生活中幾種對角度估測的數學方法簡析

錢杰

一、問題的背景

生活中常常需要對一些數量進行估計，如在環境布置過程中對物體長度的估計；在菜場買菜時對菜的重量、價格的估計；在木工、鈑金工作中對角度大小、圖形周長、面積的估計。我們有很多測量的工具，也已經掌握了很多的計算方法來進行精確的測量計算，而在生活中，有經驗的工匠經常能夠通過最簡單的工具、最基本的方法來對數量進行估測。

如對于本文將要介紹的，對角度的估測而言，其實我們完全可以借助量角器來測量，或者通過測量待測角所在直角三角形的邊長，利用三角函數來計算，從而解決測量角度大小的問題。

本文主要介紹的是在沒有量角器、不使用三角函數的前提下，如何估測一個角的大小。因為任意一個鈍角都可以通過其補角計算得到，所以本文研究的對象是銳角。

二、問題的研究

通過搜索發現，生活中比較主流的角度估測方法主要有如下幾種：直接估計、借助手掌估計、借助三角板估測、“以直代曲法”估測、“割圓法”估測、“構圖法”估測。

直接估計主要依賴于經驗，雖然十分方便，但通常誤差較大，適用于對精度要求不高的情況；人體的手掌中蘊含著幾個特殊角，如圖1。借助手掌估計就是利用手掌張開時形成的角度大小來對待測角的大小進行估計，由于手掌張開的程度不同會直接影響角度的大小、擺放不方便等，借助手掌估計角度的大小同樣會產生較大誤差。

因此，本文主要簡述其他四種估測方法的操作步驟及相關誤差分析。

（一）借助三角板估測

前文提到，可以借助手掌對待測角進行大小估計，其中的誤差主要來源于手掌對30°、45°、60°、90°的擬合程度、手掌的擺放方法以及觀察者自身對角度大小的感覺。雖然這種估計方法誤差較大，但它提供了一個估測角度大小的思路，即通過與已知角的大小比較來估計待測角的大小。

生活中，常見的確定角有平角180°、周角360°。但是僅通過這兩個角來估計顯然是不夠的。因此，可以借助生活中常見的兩把三角尺來對待測角進行估測。

常見的三角尺中，一把是等腰直角三角尺，它的三個內角分別為45°、45°、90°，另一把是以30°、60°、90°為內角的直角三角尺。因此，能夠較為容易的估計30°、45°、60°、90°附近的角的大小。

同時容易想到的是，利用兩把三角尺還可以構造一些特殊角：15°、30°、45°、60°、75°、90°。所有銳角中，15°的倍數角都可以由兩把三角尺構造出來。這對縮小待測角的范圍有很大的幫助，構造出的這些15°的倍數角可以把待測角的范圍縮小在15°以內。如果稍加判斷，可以將這個誤差控制在10°以內。當然即使沒有任何判斷經驗，也可以直接取范圍兩端的平均值。這樣得到的估測值與實際值的誤差不會超過7.5°。雖然誤差仍然較大，但一定程度上已經能夠給出相對準確的估計了。

（二）“以直代曲”估測法

在這種估測方法中，必須要用到圓規和刻度尺。

通過圖像還可以發現，當待測角的度數不超過45°時，得到的誤差是很小的。因此當估計較大的銳角時，往往可以先估計其余角或者半角來控制誤差。

在實際作圖過程中，通常以57.3 mm為半徑作圖。以這個精度作圖所得到的待測角估計值和待測角的理論估計值幾乎一致（棕色曲線被藍色曲線覆蓋，綠色曲線的縱坐標值幾乎恒為0），如圖11：

但是，對于一般作圖而言，要精確到0.1毫米也是比較高的要求。以R=57，通過調整CD的大小，來觀察不同的CD對誤差的影響。得到結果如下圖12：

由此可見，在實際操作過程中如果將半徑R定為57，那么在CD取56時，誤差略勝于理論值誤差；當CD取55時，若待測角的度數大于60°，則誤差比理論誤差要小得多，若待測角的度數在0°到60°之間，則其誤差稍遜于理論誤差。

因此建議，若通過估計待測角的余角或半角來確定待測角，那么可以用R=57，CD=56來進行構圖估計；若直接估計待測角的大小，則可以用R=57，CD=55來進行構圖估計。這樣在作圖時，半徑、CD的選取更為方便，待測角的估計值也相對更優。

（五）小結

上文逐個分析了四類待測角的估測方法的操作步驟與誤差情況，最后，再來看一看幾種方法之間的誤差比較。因為直接估計和利用手掌估計的誤差較大，這里不做討論。

通過觀察圖13、圖14容易發現，“割圓”估測法、“以直代曲”估測法、構圖估測法三種方法在待測角小于45°時，估測結果都比較理想，其中構造法最佳，“以直代曲”法和“割圓”法不相上下。綜合考慮作圖難度與精度時，優先考慮構圖估測法，其次“以直代曲”估測法，最后“割圓”估測法；在待測角較大，且不考慮半角和余角的情況下優先考慮構圖估測法，其次“割圓”估測法，“以直代曲”估測法誤差較大不做考慮；特別當估測角大于80°，接近90°時，優先考慮“割圓”估測法，其次構圖估測法，“以直代曲”誤差較大不做考慮。

三、結語

數學是一門工具學科，物理、化學、計算機等各個領域都離不開這個工具，用好這個工具能夠給我們的生活提供極大的便利；數學匯集了生活的智慧，在生活中隨處可見，怪不得畢達哥拉斯學派要說“萬物皆數”。

如果教師能夠借助生活中隨處可見的數學知識多給學生搭建思考的舞臺，同學們能夠在舞臺之中多觀察、勤動腦，我們就一定能夠收獲數學世界的各種奇妙、精彩！