基于“三個理解”的教學活動實踐與思考

侯衛東

摘要：本文以“完全平方公式”教學為例，從理解數學、理解學生、理解教學的角度，分別對教學內容、學情、教學活動設計進行分析，立足于數學思想與方法，落實數學核心素養培養，創建師生互動、雙向反饋調控、充滿生機的教學課堂。

關鍵詞：“三個理解”教學實踐教學思考完全平方公式

章建躍教授提出“三個理解”理論，即理解數學、理解教學、理解學生。對“三個理解”的把握與落實在一定程度上體現了教師的專業素質和教學能力。下面筆者以滬科版教材七年級下冊第八章第三節第二課時“完全平方公式”的教學活動與反饋為例，談談個人基于“三個理解”的實踐與思考。

一、基于理解數學的教學內容分析

理解數學就是深入研究“教什么”和“學什么”，理解數學教學內容在整個數學知識體系中的地位與作用，研究教學內容所涉及的數學知識背景，所蘊含的數學思想及方法，以及數學核心素養的落實，實現“啟發學者，示以思維之道”的教學。

針對“完全平方公式”的教學，教材設置了從多項式的乘法（數）和圖形面積割補（形）兩個角度得到完全平方公式，再通過例、習題教學讓學生理解和掌握公式，從而實現教學目標。

基于教學內容的地位和作用，本課時內容是在學生學習了有理數、整式的相關知識的基礎上進行的，既是前面所學知識的應用和發展，又是對它們的鞏固和提高。同時，本課時內容是后續學習因式分解、分式、二次根式、一元二次方程、二次函數等知識的基礎，在現實生活中也有廣泛的應用。

基于數學知識發生的背景，教材內容是在上一節整式的乘法的基礎上進行的進一步提煉，通過觀察與歸納，從而得出完全平方公式并加以證明。因此，本節課的教學重點是完全平方公式的推導和應用。

基于理解教學內容所蘊含的數學思想和方法，本節課從多項式的乘法和圖形面積割補兩個角度得到完全平方公式，讓學生體會數形結合思想。同時，類比完全平方公式的兩種形式，滲透轉化與化歸思想。

基于理解教學內容需要落實的數學核心素養，完全平方公式的教學通過面積的割補驗證公式，落實直觀想象素養的培養；通過探究活動，使學生經歷知識的發生、發展和理解的過程，落實數學抽象素養、邏輯推理素養的培養；通過運用公式解決例題和習題，落實數學運算素養的培養。

二、基于理解學生的學情分析

學生發展是教學活動的出發點和歸宿。理解學生的重點就是理解學生的認知基礎和學習方法，通過學情分析預設學生可能存在的學習困難，由此思考并設計能夠調動學生原有知識基礎和學習經驗的問題，設置能夠降低學習難度的活動，思考學生獲得和理解新知識的合理方式，從而為設計教學提供理論支持。

本節課之前，學生經歷了數與式的承接，初步實現了代數的轉變，完成了有理數的概念和運算、代數式的概念、整式的加減法、冪的運算和整式的乘法、平方差公式等知識學習，能夠運用整式相關法則進行計算，并能通過合并同類項進行化簡。同時在學習多項式乘法和平方差公式的過程中體驗了如何用圖形的面積關系來說明多項式乘法的法則，有了初步的數形結合意識，具備了學習的知識性基礎。就學生而言，前面的學習內容需要進一步強化和鞏固，發揮這些知識的作用，激發繼續學習的興趣，同時思維的發展需要建立新的認知結構，具備學習的心理性基礎。在前面的學習活動中，學生已經具備了一定的分析問題和解決問題的能力，正在由形象思維向抽象思維過渡，具備了學習的思維性基礎。

當然，也存在一些不利因素，如學生的邏輯思維較差，對數學的認識還不夠深刻。由于公式中的字母a，b本身具有廣泛性，尤其是字母a，b是帶有數字系數的單項式時，學生容易忘記將數字系數平方，或者做計算時中間項漏乘2倍。因此，本節課的教學難點是完全平方公式的推導和把握結構特征。

鑒于以上分析，確定本節課的教學目標：知道完全平方公式與多項式乘法之間的關系，理解、掌握完全平方公式，會用完全平方公式解決簡單問題；經歷完全平方公式的探究過程，體驗科學思維過程與方法，體會數形結合、轉化及化歸數學思想；通過數學實驗活動，學會合作，養成正確的學習態度和自信嚴謹的個性品質。

三、基于理解教學的活動分析

理解教學就是對教學活動中教與學的主導與主體地位有準確定位，根據教學內容分析和學情分析設置有效活動，引導學生經歷知識的發生、發展和應用過程。因此，理解教學的落腳點需從“學什么”轉變為“怎么學”，即需要教師設計有效活動、提出有效問題，啟發學生積極思考。

針對教學目標與內容，筆者設置了以下教學活動。

活動1課前預熱，提出問題

計算：

①102×98；②699×701；③203 2

教師：上述第①②兩題運用平方差公式很快就可以解決，但是第③題有沒有類似的公式來解決呢？

設計意圖：前兩個小題可以運用學過的平方差公式解決，第③題沒有現成的公式可以運用，通過設置問題障礙，使學生產生困惑，引起內心沖突，激發學生產生求知需求，并有具體的思維指向。

課堂反饋：學生能很熟練地利用平方差公式解決第①②兩題，但在解決第③題時遇到了困難，甚至直接化成203×203來計算。此時，教師應適當追問，引導學生積極思考，猜想存在的可能性，引出課題。

活動2創設情景，引出新知

問題1在中國古代有一位父親攢了一筆錢，想把原來的土地擴大，已知原有的土地是邊長為a的正方形，現在想把土地的邊長擴大b，且擴大后的土地仍然為正方形，那么現在的土地面積是多少？這個問題他難以解決，請你試一試。

師生活動：教師收集學生的方法，現場展示評價。

方法1大正方形面積=（a+b） 2

方法2大正方形面積=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

設計意圖：把教材內容進行改編，賦予其實際背景，學生容易理解，也能自然引出要學習的新知識。通過問題，讓學生轉變角色，主動學習，同時借助于面積計算，使學生直觀理解公式，體會數形結合的思想。

課堂反饋：學生畫圖思考，尋找解決方案，理解從面積角度探索完全平方公式，為后續學習提供知識基礎和活動經驗。

活動3啟發引導，探究新知

問題2同學們的結果基本有兩種：①（a+b）2；②a2+2ab+b2。

因此，得到（a+b）2=a2+2ab+b2。

請從多項式的角度說明等式成立。

設計意圖：兩種方法表示同一個正方形的面積，從而得到等式，但是這僅僅是猜想驗證，要使結論上升為公式還需要經過嚴謹的證明。從代數運算的角度用多項式的運算法則證明等式的正確性，使學生堅定信心，同時培養了學生的推理能力和證明意識。

課堂反饋：學生很容易得到等式，能理解大正方形的兩種表示方法。但是，很多學生缺乏證明意識。因此，教師要適當追問，讓學生認識到證明的必要性，養成良好的思維習慣。

問題3請同學們利用（a+b）2=a2+2ab+b2計算（a-b）2的結果，并類比上一個問題，用求面積的方式驗證等式成立。

師生活動：學生思考，口述答案，教師展示結果（如圖2）。

方法1大正方形面積=a2

方法2大正方形面積=（a-b）2+b（a-b）+b（a-b）+b2=（a-b）2+2ab-b2

因此，a2=（a-b）2+2ab-b2

所以，（a-b）2=a2-2ab+b2

設計意圖：通過應用（a+b）2=a2+2ab+b2計算（a-b）2，進一步加強代數變形能力，體會知識的內在聯系，培養學生轉化與化歸的意識。用求面積的方法驗證，繼續滲透學生數形結合意識。

課堂反饋：部分學生不會把（a-b）2轉化成［a+（-b）］2，教師應適當提示。同時（a-b）2的面積驗證難度也大于（a+b）2的面積驗證難度，教師可以設置問題梯度，引導學生合作與討論。

問題4請同學們用語言敘述這兩個等式。

設計意圖：鼓勵學生用語言描述結論，善于博采眾長，形成自己的看法，有助于學生從整體上把握公式。

課堂反饋：對學生而言，用文字語言表達代數式或公式存在一定的困難，不少學生不善于用和、差、積、商表示數量與運算關系，喜歡用加、減、乘、除表達，教師要強調規范表達方式，達成統一。

活動4明確結論，強化認識

完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2①

（a-b）2=a2-2ab+b2②

請用語言敘述公式。

兩點注意：a，b的廣泛性；結構特征。

設計意圖：從提出問題到得出公式，學生經歷科學的思維過程，感受正確的數學思維方法，從多角度理解和掌握公式，進一步熟悉了數學語言。

課堂反饋：教師給出公式，讓學生觀察、記憶、理解，注意系數特征，可以讓學生默寫公式，強化記憶，為下面的學習打好基礎。

活動5例題學習，知識重構

例1計算：①（4m+n）2=；②（3a-2b）2=；③（4x-5y）2=

師生活動：

解：①（3m+n）2=（3m）2+2·（3m）·n+n2=9m2+6mn+n2

（a+b）2=a2+2·a·b+b2

學生回答，教師示范完成②③題。

設計意圖：讓學生及時應用新知識解決問題，體會學習新知識的必要性。學生在教師引導下及時交流，共同完成完全平方公式變式基礎上的重構。

課堂反饋：學生基本上能運用公式解決問題，但對于系數不是1的單項式容易出現錯誤，容易忘記將數字系數平方，或者計算時中間項漏乘2倍。對此教師必須要關注過程，強調關鍵點，引導學生養成好的書寫和運算習慣。

活動6變式訓練，知識強化

課堂練習：

（1）判斷正誤

①（a+b）2=a2+b2；②（a-b）2=a2-b2；③（a-b）2=a2-2ab-b2

（2）計算：①（3x-2y）2=；②2x+12y2=；③（-a-b）2=；④（n+1）2-n2=

（3）計算：2032=

設計意圖：練習（1）（2）的設置既是公式應用的延伸，又試圖讓學生產生質疑，培養學生的批判性思維。練習（3）的設置是為了解決課前提出的問題③，進一步強化教學目標。

課堂反饋：練習（1）學生的做題準確率較高，學生對公式的記憶情況較好，練習（2）的第①②題反饋情況較好，但第③題很多學生遇到麻煩，教師可以提示學生將其轉化為（a+b）2來計算，第④題學生運用了完全平方公式和平方差公式兩種方法，都應該肯定。練習（3）可以比較直接計算與運用公式計算兩種方法的優劣，讓學生樹立最簡原則，提高運算品質素養。

活動7反饋小結，回授調整

師生活動：談談本節課的收獲。

（1）知識小結（如圖3）

（2）數學思想方法小結：數形結合、轉化與化歸

設計意圖：小結不能僅僅停留在知識性內容，還應關注數學思想方法的小結，有助于在形成新的認知結構的基礎上，更深刻地理解數學的本質，落實核心素養的培養。

課堂反饋：知識性小結學生能順利完成，但數學思想方法小結對學生來說存在困難，教師可以適當點撥，師生共同完成。

活動8知識拓展，思維提升

問題5（1）（a+b+c）2=

（2）（a+b）3=

你能設計一個幾何圖形解釋它們嗎？

設計意圖：讓學生體會線段、面積、體積分別對應的代數式的意義，升華主題，培養學生的創造意識。

四、幾點思考

（一）從教師和學生兩個角度進行備課

數學教育的價值是促進學生思維向高水平、高層次、高質量方向發展。數學教學要基于對教學內容、學生學情、教學活動的理解，從教師角度思考“教什么”“怎么教”“為什么這么教”，從學生角度思考“學什么”“學過什么”“怎么學”，從而設計出適合學生發展的學習情境，實現教學目標，提高課堂教學效益。

（二）充分挖掘教材價值，實施單元整體教學

教師應該認真研讀課程標準，深入研讀教材，揣摩教材的編寫意圖，體會教材如何承載課程目標。不僅要關注數學知識本身，而且要思考知識背后蘊含的數學本質，包括數學知識的內在聯系、數學規律的形成過程，知識背后的數學本質、數學邏輯和生成途徑。教師要結合教材內容，從生活實例和學生已有的知識經驗出發，就地取材，把抽象的學習內容和待解決的問題形象化、具體化、邏輯化，助力學生形成知識整體結構中的生長中心，設計“生長式”教學情境。同時，教師要準確把握知識之間的內在聯系，實施單元整體教學。相對于碎片教學，單元整體教學最大的特點在于其整體性，教師在單元教學的過程中，關注的不能是某一個知識點或某一節的內容，設計教學要基于理解數學教學內容的要求，立足整個單元的角度對教材進行全方位的解讀，從數學知識的生成角度思考學生獲得數學知識的路徑和方法，使學生完成對整個知識體系所涉及的數學概念的把握。

（三）關注學生在學習過程中的體驗

建構主義認為，學生在學習數學的過程中必須通過自身的體驗，才能掌握到發現和解決問題的方法。因此，教師在教學活動中設置學生熟悉的問題情境，有明確的思維指向，容易找到學生思維的“最近發現區”，通過問題設計，形成思維梯度，有利于分解教學難點，突破教學難點，完成教學目標。教學活動要引導學生善于歸納、大膽猜想和驗證，讓學生經歷科學的思維活動過程，形成科學的思維品質，培養良好的思維素質。同時，教師要為學生提供一定的思維空間，引導學生善于從多角度思考，學會自己提出問題、分析問題、解決問題。

（四）在數學活動中核心素養的滲透落實

數學素養養成是數學教學的終極目標。教師一要精心規劃教學環節，創設有效教學情境，使學生成為學習主體；二要突出數學思想與方法，鼓勵創造性教學，滲透數學文化，使學生感受到數學的應用價值；三要改變學習方式，加強學生合作學習，培育學生數學意識，多維度滲透核心素養培養，提高學生思維水平。理解數學教學內容的實質就是深刻理解教學內容中所涉及的學科核心素養，教學時使數學活動和素養落實互相融合、互相促進。

參考文獻：

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責任編輯：趙瀟晗