律。這并非巧合，生態自然界中處處都有斐波那契數列的存在，斐波那契數列本身就是對自然規律的歸納推演，將看似無序的世界串聯起來，使無序的世界變得富有邏輯，富有秩序。

（一）動物界的斐波那契數列

動物界中，存在著斐波那契數列相關規律，海底有種海螺叫珍珠鸚鵡螺，形態與斐波那契螺旋線及其相似。所謂的斐波那契螺旋線，就是在長與寬之比為1.618的黃金矩形之中，可以分割出一個正方形和另外一個黃金矩形，在分割出來的黃金矩形中，可以再次分割出一個正方形和一個黃金矩形，在分割出來的黃金矩形中，可以繼續分割出一個黃金矩形和一個正方形......無限重復循環下去，在所有的黃金矩形分割出來的正方形中，以正方形邊長為半徑，作一個四分之一圓弧。在所有的四分之一圓弧可以圓滑流暢的拼接成一個螺旋線，這個螺旋線就被命名為斐波那契螺旋線。珍珠鸚鵡螺的生長方式與斐波那契螺旋線的形態及其相似，見圖2。

見圖3，自然界中存在一種名叫鮭魚的魚，其長短比例也遵從黃金比例，鮭魚的魚身正好含有三個黃金矩形，魚的眼睛正好在豎向黃金矩形的黃金分割點上，其尾巴也內接在一個橫向的黃金矩形中，尾巴末端也處于一個豎向的黃金矩形中，魚身的大小同樣與一個黃金矩形貼合。

海底同樣存在一種長鼻螺，因形態獨特而聞名。這種長鼻螺的生長模式同樣遵循者內在的規律秩序，見圖4。在長鼻螺的螺身由從大到小許多的半圓組成，這些相鄰半圓的半徑之比為黃金比例既0.618。這種黃金比例的生長模十分符合人類的視覺美感，在人類觀察到這些動物形態時，會不自覺地感到十分有美感。

（二）植物界的斐波那契數列

斐波那契數列規律在植物花卉中更為明顯，除了各種不同花的花瓣數匯總起來呈斐波那契數列以外，許多單獨的植物也在以不同的方式表現出它與斐波那契數列的密切聯系。其中以松球最為明顯，松球作為一種藥材，被廣泛應用于中醫之中。在整個松球的生長結構中，表面上看似非常雜亂無章的松球鱗片，其實隱藏著秩序與規律。松球的鱗片其實是以一種發散狀往順時針與逆時針兩個方向發散，仔細觀察鱗片發散線條數量，可以發現其中有8條螺旋線沿著順時針生長；有13條螺旋線沿著逆時針生長。這里的8、13正好吻合了斐波那契數列里的數值，見圖5。

向日葵作為桔梗目、菊科植物，因花序隨太陽轉動而得名，在向日葵花瓣生長過程中，同樣也呈現出順時針與逆時針兩種生長狀態，其中順時針呈現21條螺旋線，而逆時針呈現34條螺旋線。這里的21、34也對應了斐波那契數列中的兩個相鄰的數值。而花椰菜也是如此，逆時針的花籽兒呈8根螺旋線，順時針的花籽兒呈13根螺旋線。這些螺旋線數量都完全吻合了斐波那契數列，見圖6。

日常生活中，最常見的樹木的生長方式也吻合了斐波那契數列。樹木從第一根開始，會隔上一段時間新長出一根樹干，新長出的樹根同樣也會隔上一段時間再次新長出一根樹根，新長出的樹根隔上同樣的時間依然會長出一根樹根，樹木就是這樣的生長方式。這種生長方式與斐波那契發現的兔子實驗及其相似，將樹木的樹干以數列的方式呈現為：1、2、3、5、8、13、21......從第三項開始，每項數值等于前兩項數值之和，這種生長模式及其的富有規律與秩序，見圖7。

以上例子只是冰山中的一角，斐波那契就像一根繩子，連接著生態自然界與數學法則。人類之所以偏愛黃金比例，也許正是因為自然界中隨處可見的斐波那契規律以即黃金比例，在人類反反復復的、無意間的觀察后，無意識地映入人類腦子里，并刻在了人類DNA里，就連人類DNA自身的形狀都是呈黃金分割比例。斐波那契數列將看似混沌的世界變得更有邏輯，更有聯系，更有秩序。富有創造性的設計師們發現了該規律，并把該規律主觀能動地運用在設計生產活動中。當數學與藝術完美交融并滲透到人們的生活之中，會給人以愉悅感，也不斷提高著人們的審美品位[7]。

三、藝術與設計中的斐波那契數列

除了大自然所表現出來的斐波那契數列，從古至今的藝術家、設計師們也主動融合了斐波那契數列相關規律，其中達芬奇舉世聞名的作品《蒙娜麗莎》中就隱含這斐波那契數列，見圖8。這件作品達到了人類歷史上藝術的巔峰，至今也很難超越。蒙娜麗莎的臉幾乎正好鑲嵌在黃金比例的矩形中，蒙娜麗莎頭部和頸部之間的距離以及水平線到左肘部和肩部的寬度與黃金分割比幾乎一致。此外，蒙娜麗莎人物的面部特征也與黃金分割的比例成相似的規律，她的嘴正好處于黃金矩形的黃金分割點上。通過這種比例關系，一個神秘的微笑出現在整個畫面中。蒙娜麗莎同樣也隱含著斐波那契螺旋線，從蒙娜麗莎的胸部到蒙娜麗莎的頭頂部再到下巴，最后到鼻子部位，形成了一條斐波那契螺旋線。達芬奇的這幅作品之所以如此成功，不僅僅在于其精湛的繪畫技藝，更多的在于對細節的把控，對畫面內涵的把控。

如今，手機品牌已經普及市場，人盡有之。蘋果是世界上最大的手機制造商之一，尤其是其Logo的深入人心，這無疑是不可或缺的。Apple的第一個標志由羅·韋恩用鋼筆畫的，但由于設計的太過復雜，又請了設計師 Jan off 重新設計。因此，蘋果的標志從最初的圖形到我們現在隨處可見的蘋果圖案，這個過程也是一個不斷尋找黃金分割的過程。這顆被咬了一口的蘋果簡單標志，但在公眾眼中卻是如此和諧。蘋果的標志是嚴格按照黃金分割率設計的。恰當的比率不僅能捕捉觀眾的理性審美，還能傳達其嚴謹理性的理念。其Logo設計目的是能夠成為企業信息傳播的領導者，當這樣一個簡單、清晰、嚴謹的企業形象出現在公眾面前時，成功是不可避免的。蘋果對于黃金分割比的探討，不僅僅局限在Logo設計上，旗下的云端Icloud 也是Apple 的另一個產品，在Icloud標志設計中，隱含著同樣的規律與方法。其Icloud圖標設計邊緣由一系列直徑不同的圓構成，這些圓從小到達排列就是斐波那契數列，見圖9。

斐波那契數列的比例關系充滿了邏輯和節奏，斐波那契數列帶來的比例關系能給標志設計帶來不同的視覺感受。下面以來自英國東部林肯市設計師 Tom Anders Watkins 所做的動物Logo（雄鹿）為例（如圖10）。該Logo不僅使用由斐波那契序列圓切割的不同曲線，而且每個部分的直徑比對應于斐波那契數列的相鄰數值比。根據鹿腿的寬度，我們可以發現鹿身體各部分的長度之比是斐波那契數值之比。如果這個長度比例沒有這種強烈的規律性和節奏感，整個標志的造型設計就很難實現自然和諧。設計師TomAnders Watkins在設計的過程有意識地加強斐波那契數列在標志造型中的應用，才能達到這種自然有序的視覺效果。

為了振興旅游業，伯利茲的旅游品牌形象體系Logo“巨嘴鳥”摒棄了舊的不規則形狀，使改造成更加理性與秩序性。現有的標志設計同樣也基于斐波那契數列，取相應的規律在Logo圖形的圓形倒角中，這些圓形相互切割和配合，并通過適當的配色方案使整只鳥充滿生機，每個顏色板塊也吻合了斐波那契數列規律。由于斐波那契數列的規律感與邏輯感，“巨嘴鳥”圖形設計和文字編排相互相應、相得益彰，給人以完整連貫的視覺感受，充分滿足統一、和諧和節奏變化審美要求，見圖11。

四、斐波那契數列原理在Logo設計中的實踐運用

Logo設計是基于字體和圖形而進行設計的。Logo設計或任何其他形式的藝術設計都是按照一定的規則發展起來的。在Logo中，比例與視覺協調是其審美構成的重要因素。在Logo設計過程中，斐波那契數列的應用可以是多樣化的，主要體現在線條走向、不同部位面積、長度比例等。斐波那契數列理論在Logo設計的許多方面的指導可以有效地提高其完整性和連貫性。以斐波那契數列原理為理論基礎，對兒童家具企業“物象家具”設計一款Logo。讓Logo設計在斐波那契數列的指導下，局部與局部以及局部與整體相互呼應，見圖12。

該Logo設計以正負形為手段，以簡單的大象的形體為正形，以家具中的板凳形態為副形，深入地涵蓋了“物象家具”的主體。其正負形的相呼相應極大提高了創意性與趣味性，更能受到兒童的青睞。在“物象家具”Logo設計中，蘊含著斐波那契數列規律與黃金分割比例，見圖13。Logo設計中的大象外輪廓正好內接在一個黃金比例的矩形中（寬與長之比為0.618），外框的黃金矩形能夠分割出一個正方形與另外一個豎向的黃金矩形，在豎向的黃金矩形中，可以繼續分割出一個正方形與一個黃金矩形，這根將黃金矩形分割為正方形和另外一個黃金矩形的分割線叫作黃金分割線。大象的眼睛正好處于外輪廓的黃金矩形的黃金分割線上，大象的前腿也處于這根黃金分割線上，這根黃金分割線恰好將大象分割為了大象頭和大象身子。在外輪廓黃金矩形分割出來的豎向黃金矩形中，大象的鼻頭也正好處于豎向黃金矩形的黃金分割線上。

與此同時，大象造型整體與局部，以及局部與局部之間也有著一定的規律，見圖14。大象形態的右上角，也就是大象的尾部到大象的前腿部位，到大象的鼻子部位，再到大象的頭部，最后到大象的眼睛部位，可以圓滑流暢地串聯成一根斐波那契螺旋線。這根斐波那契螺旋線貫穿于大象形體的各個部位，是大象的形體比例形成了一定的規律，是畫面整體與局部以及局部與局部之間相互互相、相互聯系，給人視覺上的運動感、韻律感以及規律感。

大象的部分倒角弧線由不同大小的同心圓構成，見圖15。大象鼻頭最前面的弧線與大象的眼睛與負形板凳靠背與坐墊之間的倒角為同一個同心圓，將其用紅色標出；大象鼻頭最后面的圓與大象腿所有的弧線曲線由同一個同心圓組成，將其用黃色標出；大象鼻子中間部位的倒角由兩個同心圓組成，將其用綠色標出。這種同心圓構建起來的平面造型會在視覺上更有規律，局部與局部更有聯系。

在大象整體造型設計中，所有的弧線和倒角都是通過研究的推敲形成的，見圖16。大象的鼻頭由左右兩個不同大小的圓構成，左邊的圓命名為A1，右邊的圓命名為A2；大象的眼睛與鼻頭左右的圓直徑一樣大，命名為A1；大象屁股鑲嵌了一個半圓的裝飾物，將這個圓命名為A3；大象鼻子的倒角弧線由上下兩個不同的圓構成，上面的圓直徑與A3一樣大，下面的圓弧命名為A4；在大象頭與大象屁股也由兩個不同大小的圓構成，后面的圓命名為A5，象頭的圓命名為A6。在A1-A6從小到大的圓中，形成了一套規律，這套規律就是斐波那契數列規律，從第三項圓開始，每一項圓的直徑有前面兩項圓的直徑相加之和，既：A1+A2=A3，A2+A3=A4，A3+A4=A5，A4+A5=A6。

在完成對物象家具主體形象設計后，為該Logo設計配上文字與不同的顏色，來搭配不同的使用場景，見圖17。基于斐波那契數列的Logo設計使平面物體滿足受眾的情感體驗與內涵要求，這種理學規律使整個Logo造型的各個部分不在相互孤立，而是讓造型的局部與局部，局部與整體相互關聯，形成了一個相輔相成的有機整體，形成了理性美指導下的和諧、秩序、循環與規律。

結語

本文從數學與生態學入手，對斐波那契數列進行了詳細深入的探討，結合了從古至今的經典藝術與設計的案例，系統地總結了斐波那契數列相關規律與方法，并將這些規律與方法運用在了實際的Logo設計實踐中，進一步驗證了斐波那契數列原理在藝術與設計實踐中的可用性與實用性[8]。讓Logo設計不只停留在直覺感性的層面，更多的是以一種理性又嚴謹的方法來進行設計生產。但一切事物都沒有絕對性，對數字比例的盲目追求，會導致沒有充分的審美關系，這需要設計師在這兩者之間進行權衡。斐波那契數列不僅為Logo設計提供了重要的數學參考，也為藝術設計提供了數字世界的理性美[9-10]。斐波那契數列只是數學規律在美學中應用的典型代表之一，數學智慧能將理性美和獨特的嚴謹美帶入藝術創作。理解和總結藝術作品中的數學智慧，對提高當代藝術作品的質量具有重要意義[11]。