“偏微分方程”課程中的高階學(xué)習(xí)探索

于灝 楊云龍

摘?要：本文以本科“偏微分方程”教學(xué)中涉及的格林公式與高斯公式為出發(fā)點(diǎn)，通過復(fù)數(shù)乘積的幾何解釋，將格林公式與高斯公式在積分形式上統(tǒng)一為無空間維數(shù)要求的散度定理。進(jìn)而引入一般的分部積分公式，使學(xué)生對(duì)抽象積分有一個(gè)初步的了解，達(dá)到在“偏微分方程”課程中進(jìn)行高階學(xué)習(xí)探索的目的。

關(guān)鍵詞：偏微分方程；數(shù)學(xué)物理方程；高階學(xué)習(xí)

Advanced?Learning?Exploration?in?the?Course

of?"Partial?Differential?Equations"

Yu?Hao?Yang?Yunlong

School?of?Science，Dalian?Maritime?University?LiaoningDalian?116026

Abstract：Based?on?the?Green's?Formula?and?Gauss's?Formula?involved?in?the?teaching?of?undergraduate?partial?differential?equations，this?paper?unifies?the?Green's?Formula?and?Gauss's?Formula?in?integral?form?into?a?divergence?theorem?without?spatial?dimension?requirements?through?geometric?interpretation?of?complex?product.Then，the?general?integral?by?parts?formula?is?introduced?to?enable?students?to?have?a?preliminary?understanding?of?abstract?integral，so?as?to?achieve?the?goal?of?highorder?learning?and?exploration?in?the?course?of?partial?differential?equations.

Keywords：partial?differential?equations；mathematical?physics?equations；highorder?learning

一、概述

“偏微分方程”又稱為數(shù)學(xué)物理方程，是大學(xué)本科學(xué)習(xí)的重要課程［12］。經(jīng)過前半段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)課程知識(shí)（如高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析）進(jìn)行了全面學(xué)習(xí)，這時(shí)需要一門課程來對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用、鞏固與提高，而“偏微分方程”課程正好適合扮演這樣一個(gè)角色。以后續(xù)課程為例，很多微分方程知識(shí)學(xué)生都已掌握，只是不了解其抽象或高階的表達(dá)方式，這會(huì)導(dǎo)致不必要的重復(fù)學(xué)習(xí)［34］。由此可見，在大學(xué)階段的“偏微分方程”課程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)母唠A學(xué)習(xí)，能夠?qū)σ褜W(xué)課程知識(shí)的進(jìn)行應(yīng)用與再理解，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

二、高階學(xué)習(xí)探索：格林公式與高斯公式

（一）經(jīng)典格林公式與高斯公式

“偏微分方程”的課程內(nèi)容一般包括拉普拉斯方程、熱方程、波動(dòng)方程這三大類方程［5］，課堂教學(xué)也主要圍繞著這三大類方程來進(jìn)行，這使得“偏微分方程”課程有很強(qiáng)的物理與應(yīng)用背景。例如，拉普拉斯方程描述的是一種平衡狀態(tài)［6］，熱方程的建立要依賴熱力學(xué)第二定律［5］，而波動(dòng)方程則是以弦振動(dòng)來引入［5］，從而在“偏微分方程”的課堂教學(xué)中，建模是關(guān)鍵一環(huán)。這導(dǎo)致必然要用積分公式，這里特別回顧格林公式與高斯公式。

格林公式建立了二重積分與曲線積分之間的聯(lián)系，即設(shè)區(qū)域D由光滑曲線L圍成，若函數(shù)P（x，y）與Q（x，y）在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：

DQx-Pydxdy=L（Pcosα+Qcosβ）ds

其中L是D的取正向的邊界曲線，（cosα，cosβ）是與曲線L正向?qū)?yīng)的切向量方向余弦［3］。同時(shí)，分量形式也成立［7］，如下所示：

D（-Py）dxdy=LPcosαds，DQxdxdy=LQcosβds

高斯公式則建立了三重積分與曲面積分之間的聯(lián)系，即設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面S所圍成，若函數(shù)P（x，y，z），Q（x，y，z）與R（x，y，z）在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：

ΩPx+Qy+Rzdxdydz=S（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS

其中S是區(qū)域Ω邊界曲面的外側(cè)，（cosα，cosβ，cosγ）是曲面S在點(diǎn)（x，y，z）處的外法向量方向余弦［3］。且其分量形式也成立［7］，如下所示：

ΩPxdxdydz=SPcosαdS，ΩQydxdydz=SQcosβdS，

ΩRzdxdydz=SRcosγdS

（二）格林、高斯公式的高階表達(dá)：散度定理

接下來，對(duì)經(jīng)典格林、高斯公式進(jìn)行高階學(xué)習(xí)。首先，統(tǒng)一積分區(qū)域。實(shí)際上，曲線L與曲面S可以看成D與Ω的邊界D與Ω，這樣便有：

DQx-Pydxdy=∫D（Pcosα+Qcosβ）ds，（1）

與

ΩQx+Py+Rzdxdydz=Ω（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS（2）

其次，統(tǒng)一方向余弦，將格林公式的切向量方向余弦轉(zhuǎn)化為外法向量方向余弦。本文通過復(fù)數(shù)乘積的幾何作用來實(shí)現(xiàn)這一過程。已知，在復(fù)平面中復(fù)數(shù)reiθ乘以復(fù)數(shù)z=x+iy，x，y∈R，相當(dāng)于在復(fù)平面將向量（x，y）中逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ，并將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)r倍［8］。由此，觀察下圖：

只需將切向量（cosα，cosβ）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度π2，便可得到D外法向量，即：

ei-π2cosα+icosβ=-icosα+icosβ=cosβ-icosα.

這樣便有h=cosβ，k=-cosα，再將P換作-P，便有：

DPy+Qxdxdy=∫DPk+Qhds.

這樣便實(shí)現(xiàn)了格林公式與高斯公式在方向余弦使用上的統(tǒng)一。

最后，將格林公式與高斯公式中出現(xiàn)的多元函數(shù)統(tǒng)一寫成抽象函數(shù)形式，即：

f（x），x=（x1，…，xn）∈Rn.

積分符號(hào)簡(jiǎn)記為∫，dxdy與dxdydz簡(jiǎn)記為dx，用ν表示單位外法向量，忽略空間維數(shù)的要求則得到n維歐式空間中的散度定理公式［6］：

∫ΩSymbolQC@

·F→dx=∫ΩF→·νdS，（3）

其中Ω為Rn中的有界光滑區(qū)域，F(xiàn)→=（f1（x），…，fn（x）），x∈Rn為一階連續(xù)可導(dǎo)的向量值函數(shù)，ν為Rn中的單位外法向量ν=（ν1，…，νn）。同時(shí)，以上轉(zhuǎn)化過程完全適用于格林公式與高斯公式的分量形式，故亦可得到散度定理的分量形式：

∫Ωfxidx=∫ΩfνidS，∫ΩSymbolQC@

fdx=∫ΩfνdS（4）

這樣，我們便把基礎(chǔ)的格林公式與高斯公式統(tǒng)一為高階表達(dá)的散度定理，同時(shí)引入抽象積分記號(hào)，達(dá)到高階學(xué)習(xí)的目的。

（三）一般分部積分公式

接下來，我們繼續(xù)高階學(xué)習(xí)。以散度定理為出發(fā)點(diǎn)，將一維空間中的經(jīng)典分部積分公式進(jìn)行推廣，引入一般n維空間中的分部積分公式。回顧黎曼積分中分部積分公式的推導(dǎo)，已知乘積函數(shù)的求導(dǎo)公式為：

（uv）′=u′v+uv′

對(duì)等式兩邊在閉區(qū)間［a，b］上積分，便可得分部積分公式：

∫bau′vdx=-∫bau'dx+（uv）ba，

其本質(zhì)是將函數(shù)u的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移到函數(shù)v上去，再加上邊界補(bǔ)償項(xiàng)（uv）ba。而在高維（n2）歐式空間中，由乘積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式可得：

（uv）xi=uxiv+uvxi，SymbolQC@

uv=vSymbolQC@

u+uSymbolQC@

v

對(duì)等式兩邊在有界光滑區(qū)域Ω上積分可得：

∫Ω（uv）xidx=∫Ωuxivdx+∫Ωuvxidx，

∫ΩSymbolQC@

（uv）dx=∫ΩvSymbolQC@

udx+∫ΩuSymbolQC@

vdx

利用散度定理公式（4），取函數(shù)f=uv，有：

∫Ω（uv）xidx=∫ΩuvνidS，∫ΩSymbolQC@

（uv）dx=∫ΩuvνdS.

從而可得一般n維歐式空間中的分部積分公式［6］

∫Ωuxivdx=-∫Ωuvxidx+∫ΩuvνidS，

∫ΩvSymbolQC@

udx=-∫ΩuSymbolQC@

vdx+∫ΩuvνdS.（5）

其本質(zhì)仍然是導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)移，這便實(shí)現(xiàn)了分部積分公式的高階學(xué)習(xí)。

（四）高階學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)

最后，我們通過“偏微分方程”課程中經(jīng)常使用的第一格林公式與第二格林公式，來看下一般分部積分公式（即散度定理）的優(yōu)勢(shì)之處。已知第一格林公式為［5］：

ΩuΔvdxdydz=-ΩSymbolQC@

u·SymbolQC@

vdxdydz+ΩuvνdS，

第二格林公式為［5］：

Ω（uΔv-vΔu）dxdydz=Ω（uvν-vuν）dS，

其中由方向?qū)?shù)定義可知，法向?qū)?shù)uν=SymbolQC@

u·ν，vν=SymbolQC@

v·ν。在沒有引入一般分部積分公式時(shí)，我們只能通過將高斯公式（2）中的被積函數(shù)（P，Q，R）取成特殊形式：

P=uvx，Q=uvy，R=uvz，

通過計(jì)算來得到第一格林公式與第二格林公式。其過程看起來有一些不可思議，初學(xué)者很難想到要把被積函數(shù)取成這樣的特殊形式。而當(dāng)我們掌握了抽象積分的記號(hào)與分部積分公式（5）之后，再來觀察第一格林公式與第二格林公式，其結(jié)果則將變得十分顯然。因?yàn)橛商荻人阕优c散度算子的定義，易知Δv=SymbolQC@

·SymbolQC@

v，則有：

∫ΩuΔvdx=∫Ωu（SymbolQC@

·SymbolQC@

v）dx

=-∫ΩSymbolQC@

u·SymbolQC@

vdx+∫ΩuSymbolQC@

v·νdS，

即第一格林公式。再由：

∫ΩvΔudx=∫Ωv（SymbolQC@

·SymbolQC@

u）dx

=-∫ΩSymbolQC@

u·SymbolQC@

vdx+∫ΩvSymbolQC@

u·νdS，

可得第二格林公式。

結(jié)語

本文通過對(duì)經(jīng)典格林公式與高斯公式進(jìn)行高階學(xué)習(xí)，將其統(tǒng)一為高階表達(dá)的散度定理，進(jìn)而得到一般的分部積分公式，既加深了對(duì)已學(xué)知識(shí)的理解深度，又是對(duì)新知識(shí)、新領(lǐng)域的探索，為今后的繼續(xù)深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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［3］姜德爍.高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考與體會(huì)［J］.教育現(xiàn)代化，2020，7（49）：101105.

［4］黃利文.一類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解求法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2021，24（03）：4749.

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［8］王綿森.復(fù)變函數(shù)［M］.第4版.北京：高等教育出版社，2008.

基金項(xiàng)目：本文系“大連海事大學(xué)研究生教育教學(xué)改革項(xiàng)目”（項(xiàng)目編號(hào)：YJG2022805）研究成果

作者簡(jiǎn)介：于灝（1986—?），男，遼寧大連人，講師，研究方向：非線性偏微分方程及應(yīng)用、生物數(shù)學(xué)；楊云龍（1989—?），男，遼寧大連人，講師，研究方向：凸幾何中的不等式問題、混合式教學(xué)模式。